小學階段數(shù)學符號意識研究綜述

須勤

摘 要：發(fā)展學生的數(shù)學符號意識是《義務教育課程標準》（2011版）提出的數(shù)學課程目標之一。圍繞數(shù)學符號意識這一主題，國內(nèi)外很多學者在其內(nèi)涵理解、關于其在教與學的過程中存在的問題以及培養(yǎng)策略等方面已經(jīng)進行了探索，并取得了不少研究成果。筆者對此進行梳理、分析與總結，并提出了進一步的思考。

關鍵詞：數(shù)學思考；符號意識；內(nèi)涵理解；培養(yǎng)策略

一、研究背景

“符號”一詞起源于希臘，英文譯名為“symbol”。著名數(shù)學家羅素【英】說：“數(shù)學就是符號加邏輯。”數(shù)學符號是一種特定的、精煉的、專用的數(shù)學語言，是數(shù)學抽象思維的產(chǎn)物，又是人們在解決數(shù)學問題時進行表示、推理、計算的工具，數(shù)學思維活動以此為載體。狹義上的數(shù)學符號，以人們約定俗成的方式存在，如規(guī)定加法用“+”表示，減法用“-”表示。廣義上的數(shù)學符號，是指表示數(shù)量之間的規(guī)律及其關系的所有符號，可以用來描述數(shù)學對象，如數(shù)學用語、公式、圖表、數(shù)字等。經(jīng)歷了數(shù)千年歷史的積淀與完善，數(shù)學符號展現(xiàn)著獨特的魅力，成為通用的科學語言。它不同于漢語、英語、德語等一般的語言，它突破文化和地域的界限，成為一種國際化的規(guī)范語言。它是人類智慧的產(chǎn)物，促進數(shù)學的發(fā)展與進步。

學生對數(shù)學符號的把握對其數(shù)學的學習有著直接的影響。自從2001年《義務教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）中將“符號感”作為核心概念提出以來，對于數(shù)學“符號感”的研究就成為一個比較活躍的領域。在之后的新一輪課程改革中，數(shù)學符號受到了人們前所未有的關注。在《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）中，“符號感”一詞更名為“符號意識”。因此，發(fā)展學生的符號意識成為我國義務教育階段數(shù)學教學的重要任務。孩子自從學習算術開始，就與符號有了接觸，上了小學之后，對數(shù)學符號的接觸就更多。數(shù)學教學的目的之一就是要讓學生知道并理解數(shù)學符號的意義，能運用數(shù)學符號解決一些數(shù)學問題和實際問題，發(fā)展學生的符號意識。事實上，一些發(fā)達國家及地區(qū)很早就認識到符號意識對于學生數(shù)學學習的重要性，如《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》明確提出了發(fā)展學生符號意識的要求。還有我國的特別行政區(qū)——香港的數(shù)學課程標準也指出，要發(fā)展并培養(yǎng)學生的符號意識。鑒于此，國內(nèi)外很多學者和一線教師在數(shù)學符號意識的內(nèi)涵理解、對其在教與學方面存在的問題以及培養(yǎng)策略等方面做了一定的研究與探索。本文對關于數(shù)學符號意識已取得的研究成果進行了梳理、分析與總結，為后續(xù)研究做準備。

二、關于符號意識內(nèi)涵理解的研究

對于符號意識，目前還沒有一個清晰、明確的定義。國外的很多學者從數(shù)學符號的特征和表現(xiàn)形式進行描述，更傾向于認為其是一種能力的體現(xiàn)。Fey（1990）對符號感的闡述比較系統(tǒng)，他認為符號感的表現(xiàn)形式多種多樣，它總是和數(shù)感、函數(shù)感和圖像感等相互聯(lián)系，但他認為符號意識也是一種能力。Kinzel認為符號感就是“在具體情境中，能創(chuàng)造出準確的代表數(shù)量關系的代數(shù)表達式，是符號解釋和符號操作的結合體，是一種能力”。Nurit Zehavi認為“在解決問題的過程中，符號感通常和數(shù)感、圖表感、函數(shù)感等聯(lián)系緊密并交織出現(xiàn)”，因此要給它下定義，非常困難。Abraham Arcavi 認為符號意識不僅是一種能力，也是一種思維活動，是對符號的一種直覺，一種理解以及運用。他試圖詳細具體地羅列符號感的表現(xiàn)特征，并對其進行分類，但仍然認為其完善度不夠。

在我國，“符號意識”是數(shù)學課標中的一個重要概念。早在2001年《全日制義務教育數(shù)學課程標準》（實驗稿）中，首次將“符號感”作為一個核心概念提出，認為符號感是“人對符號的意義、作用的理解以及主動地使用符號的一種習慣和意識”。之后學者們都是在此基礎上對其進行理解。如史炳星等對符號感的理解與其一致，他們強調(diào)學習數(shù)學符號重要的一步是用字母表示數(shù)，認為理解用字母表示數(shù)對于發(fā)展學生的數(shù)學符號意識是有幫助的。也有學者認為符號感就是一種對符號的直接感受和感悟。如王兄從表象圖式的角度來理解符號感，認為其是指對符號的感受和領悟能力。有些學者認為符號感的提法不夠恰當，對此存在爭議。何小亞在《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）芻議》一文中認為是翻譯的誤差，主張符號感的提法值得商榷。鄭毓信的觀點與其一致，認為符號意識不是簡單地對符號的某種感覺、感悟能力達到的水平，更是一種心理活動和數(shù)學意識。這種符號意識與數(shù)感及數(shù)學模型聯(lián)系緊密，是對數(shù)學語言的一種綜合運用，不能簡單地歸結為對符號的直觀感覺，即符號感的問題。經(jīng)過10年的課程改革，《義務教育數(shù)學課程標準》（2011版）在經(jīng)驗總結中不斷反思，最終將“符號感”一詞改為“符號意識”。之后，關于符號意識的理解基本都以此為參照，與其表現(xiàn)一致，很少再有爭議。

縱觀以上國內(nèi)外學者們對符號意識內(nèi)涵的理解，他們都認為符號意識是一種自覺主動地理解和運用數(shù)學符號的態(tài)度和能力。他們對此各抒己見，但更傾向于是對數(shù)學符號的特征及表現(xiàn)形式的描述，而并非其真正內(nèi)涵。因此，符號意識的真正內(nèi)涵是什么，值得我們進一步地思考。

三、關于符號意識教與學的經(jīng)驗性研究

這些年來，一線的數(shù)學教師、研究人員及學者，對數(shù)學符號意識的教與學進行了相關的調(diào)查研究與分析總結，同時借鑒吸收了一些教育學、心理學中關于知識獲得的認識，兩者結合，提升成為數(shù)學符號意識教學的依據(jù)，為學生“怎樣學”，教師“如何教”，提供了指導。但沒有說為何要這樣做，其本質是認識論的、經(jīng)驗式的。這些在實踐中得到的規(guī)律，對數(shù)學符號意識的教學有著指導性的意義。

（一）關于學生對數(shù)學符號學習的研究

學生在數(shù)學符號學習的過程中，往往會出現(xiàn)各種類型的錯誤。國外的不少學者從認知、教學、解題等方面對其進行了深入研究。Davis提出了學生“二重返回”的錯誤規(guī)律，比如學生出現(xiàn)“3×3=6”的錯誤，是因為與最初的加法法則相混淆而導致的。然而，上述錯誤也可以認為是對于數(shù)學符號理解上的偏差所致的。乘法符號“×”和加法符號“+”在外表形式上類似，對學生的理解產(chǎn)生了干擾。事實上，學生所存在的一些問題都是源于某些“干擾”，有其他語言形式的干擾、其他學科表述的干擾以及學生生活經(jīng)驗的干擾等。