陳華++張紅

摘 要：數學課程與教學的改革最終都要落實到課堂上，對數學課堂的研究一直是教學研究的焦點。本研究以匹茲堡大學QUASAR研究項目中的“數學任務分析框架”為基礎，選取成都某小學五年級數學公開課——“找質數”進行課堂觀察，分析在任務實施過程中學生認知水平的變化情況，并解釋導致數學任務發生變化的原因，以期為促進教師專業發展提供參考。

關鍵詞：數學任務；課堂研究；小學數學

新課程改革實施以來，對傳統教學模式提出了挑戰，而改革最終都要落實到課堂上，因此數學課堂研究一直是數學教育研究關注的焦點。本研究以美國匹茲堡大學“QUASAR計劃”研究項目中的“數學任務分析框架”為依據，去剖析一個小學課例，研究教師如何組織和實施數學教學任務，并且分析在任務實施過程中學生認知水平的變化情況，解釋影響任務實施的主要因素。

一、數學任務分析框架簡介

美國匹茲堡大學“QUASAR（Quantitative Understanding：Amplifying Student Achievement and Reasoning）計劃”的主要目標是給學生提供更多的思維、推理、問題解決和數學交流的機會。研究者將數學教學任務定義為：不僅是課本上或教師授課計劃中出現的問題，而且是圍繞教師和學生組織和實施那些問題所進行的課堂活動。數學任務的展開是一個連續的過程，“QUASAR計劃”中的數學任務框架可以用來分析課堂教學，任務通常在以下三個階段被檢視：（1）當它出現于課程或教材或由教師自己創造時；（2）教師在課堂上創建或發布任務時；（3）學生演算或思考時。這三個階段，尤其是第三個階段（即任務實施階段）被認為對學生實際學到了什么有重要影響，見圖1。

Stein（1998）根據認知要求將數學任務分成2類共4種水平，所謂認知要求指的是學生成功參與并完成任務所需思維的種類和水平。

A. 記憶——任務需要對以前學過的知識簡要回憶，不需理解；

B. 無聯系的程序——任務提供了解決問題的公式、步驟，與意義不相關；

C. 有聯系的程序——任務集中在選擇解決問題的程序上，與意義相關；

D. 做數學——任務并未暗示可預期的解題途徑，需要研究問題的內在結構，進行復雜的思考。

其中A、B屬于低認知水平類型的任務，C、D屬于高認知水平類型的任務。

本文據此來分析教師在組織和實施數學任務過程中學生思維水平的變化，并且考查數學任務得以保持或者降低的主要影響因素，為改進教師課堂教學提供參考。

二、課堂案例分析

1. 教師組織和實施數學任務的過程

本節課授課內容為“找質數”，授課地點是成都市某小學，是四川省第二屆小學課堂轉型與生態課堂教學研討會中的一堂數學課，執教的F老師具有豐富的教學經驗，該班學生今年五年級，特點是思維活躍、學習積極性高。筆者首先參與了本堂公開課，并且進行了錄像，在課后反復觀看課堂實錄的基礎上，筆者將F教師的主要教學行為進行了整理，將該教師所組織和實施的主要數學任務提取出來，按照“QUASAR計劃”的分析框架，對數學任務及學生的認知水平進行分類，見表2。

2. 核心數學任務分析

本堂課內容為“找質數”，學生在課前已經預習，對質數的概念和簡單性質有了一定了解，基本上可以說出質數和合數的概念，因此教師將本堂課的核心數學任務定為找出1到100中所有的質數。該數學任務的綜合性較強，任務的復雜之處在于沒有解決該問題的特定方法，學生可以從多個角度入手，但是要得出所有正確的答案，就需要小組合作交流和嚴謹的數學思維，這對學生要求較高，因此屬于高認知水平數學任務。筆者先對該教學片段進行簡要描述，再進行深入分析。

教師：我們請一個小組來講講他們的發現。

講解的小組共4名學生。

組生1：我的方法是根據質數的定義一個一個地找，我講完了，誰有評價？

學生（多數）：你這樣一個一個列舉耗費的時間太多了。

教師：你們小組還有其他方法嗎？

組生2：我有一個方法是速記法，2，3，5，7和11，13后面是17……這樣依次類推，三個三個地非常好記，我講完了，誰有評價？

生1：我覺得你這種方法不太保險，因為我發現了一個錯誤，57是3的倍數，所以是合數。我有一種方法，先去掉合數，剩下的就是質數，首先1既不是質數也不是合數，應劃去，再劃掉2、3、5、7的倍數，剩余的全都是質數。

組生2：我覺得你的方法非常好。

教師：我讓一位同學來配合你，我在投影前放了一張新表，你說怎么劃，她就怎么劃，你說，她來配合。

組生2：先劃掉除2以外的2的倍數。

學生們看著屏幕，一位學生在投影前挨個劃掉了2的倍數。

組生2：1既不是質數也不是合數，應劃掉，2的倍數已經劃掉了，再劃掉3的倍數。

教師：下面很多同學想幫忙。

生2：我們以前學過2和5的倍數的特征，2的倍數的特征是個位為0，2，4，6，8，質數的特征是只有1和本身兩個因素，所以劃掉個位是0，2，4， 6，8的數，5的倍數的特征是個位為0，5，所以把個位是0，5的數劃掉，最后再一個一個去掉合數。

教師：還有哪個數的倍數沒有被劃掉。

組生2：3的倍數，3的倍數很特殊，需要各個數位上的數字之和加起來是3的倍數，這樣的數有哪些呢？

學生（多數）：9，33，39，42，……

組生2：47？49？……那我們現在把3的倍數都找完了。

生3：要劃掉49，因為是7的倍數。

組生2：我們是要先劃掉3的倍數，再劃掉7的倍數。

組生2：7的倍數。13？17？……97？接下來我們找11的倍數，只有這么斜著的一排，它的個位和十位數字要一樣，已經被全部劃掉了，誰還有補充？

……

組生3：我來總結一下我們小組的方法，第一種就是一個個找，第二種就是逆向思維，先找2，3，7的倍數。

最后教師總結，并且用多媒體演示剛才通過大家努力得到的方法，動畫演示依次去掉2，3，5，7的倍數。

教師：這種方法其實在古希臘的時候就有數學家發現了，古希臘人把數寫在涂蠟的板上，每要劃去一個數，就在上面記以小點，尋求質數的工作完成后，這許多小點就像一個篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫作“拉托斯特尼篩法”，簡稱“篩法”。今天這堂課如果早上兩千多年，說不定這種方法就可以叫作“五二班篩法”。

本堂課教師將核心任務定為找1到100內所有的質數，并且整個過程花了26分鐘，占了本堂課58%的時間。在整個過程中，教師將更多的時間留給學生，讓學生先獨立思考再小組討論，讓學生講解，讓學生評價，讓學生提問，給了學生充分表達的機會，真正做到了以學生為中心的教學理念，而教師是課堂的促進者，能在恰當的時機提問和總結。在這個教學片段中，教師使討論始終圍繞數學任務展開，并推動其逐步發展，保持了數學任務的探究水平，其中教學過程的主要特點是：

（1）保持問題的復雜性，通過搭“腳手架”給予學生幫助

F教師先給了充足的時間讓學生進行獨立思考和小組討論，而教師在教室中走動，看學生做的情況并詢問討論的結果，適當讓學生表 達自己的方法，教師在仔細聽取了學生想法的基礎上，對學生的困難或疑惑的根源進行評估，然后給出適當的建議，幫助他們依靠自身的努力去解決問題。

（2）保持對學生給出解釋和意義的壓力

F教師通過向學生提問、追問或讓學生相互提問和評價等方式，把討論引向意義或概念，而不只是最終的正確答案，如在上述教學判斷中，教師說：“我還想提一個問題……”“其余同學還有補充嗎？”“為什么呢？”一系列的問題引發了學生的積極思考，而學生的相互評價，如“我覺得這個方法太復雜，我有簡單的方法”“我覺得這個方法非常好”等，學生的頭腦風暴，最終使得數學任務圓滿解決。

（3）學生以主體性地位示范了高水平的解答

在進行了小組討論后，F教師讓一個小組的4名學生到講臺上分享他們討論的成果，剛開始他們提供的方法并不那么讓人滿意，后來通過教師的引導和同學的幫助，該小組的學生迅速整理了思路。教師還是將機會留給了學生，并沒有因為時間的原因就剝奪了學生的機會。從上面展現的教學片段來看，該生得到的數學思考方法對他的成長是有很大幫助的，其他學生也在熱烈的討論中學會了如何思考問題。

（4）創建自由、平等、有序的課堂環境

F教師轉變了以往的教育觀念，認為教學是師生相互學習、共同探究的過程，她鼓勵學生自由表達想法，相互評價質疑，讓學生真正參與到課堂中。雖然表面上課堂“亂哄哄”的，但是學生始終圍繞著數學任務展開激烈的討論，讓學生從被動學習轉向了主動學習。這樣的課堂可以促使學生保持積極思考的狀態。

然而，本堂課在其他數學任務上也出現了認知水平下降的情況，主要因素有：（1）教師“包辦”了學生的思維和推理，練習只是給出了答案，并且提問“從剛才的題目中你有什么發現”，盡管有學生舉手，但是教師沒給學生發言的機會，而是直接告訴了學生題目背后的數學問題，接著教師介紹了著名的“哥德巴赫猜想”，因為沒有引導學生從題目背后進行深入發現，學生對這樣突兀的介紹顯然有點接受不了，沒能達到預期的教學目的。（2）教師把重點從意義、概念或理解轉向答案的正確性或完整性。如最開始讓學生判斷自己的學號是質數還是合數時，教師讓學生必須按照示范的例子的格式來回答，她好像相信模仿和反復練習最終能使學生毫無錯誤地完成程序，得到正確答案，因此降低了任務的高認知水平。（3）時間不足。教師在多個數學任務的時間上安排得不恰當，以致在課堂最后的總結部分，為了節約時間F教師沒有讓學生分享本節課的收獲，而是由教師代替匆忙做了簡要的總結，使任務水平下降。

三、結論與建議

一堂課中我們可以從不同的角度審查數學任務，包括從數學任務的數量、類型，任務的組織和實施方式等?！癚UASAR”計劃從認知要求的角度入手分析數學任務。通過以上對F教師課堂的分析我們可以看到，盡管學生和教師都被認為是課堂活動的重要貢獻者，但教師對學生思維和推理的支持方式和程度是決定高水平任務最終命運的一個重要因素。該課例中，數學任務的數量不多，教學主要是圍繞核心任務展開，在實施過程中教師注意保持了任務的高認知水平，F教師的本堂課值得其他在職教師參考。當然，該教師應該注意時間的合理安排，因為在教學中也出現了組織階段高認知水平數學任務下降為實施階段的低認知水平數學任務的情況。隨著教育改革的深入，課堂中高認知水平的數學任務越來越多，但是如何保持任務的高認知水平一直是研究的焦點，筆者認為教師可以按照數學任務分析框架，在課后加強教學反思，這種反思可以是個人反思，也可以是以教學研討的形式進行的反思，這對促進教師專業發展非常有利。