逆向思維在中學數學教學中的應用

王世楷

摘 要：逆向思維是一種突破常規的定性模式和超越傳統理論的框架，把思路指向新的領域和新的客體的思維方式。在中學數學教學中，加強學生逆向思維的訓練和培養，不僅可以提高學生思維的主動性和積極性，還可以提高學生的創新意識。

關鍵詞：逆向思維；探究性學習；創新意識

所謂逆向思維，是指人們為達到一定目標，從相反的角度來思考問題，從中引導啟發思維的一種思維方式。通過平時的數學教學，我認為逆向思維應從以下幾方面培養：

一、加強定義和概念的逆用

數學概念、規律是推理論證和運算的基礎，準確地理解概念、規律是學好數學的前提。在教學中，教師除了要引導學生透徹理解定義和概念外，還要注意根據教學內容對定義逆向思考進行指導與訓練，從而加深對概念的進一步理解與拓展。例如，在講“余角”概念時，應要求學生從兩個方面去理解：如果α+β=90°，那么α和β互為余角；如果α和β互為余角，那么α+β=90°。使學生把握住“互為余角”的實質：（1）α與β“互為余角”表示α是β的余角，β也是α的余角；（2）互余的定義規定的是“兩個角”，而不是一個角，也不是兩個以上的角；（3）“互為余角”是兩個角的一種“數量關系”，與兩個角的位置無關。

二、加強公式、法則、定理的逆用

大家知道，數學中的許多公式、法則都可以用等式表示，等式具有雙向性，但很多學生只習慣于從左到右運用公式，而對于逆向運用卻不習慣。因此，在教學中應當明確等式既可以用左邊的式子替換右邊的式子，也可以用右邊的式子替換左邊的式子。

例如，（1）a（b+c）=ab+ac，反過來ab+ac=a（b+c）也成立。

（2）在代數中公式的逆向應用頻繁出現。如分式的減法法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題。

這道題從正向思考繁瑣復雜，甚至解答不了，但如果靈活逆用所學的法則，則會出現“柳暗花明又一村”的奇跡。

在定理教學中，每個定理都有它的逆命題，但它的逆命題不一定正確，經過證明后成立即為逆定理。因此，應強調慎重對待定理的逆命題。對于一個定理，應引導學生探求其逆命題的真假，使學生理解和掌握數學中的許多重要定理。如，在教材中研究勾股定理的逆定理時，給出了判定一個三角形是直角三角形的方法，教科書通過例題，讓學生學會運用這種方法解決問題。勾股定理以及逆定理都成立，而且它們的應用也十分廣泛。如：在△ABC中，a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1（n>0），求證△ABC是直角三角形。

分析：已知三邊，欲證△ABC是直角三角形，可考慮用勾股定理的逆定理。

三、解題思路的逆向分析

1.利用分析法逆向尋求解題方法

在解題教學中，如果只進行由此及彼的單一訓練，而忽視由彼及此的逆向聯想，很容易造成學生思維過程的單向定勢，因此，應重視逆向思維的訓練，適時采用分析法，培養學生雙向考慮問題的良好習慣。例如，現對甲、乙、丙三個小組的人員作如下調整：第一次丙組不動，甲、乙兩組中的一組調出7人給另一組；第二次乙組不動，甲、丙兩組中的一組調出7人給另一組；第三次甲組不動，乙、丙兩組中的一組調出7人給另一組。三次調整后，甲組有5人，乙組有13人，丙組有6人，問甲、乙、丙三個小組原來各有多少人？

分析：用列方程的方法“正面”求解將很繁瑣，因為我們并不知道第一次調整是甲組調進乙組7個人，還是乙組調進甲組7個人，需要分別討論，然而用“逆推”的方法就簡潔明快得多了。

2.運用反證法從反面尋求解題方法

反證法是教學中一種重要的證明方法。在平時數學練習中，要認真審題，細致觀察，對解題起關鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力。因此，我們在解決問題時不僅要學會從條件到結論去分析，還要學會從結論到條件逆向分析的方法。如，已知：n是整數，n2是2的倍數，求證：n是2的倍數。

分析：假設n不是2的倍數，即n不能被2整除，n被2除余1，即n=2m+1（m為整數），則n2=（2m+1）2=4m2+4m+1=2（2m2+2m）+1，所以n2不是2的倍數，這與題設矛盾，故n不是2的倍數的假設不成立，從而得出n是2的倍數。

在中學數學教學中，學生儲備豐富的知識是培養學生逆向思維能力的前提。經常使用這種思維訓練方式，可以拓寬學生思維的空間，特別是逆向思維的培養，是形成創造性思維的基礎。因此，逆向思維是對舊觀念的一種突破，是思維創新的一條新途徑，是“反其道而行之”，是“出人意料之外”，是“出奇制勝之本”，應引起高度重視。

編輯 趙飛飛