滲透數(shù)學思想 提煉數(shù)學方法

黃懷芳

【摘 要】闡述在平時教學中如何滲透數(shù)學思想，形成思想方法，并進行應用。

【關鍵詞】數(shù)學思想 數(shù)學方法 數(shù)學素養(yǎng)

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）07B-0116-02

教過數(shù)學的人都知道，要讓學生學好數(shù)學，不只是讓他們自己讀讀數(shù)學課本，強制他們做幾道數(shù)學題目就可以掌握好數(shù)學的。而是要在平時的數(shù)學課堂教學中，幫助學生弄清數(shù)學每章節(jié)內容主要概念的內涵與外延，疏理好該內容所涉及的公理、定理、性質、公式等，特別是要有意識地將該內容所涉及的數(shù)學精髓——數(shù)學思想，滲透其中。讓學生在系統(tǒng)掌握數(shù)學基本知識的基礎上，培養(yǎng)數(shù)學思維能力，掌握數(shù)學解題方法，并將數(shù)學思想方法靈活運用于平時的數(shù)學學習中，從而掌握學習數(shù)學的方法，不斷提高自身的數(shù)學素養(yǎng)。眾所周知，數(shù)學思想與數(shù)學方法是讓學生形成數(shù)學認知結構的紐帶，是學生將數(shù)學基本知識轉化為解決數(shù)學問題基本能力的橋梁，是讓學生養(yǎng)成良好的數(shù)學素質、形成數(shù)學思維及數(shù)學創(chuàng)新能力的載體，所以，數(shù)學教師，在平時的數(shù)學課堂教學中，要重視數(shù)學思想的滲透、提煉數(shù)學解題方法、培養(yǎng)學生開拓創(chuàng)新的數(shù)學思維能力。

一、數(shù)學思想的滲透

在平時的教學活動中，我們經常聽見有的老師抱怨說“現(xiàn)在的學生真奇怪了，講課本的數(shù)學基本知識，如定義、定理、公式、原理、公理等時都說懂了，講解習題時也說懂了，但一給他們類似的題目，卻又沒有思路，不知如何去解題”。這就是學生學習數(shù)學時出現(xiàn)的典型的“懂而不會”的現(xiàn)象。

針對諸如此類問題，筆者通過細致地調查研究，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)這些問題，是因為有些老師講解新知時照本宣科、生搬硬套，講解習題時也只是就題論題、講完了事，沒有讓學生理解知識的內涵，沒有教會學生掌握解題的思想方法。

如對于某個數(shù)學題，他們只向學生展示思維的結果，做完題目便了事，沒有重視思維的過程訓練，讓學生自己仔細審題，積極探究，然后朝著正確的數(shù)學思想方向去思考問題；更不會引導學生在做題中，養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣和數(shù)學反思習慣，因此無法做到舉一反三，觸類旁通。下面以例子來說明在教學中滲透數(shù)學思想的方法。

比如轉化思想中的換元法的應用，如求的值域。

這是復合函數(shù)的值域問題，如果用常規(guī)方法，那么比較難求。就平方根的性質來看，我們知道，如果用“換元法”，令，則，由知，因，得；于是得到函數(shù)的值域為。

學生從這一個題目中，學會了換元法，掌握了轉化的基本思想。在這一過程中，要讓學生知道數(shù)學思想是對數(shù)學現(xiàn)象、概念、公理、定理、公式等的本質認識，是數(shù)學知識的高度概括，是數(shù)學思維的行動指南。在課堂教學活動中重視滲透一些基本且重要的數(shù)學思想，如轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等。引導學生在平時的訓練中恰如其分地運用各種數(shù)學思想去解決數(shù)學問題。

二、數(shù)學方法的形成

數(shù)學方法是將數(shù)學思想展現(xiàn)在數(shù)學認知過程中的具體反映和體現(xiàn)，是解決數(shù)學的具體問題、應用數(shù)學思想的技能和工具。也就是說，數(shù)學方法就是寓數(shù)學思想于平時的教學過程與學生練習過程之中，使學生形成個性的思維活動，形成具體的解題方式。

如上面講的第1個例子，明確數(shù)學思考方向（轉化思想）以后，教給學應用這個思想去解決問題的具體方法——換元法，并總結出換元法的解題步驟：

（1）寫——寫出子母函數(shù)；

（2）定——定好新元的范圍；

（3）求——結合母函數(shù)圖象求出原函數(shù)的值域。

之后，總結出利用換元法求值域的兩個關鍵問題：一要注意新元范圍；二用新元 t 去求解（即將舊元 x 換為 t 后，就應該由 t 去求值域，而不能用 x 就去求值域）。之后進行反思，讓學生形成“遇難則換”的思維習慣，然后進一步鞏固用“換元法”求值域（或最值）的方法，牢記解題步驟。

在分析這兩道題的時候，提醒學生觀察這個函數(shù)，一個是指數(shù)函數(shù)，一個是對數(shù)函數(shù)，而且都有（x2-x+3），都是比較復雜的復合函數(shù)，如果用常規(guī)方法如觀察法、圖解法、配方法等無從下手，由此要聯(lián)想“遇難則換”的思想方法，轉換思想，通過換元的方法，將比較復雜的函數(shù)問題轉化為我們常見的基本函數(shù)問題，化繁為簡、化難為易，從而輕松解決這一類復雜的數(shù)學問題。

俗話說得好“授人以魚，魚不如授人以漁”，跟學生探索習題時，滲透數(shù)學思想，讓學生有了明確的思維方向，并在解題的過程中幫助他們提煉出解題的方法。就會取得舉一反三、觸類旁通的功效，以后學生遇到偏難的題目時，就會很快地想到這些方法，從而迎刃而解。

例2.求函數(shù) y=sin2x-2asinx+1的最小值。

筆者結合自己近25年的高中數(shù)學教學經驗，經過總結與細致的反思發(fā)現(xiàn)，凡是數(shù)學學習成績較好的學生，都是遵循“理清數(shù)學知識，形成基本題型”的方法去訓練和學習數(shù)學，讓每個數(shù)學內容都與一定的題型相對應，做到舉一反三、觸類旁通。

“理清數(shù)學結構知識”不是簡單的整理，而是在理解數(shù)學的基本定義、定理、公式、公理等的前提下，將它們進行有機地整合，并提煉成基本的解題思想和解題方法；“形成基本題型”也不是簡單歸納幾個題目就形成題型，而是將知識的內涵跟學生一起探索清楚，并通過設計一些有針對性的習題講解，然后才能逐步提煉出相應的解題思想和方法，最后才讓學生做到做一個題目掌握一類題目，做一類題目掌握整章知識的內涵。這就是“滲透數(shù)學思想，形成數(shù)學方法”的魅力。

那么，數(shù)學基本思想方法的結構是什么呢？

數(shù)學思想方法分兩個方面：

一是思想。也就是數(shù)學思考（思維）方向，這是一個人在解決實際問題時必須的一種行為方式，而思維是人的高級行為活動，人們常說“數(shù)學是思維的體操”，數(shù)學最能培養(yǎng)一個的思維能力，這個思維能力包括觀察、試驗、綜合、處理、分析、想象、抽象、概括、聯(lián)想、類比、猜想、歸納、化歸、演繹、一般與特殊的轉化等。

二是方法。也就是平常說的數(shù)學解題方法，它要求數(shù)學人要在理解數(shù)學知識內涵的前提下，通過一些習題的講解與訓練，揭示數(shù)學知識的本質，并提煉出具體解決數(shù)學問題的通法。相對于特殊的解題技巧而言，它更加具有一般規(guī)律性。

常見的數(shù)學主觀題的解題方法有：配方法、換元法、消元法、數(shù)形結合法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等。

常見的數(shù)學客觀題目的解題方法有：特殊值法、代入驗證法、數(shù)形結合法、篩選法等。

總之，數(shù)學思想方法就是用所學的數(shù)學基本知識特點，按照數(shù)學思維方式去思考，運用數(shù)學語言、數(shù)學符號等表述事物的狀態(tài)、關系和過程，并用數(shù)學公式、性質、定理等加以推導、演算和分析，以形成對數(shù)學問題的猜測、解釋、判斷和解答的具體方法。