物理光學(xué)共軛波概念教學(xué)探討

劉明偉，張禹濤，賈春霞，唐海波，劉小娟

(湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

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物理光學(xué)共軛波概念教學(xué)探討

劉明偉，張禹濤，賈春霞，唐海波，劉小娟

(湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

摘要：物理光學(xué)中定義的共軛波和非線性光學(xué)中定義的相位共軛波本質(zhì)上是一樣的，都包含了前向共軛波和后向共軛波；由于參照入射波的時間相位因子，物理光學(xué)中的共軛波容易被理解為后向共軛波，但教材中的共軛波實例實際上又是前向共軛波。建議教學(xué)中在以復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛引入共軛波概念后，強調(diào)共軛波的時間相位因子有2種選取方式，具體化為前向共軛波和后向共軛波，省去“波都來自波前的同一側(cè)”等假設(shè)和注釋。

關(guān)鍵詞：物理光學(xué)；共軛波；課程教學(xué)；時間反演

共軛波或相位復(fù)共軛波是非線性光學(xué)和光學(xué)全息中非常重要的概念。特別是相位復(fù)共軛技術(shù)可以對光波相位信息進(jìn)行實時空間和時間處理，在自適應(yīng)光學(xué)、光學(xué)信號處理、光學(xué)成像和超低噪聲探測等方面有重要的應(yīng)用[1-2]；在光學(xué)全息中，正確使用共軛波也有利于拍攝得到優(yōu)質(zhì)全息圖[3]。在本科物理光學(xué)課程教學(xué)中，一般是在“光的電磁理論”部分講授共軛波概念。然而，現(xiàn)有的物理光學(xué)和光學(xué)教材中，要么不提共軛波概念；要么以“復(fù)振幅互為復(fù)數(shù)共軛的波稱為共軛波”來定義共軛波，但以z=0時的特定波前來舉例說明共軛波，且注明“若不特別說明，我們總假設(shè)波都來自波前的同一側(cè)”[4]，或者直接定義為“波函數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個光波”[5]，所分析的結(jié)果更加讓人困惑。文獻(xiàn)[6]從光強度表達(dá)式中引入共軛波概念，盡管相對于入射平面波，注明“反方向傳播的平面波也是共軛波”，但該教材中關(guān)于共軛波的分析圖與文獻(xiàn)[4]實際上是一樣的。所以，文獻(xiàn)[7]認(rèn)為共軛波應(yīng)定義為“在某一波前上復(fù)振幅互為復(fù)數(shù)共軛、且由該波前同一側(cè)入射的波，稱為該波前的共軛波”，并提到“相位共軛波與共軛波應(yīng)為兩個不同的概念”。

物理光學(xué)課程中通常以復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)來表示光場，以相應(yīng)空間復(fù)振幅分布來講授光的干涉和衍射等波動光學(xué)核心內(nèi)容，這些都會涉及到光強度計算和光矢量空間復(fù)振幅分布的共軛表達(dá)式。因此，進(jìn)一步厘清共軛波概念，不僅有助于對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，而且對物理光學(xué)課程教學(xué)同樣具有非常重要的意義。

1共軛波的定義

物理概念的引入和建立都有相應(yīng)的物理圖像，共軛波也一樣，可以用數(shù)學(xué)方法來定義和描述相應(yīng)物理圖像。根據(jù)現(xiàn)有的共軛波或相位復(fù)共軛波定義[1-7]，都表明共軛波是區(qū)別于入射波的“另一束光波”，且通常的表述是共軛波與入射波的復(fù)振幅互為復(fù)數(shù)共軛[1-4,6-7]。考慮一個頻率為ω的單色光波：

(1)

(2)

既然共軛波也是真實光波，就可以討論其產(chǎn)生方式和所具有的性質(zhì)。比較后向共軛波和入射光波的表達(dá)式，可見

(3)

即后向共軛波等價于入射波的時間反演波，其波陣面空間分布與入射波的波陣面空間分布相同，只是傳播方向相反。產(chǎn)生后向共軛波最簡單的方式是利用相位共軛鏡反射平面波或球面波[3]，也可以通過簡并的四波混頻和受激布里淵散射等非線性過程獲得[1-2]。

但是，前向共軛波并不具有類似于后向共軛波的時間反演性質(zhì)：

(4)

圖1　獲得前向共軛光波的三波混頻(a)和四波混頻(b)波矢量關(guān)系圖

以上是用實函數(shù)來描述入射波和共軛波，并可以通過入射光波與介質(zhì)的非線性相互作用來獲得共軛波。但在如光的干涉和衍射(包括光學(xué)全息)等線性光傳播問題中，光波頻率不變，波函數(shù)中的時間相位因子就無關(guān)緊要，且通常忽略[6]；此時，所關(guān)心的是光場的空間分布，而條紋可見度等也涉及到光強度計算，

(5)

為計算方便，引入振幅和空間相位因子構(gòu)成的函數(shù)

(6)

也稱為復(fù)振幅，記為第二類復(fù)振幅定義。因此，式(1)所描述的波函數(shù)可以用復(fù)函數(shù)

(7)

從形式上來代替，真實的光矢量為式(7)的實數(shù)部分。需要強調(diào)的是，共軛波的定義規(guī)定了空間復(fù)振幅之間滿足復(fù)數(shù)共軛關(guān)系，而對時間相位因子沒有限定。根據(jù)復(fù)振幅的第二類定義式(6)，復(fù)振幅為

(8)

的光波都滿足該入射波的共軛波條件，共軛波的時間因子可以取為exp(iωt)或exp(-iωt)，即分別有后向共軛波

(9)

和前向共軛波

(10)

在光學(xué)全息中，反映了前向共軛波和后向共軛波都可以存在。對于傳統(tǒng)全息照相，物光波的共軛波形成物體的共軛實像，此時，物光波和共軛波相對于全息圖成鏡像對稱，是前向共軛波；而簡并的四波混頻過程類似于實時全息照相過程，成像光波是物光波的后向共軛波[2]。

2共軛波概念教學(xué)方法探討

物理光學(xué)(或光學(xué))教材中是由于計算光強度引入共軛波概念，以復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)來進(jìn)行討論。其中，文獻(xiàn)[5]直接用類似式(7)的波函數(shù)的復(fù)數(shù)共軛來定義共軛波，限定了共軛波中的時間相位因子，得到的實際上是前向共軛波；文獻(xiàn)[4,6-7]以類似式(6)的復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛來定義共軛波，但暗含共軛波的時間相位因子取為與入射波相同的形式，得到后向共軛波，因此教材中有關(guān)于反向傳播波的標(biāo)注。但是，文獻(xiàn)[4,6]對共軛波的討論中，圖示結(jié)果顯示共軛波波陣面空間分布與入射波成鏡像對稱，分析的是前向共軛波，也類似于圖1(b)所示的四波混頻產(chǎn)生前向共軛波過程。文獻(xiàn)[7]中強調(diào)要以相對于某一波前來理解復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛概念，在光學(xué)全息和薄透鏡理想成像中自動滿足；實際上已經(jīng)包含在四波混頻產(chǎn)生前向共軛波的相位匹配條件中，如介質(zhì)有效長度L足夠小時，就簡化為相對于一定波前有波陣面鏡像對稱分布，共軛波和相位共軛波是同一個概念。

在物理光學(xué)教學(xué)中，雖然主要是討論光的干涉和衍射等問題時需計算光強度而引入共軛波概念，但并不涉及光與介質(zhì)的非線性相互作用。采用類似于式(7)的復(fù)函數(shù)在形式上表示光場，以式(6)所示的第二類復(fù)振幅來定義共軛波在數(shù)學(xué)上是自洽的，因為并沒有限定共軛波的時間相位因子的取舍方式，同時定義了前向共軛波和后向共軛波。后向共軛波的物理圖像可以用相位共軛鏡反射光波來直觀描述[2-3]；相應(yīng)地，文獻(xiàn)[4,6-7]中實例分析的共軛波，可以簡單明了地以薄透鏡理想成像或光學(xué)全息照相加以說明，也并不需要光波與介質(zhì)的非線性相互作用。

不管是前向共軛波還是后向共軛波，都具有真實的物理圖像和意義。但在物理光學(xué)課程中講授共軛波的概念時，需要強調(diào)光強度計算中利用復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛僅僅是一類數(shù)學(xué)技巧，光強度表示的是時間平均的能流密度，而不代表兩個光波的相互作用。課程中我們主要討論光的干涉和衍射等線性光傳播問題，也不涉及光波與物質(zhì)的非線性相互作用。同時，在教學(xué)中應(yīng)明確提出，按照類似式(6)給出的復(fù)振幅來定義共軛波并沒有限定共軛波的時間相位因子選取方式。對時間相位因子的兩種不同選擇，恰好使得共軛波定義更加具體化前向共軛波和后向共軛波。因此，也不需要“波都來自波前的同一側(cè)”等條件假設(shè)。

3結(jié)語

數(shù)學(xué)上復(fù)共軛描述的是相對于特定面的對稱關(guān)系，共軛波討論的就是等相面(波面)的對稱關(guān)系；如在波動光學(xué)中，平面光波在z=0平面被相位共軛鏡反射，則在z≤0位置上反射波和入射波的波面具有相反的空間分布，相應(yīng)背向共軛波與原波場在空間位置上處處共軛。在物理光學(xué)課程教學(xué)中，從光強度計算引入的共軛波概念，不僅在數(shù)學(xué)上自洽，而且可以使得幾何光學(xué)成像、波動光學(xué)、信息光學(xué)甚至非線性光學(xué)等前后課程的內(nèi)容有機銜接起來。可以從數(shù)學(xué)上按照復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛嚴(yán)格定義共軛波，也可以從產(chǎn)生機制和應(yīng)用等方面清晰地把共軛波具體化為前向共軛波和后向共軛波，但不能把共軛波和相位共軛波割裂為兩個不同的概念。

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(責(zé)任校對晏小敏)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.03.016

收稿日期：20151110

基金項目：湖南科技大學(xué)教學(xué)研究與改革一般項目(G31417)

作者簡介：劉明偉(1977-)，男，湖南洞口人，副教授，博士，主要從事光學(xué)研究及教學(xué)。

中圖分類號：G642.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5884(2016)03-0048-03