應用型人才培養模式下數學分析教學探索

牛玉俊 馬戈

摘 要：應用型人才培養模式下，數學分析課程教學改革，要把握人才培養目標定位，研究現代教育的時代特征，提煉教學內容，創新教學模式，強化數學理論與實驗的融合，進行學生個性化學習引導，注重學生數學綜合應用能力提升。

關鍵詞：數學分析；轉型發展；應用型人才；現代教育技術

中圖分類號：G624文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）07-0084-03

隨著大學教育日趨大眾化，新升本的地方高校，近年來已經被推入轉型發展的時代大潮之中[1]。數學分析作為數學類專業最重要的基礎核心課程，它不僅為學生學習復變函數論、實變函數、泛函分析、微分方程等后繼專業課程建立基礎，其思想方法，處理問題技巧等，在數學應用和研究中也起著奠基性的作用，對培養基礎扎實、知識面廣、綜合素質強的數學應用型人才至關重要。面對新形勢，數學分析教學如何貫徹“應用型人才”培養目標，將傳統教學融入時代的脈搏，用先進的教育理念，優化教學內容，改革教學方法，構建課堂教學新模式，是每個數學分析教師義不容辭的擔當。本文結合我們數學分析的教學實踐，對此進行了一些探索和思考。

一、把握培養“應用型人才”目標定位，提煉教學內容

數學類專業新生進入高校，最矚目的課程是要進行三個學期高強度的數學分析連續學習。從令學生頭疼的“ε-δ”極限、一致連續等概念，到能讓很多學生崩潰的閉區間套定理、有限覆蓋定理等七個描述實數完備性的定理[2，3]，很多學生第一感受就是云里霧里，對數學分析產生畏懼心理。作為以工科為主的地方院校，數學各專業錄取的學生調劑生較多，本身就有思想不穩定、專業學習動力不足的傾向，數學分析若按傳統內容模式教學，會讓他們雪上加霜，很快喪失學習信心。鑒于此，我們基于培養應用技能型人才的目標定位，在深入研究課程的基礎上，對教學重點、難點進行梳理，重新提煉教材內容，對教學內容進行模塊化處理，分為基礎模塊、應用模塊和提高模塊三類，將數學分析符號化語言、基本概念和數學思想等相關內容，作為基本知識模塊；將數學分析建模、基于數學分析基本理論的論證和計算等內容，作為應用知識模塊；將數學分析中偏難的定理和命題的證明、特殊問題的解題技巧等內容，作為提高知識模塊。

針對基礎知識模塊，在教學過程中，我們緊緊抓住“極限”這個數學分析的主線，突出從有限到無限思想、變量替換思想、以直代曲思想，通過引入知識背景、名人典故等，在不失數學嚴謹性的前提下，以平易近人的語言，自然的引入概念，使教學內容更通俗，更接地氣，強化學生對知識的理解。針對應用知識模塊，我們將其作為教學的重中之重，精心研究教學內容，注意幾何的形象和直觀，注重不同知識理論間的相互滲透，注意相關知識物理、力學等模型的構建，通過精講例題和案例，訓練學生數學計算與應用能力，建立相關知識和其他它學科的聯系，突出數學分析應用特色。針對提高知識模塊，我們教學過程中則采用分散難點，總結問題解決思路，強化個性化自學引導等教學方式，使一般學生能理解，對數學有興趣、自學能力強的學生能掌握。

如應用性廣泛的積分“微元法”思想，是數學分析理論的經典，我們從符號∫ 的sum含義，將離散變量的無窮和與連續變量的積分和對應，學生會有一種心領神會的感覺，從而直觀感受微分和積分、級數和積分的親密關系，感受數學理論的神奇。教學中將微分和不定積分對應，不定積分和定積分對應，數項級數與無窮積分對應，函數項級數與含參變量無窮積分對應，一致收斂與一致連續對應，柯西收斂準則、收斂定理等也一一對應，在實現模塊化教學的同時，學生也會感受到，讓他們望而生畏的高深數學理論，也莫過如此，其蘊含的數學思想、分析方法，已升華為學生的數學素養。

二、強化數學理論與實驗的融合，提升學生數學應用能力

當今科技都根植于數學，但很多學生對應用型人才“基本素質+特長”的理解有誤區，認為數學的應用很抽象。數學分析作為學生最先接觸的專業基礎課程，在講授給學生知識的同時，一定要讓學生感受到，數學分析中的內容都不是憑空產生的，而是為滿足人們的需求與愿望才產生的，在生產、生活、醫學、科研等各個領域都有廣泛的應用。故此，深挖數學分析理論應用背景，突出其在解決實際問題中的應用，是數學分析教學適應轉型發展的重要舉措。在教學過程中，我們盡量從實例引入概念，結合教學內容，介紹其在數學建模、挑戰杯、ACM競賽題中的應用，介紹其在一些科研工作中的應用，介紹其自身發展過程中解決物理學、天文學、幾何學等方面問題的曲折歷程[4]，改變數學分析在學生心目中純數學理論的形象。

數學分析中很多計算都十分繁雜，在理論分析的基礎上，借助數學軟件求解，則可事半功倍。教學中結合教學內容，通過應用案例的設計，開設一定數量的數學實驗課程，引導學生借助數學軟件，輔助創新學習，進行理論驗證，解決實際問題，實現學生數學軟件應用意識的加強，數學知識應用能力訓練，學生數學專業“特長”的提升。

例如泰勒公式，是數值計算重要的理論方法之一，但計算很繁。教學設計中，我們從求正態分布的概率入手，引出計算函數f（x）=e-x2定積分的需求，但因求不出其初等原函數，無法簡單求解。引導學生借助泰勒公式分析，利用Matlab軟件求解，問題會輕松解決，學生也印象深刻。又如積分和多重積分的計算，在工程、物理、科研一些實際問題會中經常遇到，可能計算公式能寫出，但求解卻很難。教學中我們引導學生用數學軟件去求，不僅能快速解決問題，也有效提升了學生的數學應用能力。

三、研究現代教育的時代特征，構建課堂教學新模式

信息技術時代，知識大爆炸，各種教育教學新技術不斷出現，學生學習、生活模式極大豐富，學生個性化學習需求、習慣被更充分尊重。教學中讓學生課前預習，課后認真復習，擠時間做課外練習等對多數學生已不現實。學生對數學分析學習的目標定位趨于多元，動力和激情容易分散，自覺學習難以持久，而周圍同學的學習及情緒會對個人影響很大。課堂教學如何適應學生時代新特征？課堂教學如何在知識傳承中發揮主陣地作用？我們必須直面以對。

課堂教學的主要特征，就是提供一個老師和學生可以面對面交流的地方，老師可以傳授知識，也可以通過營造現場氛圍，激發學生的學習興趣、潛質，引導學生高效學習。我們必須意識到，課堂教學承載的傳道授業功能，在現代信息技術不斷完善，網上教學資源無限豐富的今天，亦非不可替代。只是由于數學符號電腦輸入的瓶頸，數學分析知識抽象、邏輯性強的特征，課堂上老師用肢體對數學思維進程的表現，還不可能由新媒體完全替代[5]。因此，課堂教學模式的改革，必須要突出學生學習的主體作用，擺正教師的知識引導角色，恰當運用教學藝術，為學生營造積極熱烈的課堂學習體驗，幫助學生深刻理解數學方法，突破難點、掌握重點、融會貫通學習要點。

微課、慕課是教育信息化時代，適應學生思維和心理特點的一種新的教學形式，其知識離散化、學習個性化、短小精煉、引人入勝等教育理念，是教育教學一道靚麗的新景觀[6]。受其教學體驗的影響，近年來我們將數學分析教學重點、難點內容，進行大量的離散化處理，改革課堂教學模式。教學過程中，我們對概念引入、定理分析、例題求解、理論應用等，按不同教學模塊，都進行認真的教學設計，盡量使其表現形式豐富，講課有現場效應，有吸引力。在課堂上融合傳統教學與現代教育技術，利用啟發式、討論式、問題驅動式等不同教學手段，進行歷史典故的品味，理論概念的理解，知識應用的升華，思想方法的提煉，幫助學生融入課堂學習的氛圍，提升問題認知能力，樹立學生學好數學分析的信心。

例如“閉區間上連續函數一定存在最大最小值”定理的證明，教學設計濃縮為：用局部到整體的思想，關鍵工具是極限的局部有界定理和有限覆蓋定理，學生一般能很快理解掌握。經典的積分∫+∞0sinxxdx計算問題[3]，乍一看很簡單，我們在教學中設計了一系列問題：x=0是函數f（x）=sinxx的瑕點嗎？函數f（x）=sinxx是否存在原函數？函數f（x）=sinxx是否存在初等原函數？廣義積分∫+∞0sinxxdx收斂嗎？收斂值是多少呢？這幾個問題，已涉及到函數連續延拓思想，原函數存在定理，初等函數概念，狄利克雷收斂判別法等，到最后一個問題，雖然又回到了題目的本意，凸顯的則是問題計算不易這個不爭的事實。分析時先借助matlab軟件繪圖、分析、計算，易得到相關提問答案，并求出收斂結果為π2。用理論方法分析呢？進而我們引導學生，運用轉化的思想，通過引入收斂因子e-xy（y>0），轉化為含參變量積分I（y）=∫+∞0e-xysinxxdx的討論。講課過程中，老師將問題及分析過程在PPT上同步顯現，不時走近學生，和學生一起討論，也時而走向講臺，將數學思想、知識要點，用到的重要定理、結論等，在黑板板書，總結解題方法。最后再告訴學生，學習了復變函數，這個問題真的“很簡單”，鼓動學生“去看看”的興趣。至于將其轉化為級數∫π20sinxxdx+∑∞n=1∫π20（-1）n1t+πn+1t-πnsintdt求解的方法，由于技巧較高，課堂只做簡單概述，將其列入提高知識模塊，鼓勵熱愛數學的同學課后研究，去仔細體會數學分析奇思妙想的樂趣。

四、重視學生個性化學習引導，改革考核評價體系

當今社會是一個終生需要學習的社會，大學里學生不僅要學習專業知識，更需要進行自學能力的培育、興趣特長的釋放、綜合素質的提高。青年學子有太多的興趣和夢想，有太多的精力張揚個性，對專業學習有著不同的需求和期望。教學不可能像工廠生產一樣，把學生教的都一樣。作為數學分析教師，針對學生不同的知識需求，要有意識的設計不同層次的教學內容，引導學生正確、高效、有選擇性的自主學習，開展討論合作，科學檢索資料，是實現個性化教學習的主要手段。

微積分理論從誕生到完善歷經二百年，背后有牛頓、萊布尼茲開創性的工作，有貝克萊悖論引發的數學危機，有柯西、魏爾斯特拉斯的不斷完善[4]。他們在當年遇到的問題，也會是我們在教學、學習中遇到的問題，我們在教材中看到的，是最好的結果整理，很多論證實際上是思維過程的倒敘。在教學過程中，通過多媒體展示，介紹數學家背后的小故事，還原數學思維的本來過程，不僅能活躍課堂氛圍，還原相關知識的時代價值，更能消除學生學習數學的畏懼心理，提高學生學習興趣。同時結合教學內容，介紹相關理論延伸出的如小波分析、有限元方法等現代數學分支，及其對現代科技產生的巨大影響等，引導學生胸懷抱負，自覺投身感興趣領域的學習。

及時總結所學知識，提煉學習感悟，對提高學習效果極其重要。每一個單元內容學完之后，我們要求每個學生要繪制一張重要知識構成的脈絡圖，然后結合自己的情況、興趣撰寫一篇小總結、小心得或小論文。如對單元中一些重要的定理、例題等，列出其條件與結論，總結其證明或解題過程中用到的數學思想，用到的定理、結論等，寫成小總結；或者就其中的一個知識點，上網檢索資料，進行較深入分析，寫成小心得；或就某個知識的應用，進行相關問題的研究，寫一篇小論文。特別要灌輸學生，數學問題不存在解法唯一的問題。如求y=xx的導數，轉化成y=exlnx，可用復合函數法求導，轉化成lny=xlnx，可用隱函數法求導，轉化成y=uv，u=x，v=x，可用多元復合數法求導。讓學生在平時學習中，不去總想著會不會的問題，而是去發現可否還有更佳解法。通過引導學生主動探索思考，發現更多、更好的解法，挖掘他們創新思維的潛能，調動他們學習的信心和熱情，讓他們不迷信權威，解題從“對不對”向“好不好”的臺階邁進。另外注重更新教學網站，將國內、國外數學分析優秀網絡公開課、慕課等資源[7]，及時向學生介紹和推薦，給有需求的同學去觀摩、學習，對實現個性化學習也很有必要。在考試考核方面，我們將小總結、小心得、小論文、數學實驗報告等納入考核成績中，強化自學能力、動手能力、知識應用能力等綜合素質考核。

五、幾點思考

數學分析教學內容的整合優化，是數學分析教學改革的難點，也是重點，其尺度難以把握。從近年來的學生情況看，畢業時跨學科就業的學生較多。數學分析教學中，如何保留數學分析的精髓，服務于不同學生的需求，還需要我們更深入的研究。

數學類專業的學生，學生的課程認知、學習態度、精神風貌，對教學效果影響很大。教學中如何以學生為本，培養專業自信，形成積極向上的學風，使更多學生在數學分析的學習中，體驗快樂，享受成功，還有很多艱巨的工作。數學分析教學的關鍵是教師，教師的專業功底、人格魅力，對教學效果有著至關重要的影響。在當今信息教育技術層出不窮的時代，教師如何科學、合理分配精力，及時把最新教育理念、教育技術，融入自己的教學之中，平衡好教學和科研的關系，對很多教師還是一個挑戰。

在數學建模、ACM、挑戰杯等一系列大學生競賽機制的驅動下，學生對數學方法的重要性認知提升。如何引導社團科學發展、創新發展，將這些精英的榮耀，惠及更廣大的學生，轉化為一般學生學習數學分析的動力，真正實現教學質量的全面提升，仍是一個非?，F實的問題。

（作者單位：南陽理工學院數學與統計學院）

國家自然科學基金（批準號：U1504105），河南省科技廳（批準號：142300410107，122102210060）資助課題

參考文獻：

[1]王萍.新時期理工科大學數學分析課程建設和教學改革探析[J].黑龍江教育學院學報，2014，33 （12）：37-39.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].4版.北京： 高等教育出版社，2011.

[3]劉玉蓮，傅沛仁，林玎等.數學分析講義[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[4]卡爾·B·波耶，唐生譯.微積分概念發展史[M].上海：復旦大學出版社，2007.

[5]馬戈，杜躍鵬.現代教育技術環境下高等數學教學改革的實踐與思考[J].高等數學研究，2004，7（3）：11-13.

[6]楊滿福，桑新民.對MOOCs浪潮中微課的深度思考[J].教育發展研究2013（23）：1-5.

[7]額爾敦布和，劉修路，王靜宇等.關于“數學分析”課程的教學對策探析[J].大學教育，2013 （5）：109-111.