信號與系統頻域分析教學案例設計

曹英麗 許童羽 陳春玲 姚萍 杜夢媛

摘要：為解決信號與系統課程頻域分析物理概念復雜、理論計算枯燥、學生理解困難等問題，通過對電力諧波分析評估科研項目分析、提煉、分解，設計頻域分析教學案例，分析電力諧波檢測的工程背景與問題提取，運用傅里葉變換實現諧波檢測，探討基于傅里葉變換諧波檢測的頻譜泄漏等工程問題。

關鍵詞：信號與系統；頻域分析；教學案例；科研實踐

中圖分類號：G424.2 文獻標識碼：A 文章編號：1674-1161（2016）05-0090-03

“信號與系統”是電氣電子信息類本科專業必修專業基礎課程，該課程的學習效果直接影響后續數字信號處理、通信原理等課程的學習，并且對學生建立信號分析與處理基本能力至關重要。然而，該課程物理概念抽象、數學推導復雜，涉及到大量理論計算，尤其是信號與系統的頻域分析理解困難，導致大部分學生僅能夠進行機械的數學演算，不理解頻域分析的物理概念和工程含義。因此，有必要結合信號分析工程應用實際，對具體項目進行分析、分解，提煉出適當的教學案例。在頻域分析知識點的講解中借助案例分析，能夠使學生更直觀體會頻譜的物理概念，了解頻域分析能解決的工程問題，深入理解傅里葉變換的基本原理?，F結合本團隊電力諧波檢測評估的科研課題，對其工程背景進行分析與提煉，設計電力信號頻域分析教學案例，即電力諧波檢測與分析。

1 電力諧波檢測工程需求與問題分析

變頻裝置、電弧爐、電氣化鐵路等電力電子裝置的廣泛應用，不可避免的使電網電流和電壓波形產生較大畸變，向電網中注入與基波頻率成整數倍的頻率分量，即諧波分量。電力諧波對電網具有很大危害：可能引發諧振現象，導致電容器、互感器等設備因過電流或過電壓而損壞甚至爆炸；可能引起電壓波形過零點偏移，正負半波幅值變化，導致繼電保護等保護設備拒動作或誤動作，影響電網正常運行。因而，國際（IEEE、IEC等）及國內制定相關電能質量標準，限制電網中諧波含量。諧波準確檢測是電網諧波評價與抑制的基礎。

目前，傅里葉分析方法（FT）仍是諧波分析檢測的主要方法。IEC國際標準61000-4-7和國家標準均給出了基于快速傅里葉變換（FFT）諧波子組測量方法，我國50 Hz電力系統的諧波頻譜分析時間長度為10周波，即200 ms；數據截斷窗函數為矩形窗；各個頻率分量計算采用組/子組計算方法；需采用同步鎖相技術。

在案例設計中應注意如下問題：1） 介紹電力諧波分析的工程背景，使學生直觀體會信號與系統頻域分析理論能夠解決的實際工程問題；2） 電力諧波檢測的工程實際應用的理論算法為傅里葉頻域分析方法，帶領學生復習與熟悉FT算法的理論計算與推導，在理解物理概念基礎上完成理論計算；3） 應用FT理論方法時，注意增加分析窗函數長度、組/子組諧波計算等工程限制，讓學生體會理論方法在工程實際應用的具體實施方法；4） 諧波分析中通過比對理論計算值與真實計算值的差異，讓學生體會傅里葉分析方法頻譜泄漏等工程問題，并給予理論解釋。

案例設計應緊扣頻域分析教學內容，與頻域分析知識點緊密聯系，起到觸類旁通的作用，同時兼顧實踐性和啟發性，使其能夠切實服務于信號與系統課程教學。

2 頻域分析教學案例實施

2.1 諧波檢測的理論算法

根據IEC61000-2-1國際標準定義，諧波頻率為基波頻率的非整數倍。50 Hz電力系統電壓/電流二次諧波、三次諧波的頻率分別為100 Hz，150 Hz，其它諧波頻率以此類推。傅里葉分析方法將信號表示為眾多正弦信號之和，如公式（1）的傅里葉逆變換；傅里葉變換為信號各個頻率分量的大小，如公式（2）的傅里葉變換，可以應用傅里葉分析方法檢測電網諧波分量。

工程實際諧波測量或Matlab仿真均需采用數字信號處理方法，對應頻域分析方法為離散傅里葉變換（DFT），因此需對信號x（t）進行采樣得到有限長離散序列x（n），采樣率fs=10 kHz。截取x（t）的10個周期波形，因信號被離散化，采樣周期為0.1 ms，即一個周期采200個點，所以截取2 000個點實現同步截斷，再對采樣離散序列進行DFT算法處理得到頻域。利用MATLAB中的快速傅里葉變換（FFT）進行時域頻域轉換，其時域波形與頻譜圖如圖1所示。

根據傅里葉變換結果計算各頻率分量大小，檢測該信號中包含的4個頻率分量：基波、三次諧波、五次諧波和七次諧波，相對幅度分別為1.00，0.17，0.05和0.02，仿真檢測結果與理論值一致，驗證傅里葉分析方法諧波檢測的準確性。同時，對比國家標準規定的各次諧波限值，即可實現電網諧波含量的評估與監測，為后續諧波治理提供依據。

2.3 傅里葉分析的頻譜泄漏

工程中基于傅里葉分析的諧波檢測存在頻譜泄漏問題，因此，在實際諧波檢測中，分析信號的時間窗長度與電力信號頻率同步至關重要，現就該工程給予理論分析與解釋。從傅里葉分析公式（2）可知，信號頻譜是分析信號從負無窮到正無窮無限長信號的總體特性，而工程上借助計算機分析諧波分析僅能處理有限長度的信號。傅里葉變換為離散傅里葉變換，但在具體實現時，計算機將截斷的有限長度信號進行周期延拓來近似無限長信號，然后進行傅里葉變換。如果同步截斷，則周期延拓后信號與原信號一致，如圖2所示；如果非同步截斷，則周期延拓后信號在延拓節點產生突變點，其頻譜會出現非正常頻譜分量（見圖2），該現象稱為頻譜泄漏。由理論分析可知，頻譜泄漏出現的頻率成分并不是原信號本身具有的頻率分量，影響電力諧波檢測精度，因此在工程實際檢測中應盡量避免頻譜泄漏的發生。

3 結語

對電力諧波檢測工程應用進行分析、分解與提取，設計信號頻域分析的工程案例，給出傅里葉變換在工程諧波檢測中的理論方法、諧波檢測Matlab仿真實現，以及工程實際中諧波檢測的數字實現方法，分析頻譜泄漏等工程問題，并給予理論解釋。從理論方法、問題提取到工程實現，整個教學案例提供全面分析，將晦澀的理論知識具體化、形象化，有助于學生深入了解傅里葉變換頻域分析理論，激發學生學習熱情，促進教學環節的師生互動與討論。

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Abstract： In order to solve the problems in frequency domain analysis of signal and system teaching， such as complex physical concept， boring theoretical calculation and hard understanding for students etc， the scientific research project of electric power harmonic analysis and evaluation was analyzed， refined and decomposed for the teaching case designing of frequency domain analysis. The engineering background and problems extraction were analyzed， and the power harmonic detection was provided by using Fourier transform. The detection problem such as spectrum leakage in harmonic detection based on DFT was discussed.

Key words： signal and system， frequency domain analysis； teaching cases； scientific research practice