談高考解題中幾種常見的數(shù)學思想

蘭鵬

摘要：高考數(shù)學教學大綱中明確指出，數(shù)學知識中的數(shù)學思想和方法的測試是對數(shù)學一個更高的水平測試的抽象和概括。在近幾年的高考試題中不難發(fā)現(xiàn)，每年的數(shù)學試題主要內(nèi)容就是對函數(shù)和方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想的考查。對此，本文圍繞近幾年的高考試題進行研究，對高考解題中常見的幾種數(shù)學思想進行分析和探討。

關鍵詞：高考解題；數(shù)學思想；分類討論

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2016）05-0157-01

將生活當中的現(xiàn)象通過科學的、邏輯的、客觀的以及可重復的方法描述各種生活現(xiàn)象的語言就是數(shù)學。用數(shù)學語言描述生活具體事物的想法就叫做數(shù)學思想，數(shù)學語言雖然抽象，但卻簡練。因此，在高考數(shù)學考試時，結(jié)合數(shù)學知識，通過測試的考生反映的數(shù)學知識，從學生對數(shù)學思想價值觀念的理解和整體意義出發(fā)，對數(shù)學思想和方法進行理解和掌握，注重轉(zhuǎn)換方法，淡化其他的一些特殊技巧，可以科學的檢測出學生對高中數(shù)學知識當中所蘊含數(shù)學思想以及方法的掌握情況。

1.函數(shù)與方程

函數(shù)是指在一個變化的過程當中，假如有兩個變量x、y，如果給定一個x值都有唯一的一個y與其相對應，那么就稱這個y是這個x的函數(shù)。函數(shù)思想就是利用變化的特點，分析和探究數(shù)學中數(shù)變化的關系，從而構(gòu)建函數(shù)，并且運用函數(shù)的性質(zhì)和特點去解決實際的問題。方程是指兩個數(shù)學式之間具有相等關系的一種等式。方程思想就是分析和探究數(shù)學各個變量之間的等量關系，構(gòu)建方程或者是方程組，并且利用方程的性質(zhì)和特點去解決等量關系。函數(shù)與方程的數(shù)學思想主要就體現(xiàn)在兩大方面：第一種建立函數(shù)，進行化簡，第二種就是求值、證明不等式、參數(shù)取值范圍以及解方程組。函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化，互相解決，函數(shù)可以解方程，方程也可以界函數(shù)，這是歷年高考的必考題，因此，需要學生在解題時一定要注意函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化，要學會相互利用[1]。

例如：（1）函數(shù)與方程的密切關系：對于函數(shù)式y(tǒng)=f（x），當y=0時，就可以將其轉(zhuǎn)化為方程來表示f（x）=0，當然也可以將函數(shù)式y(tǒng)=f（x）轉(zhuǎn)換成方程式為y-f（x）=0。

（2）函數(shù)與不等式：對于函數(shù)式y(tǒng)=f（x），當y<0時，轉(zhuǎn)化成不等式為f（x）<0，當y>0時，轉(zhuǎn)化成不等式為f（x）>0。根據(jù)函數(shù)圖像來解決相關方成問題。

（3）在立體幾何中，有關計算角、面積、線段等問題需要函數(shù)與方程的方法進行解決。

2.數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是基于數(shù)與形之間的關系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化進行解決數(shù)學難題，是解決數(shù)學問題的重要途徑。數(shù)形結(jié)合思想通過"以形助數(shù)"使復雜的問題轉(zhuǎn)換簡單化，將抽象的問題轉(zhuǎn)為具體化，將抽象思維可以改變形象思維，科學有效的掌握數(shù)學知識中的本質(zhì)問題，充分體現(xiàn)了數(shù)學的靈活性和規(guī)律性。數(shù)形結(jié)合通常的表現(xiàn)形式為：①實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；②函數(shù)與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義[2]。數(shù)形結(jié)合的方法是高中解決數(shù)學難題是最常用的方法之一，方法簡單，并且學生都容易接受。例如：《任意三角函數(shù)》中，任意角的三角函數(shù)定義：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx。單位圓與三角函數(shù)線中，單位圓與三角函數(shù)線定義：如圖（1）所示，PM表示α角的正弦值，叫正弦線，OM表示α角的余弦值，叫余弦線。如圖（2）所示，AT表示α角的正切值，叫正切線。圖中的線段長度就是三角函數(shù)值的大小，圖中線段方向所表示的就是三角函數(shù)值的正負。

數(shù)形結(jié)合的解題思想是高中數(shù)學解決難題的方法之一，通過數(shù)形結(jié)合，不僅至關，而且還很容易發(fā)現(xiàn)正確的解題思路，幫助學生更好更快的解決問題，避免了復雜繁瑣的解題過程，化簡了解題思路和方法。數(shù)形結(jié)合是歷年高考的必考題型之一，因此，學生要熟練掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法，并且合理運用，解決數(shù)學難題。

3.分類討論

分類討論就是當問題所給的對象不能統(tǒng)一研究時，需要根據(jù)每個類別的標準分類進行研究，然后對每一類進行歸納總結(jié)，最后綜合得出所有問題的答案。實際上就是將數(shù)學難題化整為零，然后各個擊破，最后再進行總結(jié)。分類討論的原則是：在保證分類科學的前提下，標準統(tǒng)一，要做到不重復，不遺漏，并且力求最簡。分類討論的方法：首先要明確討論的對象以及對象的全體，經(jīng)對象進行分類，然后再逐一分析和討論，最后歸納、總結(jié)[3]。例如：在求函數(shù)最大值、最小值中，假設函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R，求函數(shù)f（x）的最小值。那么解這道數(shù)學題時就可以分類討論了：

分類討論的方法是高中解決數(shù)學難題是最常用的方法之一，并且也是高考中必考的數(shù)學解題方法之一，可以幫助學生將難題分類解決，然后進行歸納和總結(jié)，最終解決數(shù)學難題。

結(jié)語：綜上所述，想要學好數(shù)學，就需要具備寬闊的數(shù)學思想，數(shù)學思想是對數(shù)學知識的最高水平、高層次的總結(jié)和概括，是一種對數(shù)學知識和技能的"悟性"，掌握數(shù)學思維的最高水平就是解決問題的能力，無意識的地自然反映出解題的方法，這是高考的核心。數(shù)學思想不是憑空想象的，是根據(jù)很多經(jīng)驗和實踐的總結(jié)和而得來的，學生應該多進行實踐然后總結(jié)和歸納，進一步提升數(shù)學思想。

參考文獻：

[1]周壽明.微分中值定理教學中的幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].東莞理工學院學報，2013，03：128-130.

[2]左飛.例談微分中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法[J].科技信息（學術研究），2014，21：399+401.

[3]呂亞芹.培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的研究和探索[J].北京建筑工程學院學報，2014，01：72-75.