懸索橋的靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散有限元精細(xì)化分析

吳長青++張志田 ?k??

摘要：基于大跨度懸索橋剛度退化及靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的機(jī)理，選取了兩個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)分別用以判斷均勻流場和紊流場中懸索橋的剛度退化情況.在均勻流場中，由于主纜的變形形態(tài)與演變規(guī)律都很簡單，因此可以選取主纜中點(diǎn)的豎向位移作為評(píng)價(jià)剛度退化及扭轉(zhuǎn)發(fā)散的標(biāo)準(zhǔn).當(dāng)主纜中點(diǎn)向上的豎向位移恰好使其應(yīng)力松弛時(shí)，結(jié)構(gòu)將會(huì)出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象，這一豎向位移稱為臨界豎向位移.然而，在紊流場中，紊流中的脈動(dòng)成分往往會(huì)引起結(jié)構(gòu)顯著的多模態(tài)耦合疊加的復(fù)雜響應(yīng).此時(shí)，前述的標(biāo)準(zhǔn)不再適用.為此，本文提出了一種基于識(shí)別時(shí)域范圍內(nèi)主纜長度的方法，即在時(shí)域范圍內(nèi)，當(dāng)任意一條主纜的長度的最小值達(dá)到或十分接近無應(yīng)力長度時(shí)，主纜將軟化進(jìn)而引起間歇式扭轉(zhuǎn)發(fā)散.靜、動(dòng)力有限元分析表明，上述方法可以較好地解釋大跨度懸索橋在不同流場中的扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象.

關(guān)鍵詞：懸索橋；扭轉(zhuǎn)發(fā)散；剛度退化；評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；有限元分析

中圖分類號(hào)：U448.25 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

對(duì)于大跨度懸索橋而言，靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)可能先于動(dòng)力失穩(wěn)出現(xiàn).因此，大跨度懸索橋必須具備良好的靜風(fēng)穩(wěn)定性能.扭轉(zhuǎn)發(fā)散概念來源于航空工程學(xué)中機(jī)翼的靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象，即機(jī)翼的扭轉(zhuǎn)變形隨著風(fēng)速的逐漸增加而緩慢增加，當(dāng)風(fēng)速達(dá)到某一值時(shí)，扭轉(zhuǎn)變形急劇躍增至一個(gè)很大的程度而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞[1-2].Simiu與Scanlan在大跨度橋梁抗靜風(fēng)研究中首次引用了這一概念，并提出了一種簡單估算主梁扭轉(zhuǎn)發(fā)散臨界風(fēng)速的線性方法[3]，但是它是基于線性假定而提出的，忽略了所有的非線性效應(yīng)，這顯然不能準(zhǔn)確地評(píng)估橋梁的靜風(fēng)穩(wěn)定性能.

為了考慮非線性因素的影響，Boonyapinyo等提出了一種靜力有限位移法來分析大跨度斜拉橋的耦合屈曲問題[4-5].不久，Chen等采用此方法對(duì)大跨度懸索橋的靜風(fēng)失穩(wěn)問題進(jìn)行了研究[6-7].在這些研究中，均采用了靜力有限元方法，并考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性、材料非線性及風(fēng)荷載非線性的影響.需要提出的是，靜力有限元方法可以較好地揭示橋面扭轉(zhuǎn)發(fā)散的機(jī)理與發(fā)展的全過程，但是無法考慮紊流引起的隨機(jī)響應(yīng)對(duì)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的影響.眾所周知，大氣邊界層附近的流場都是紊流.因此，有必要采用動(dòng)力有限元方法來探究紊流對(duì)大跨度懸索橋靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的影響.

已有研究表明，隨著作用在結(jié)構(gòu)上向上荷載的逐漸增減，主纜系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)軟化現(xiàn)象，這表明向上的運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度會(huì)產(chǎn)生不利的影響[8].為了討論紊流的影響，張志田等采用了動(dòng)力有限元方法研究了一座大跨度懸索橋的靜風(fēng)穩(wěn)定性[9].結(jié)果表明，紊流引起的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)明顯地降低了橋梁的靜風(fēng)穩(wěn)定性能.但是大跨度懸索橋的靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散機(jī)理那時(shí)依然不清楚.后來.張志田等基于風(fēng)洞試驗(yàn)成果并建立了廣義梁索分析模型，較好地揭示了大跨度懸索橋扭轉(zhuǎn)發(fā)散的本質(zhì)原因是主纜系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度的退化[10-11].對(duì)于大跨度懸索橋而言，結(jié)構(gòu)體系的扭轉(zhuǎn)剛度主要來源于由兩根主纜組成的主纜系統(tǒng)而不是橋面[12].因此，當(dāng)主纜系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度退化后，橋面極易在風(fēng)荷載的作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)破壞.

本文基于大跨度懸索橋剛度退化及靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的機(jī)理，采用靜、動(dòng)力有限元分析方法分別研究了均勻流場及紊流場中矮寨大橋的靜風(fēng)穩(wěn)定性能，并提出了這兩種流場各自適用的剛度退化的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).在均勻流場中，由于主纜的變形形態(tài)與發(fā)展規(guī)律明確且易于描述，因此可以選取主纜中點(diǎn)的臨界豎向位移作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).當(dāng)任意一條主纜向上的豎向位移達(dá)到臨界值時(shí)，主纜將發(fā)生軟化并致使主纜系統(tǒng)喪失了絕大部分的扭轉(zhuǎn)剛度，這一過程即為剛度退化過程.剛度退化后，橋梁結(jié)構(gòu)只殘余主梁提供的扭轉(zhuǎn)剛度.然而這一部分剛度很容易被風(fēng)速引起的氣動(dòng)扭轉(zhuǎn)負(fù)剛度抵消，最終導(dǎo)致橋面發(fā)生扭轉(zhuǎn)破壞.本文采用靜力有限元的方法求解了臨界豎向位移值，并評(píng)估其他一些響應(yīng)對(duì)該臨界值的影響.然而，在紊流場中，脈動(dòng)風(fēng)將會(huì)引起結(jié)構(gòu)顯著的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)，主纜的響應(yīng)也變得十分復(fù)雜.此時(shí)，前述的標(biāo)準(zhǔn)將不再適用.為此，本文提出了一種基于識(shí)別時(shí)域范圍內(nèi)主纜長度的方法，即在時(shí)域范圍內(nèi)，當(dāng)任意一條主纜的長度的最小值達(dá)到或十分接近無應(yīng)力長度時(shí)，主纜將發(fā)生軟化而使得橋面出現(xiàn)間歇式扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象.本文將采用動(dòng)力有限元分析方法并結(jié)合這一標(biāo)準(zhǔn)來解釋紊流場中大跨度懸索橋扭轉(zhuǎn)發(fā)散特性.

3有限元分析

3.1工程概況

以矮寨大橋?yàn)橛邢拊憷?矮寨大橋?yàn)橐蛔絽^(qū)峽谷大跨度懸索橋，采用鋼桁架梁方案.橋梁主跨1 176 m，加勁梁全長1 000.5 m；主纜矢跨比1∶9.6，兩條主纜形心距27 m；梁高7.5 m，桁架節(jié)間距7.25 m.全橋布局如圖1所示.表1列出了矮寨大橋的主要計(jì)算參數(shù).圖2為全橋ANSYS有限元模型，采用的是單主梁模型，共有471個(gè)節(jié)點(diǎn)和687個(gè)單元.圖3給出了加勁梁斷面的靜力三分力系數(shù).計(jì)算時(shí)主梁上同時(shí)施加阻力、升力與升力矩，靜力三分力系數(shù)按圖3取值；主纜上只施加阻力，阻力系數(shù)取0.8.

3.2靜力有限元分析

基于ANSYS軟件采用靜力有限元方法研究均勻流場中大跨度懸索橋的扭轉(zhuǎn)發(fā)散特性.計(jì)算中考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性及風(fēng)荷載非線性效應(yīng)，忽略了材料非線性效應(yīng)，且初始風(fēng)速攻角均取0°.為了評(píng)估其他響應(yīng)對(duì)臨界豎向位移值的影響，本文構(gòu)造了幾種具有不同約束條件的有限元模型，模型的描述及其對(duì)應(yīng)的數(shù)值結(jié)果見表2.

表3給出了實(shí)際模型（情形F）在不同平均風(fēng)速作用下主纜中點(diǎn)的豎向響應(yīng)均值及主梁中點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)值.圖4分別為情形F對(duì)應(yīng)的迎風(fēng)面主纜中點(diǎn)的豎向響應(yīng)曲線和主梁中點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)曲線.由圖4可知，風(fēng)速從140 m/s增至145 m/s的過程中，豎向響應(yīng)與扭轉(zhuǎn)響應(yīng)均出現(xiàn)了明顯的躍增現(xiàn)象，這表明結(jié)構(gòu)正經(jīng)歷失穩(wěn)破壞過程，這種情況下的臨界失穩(wěn)風(fēng)速可定為140 m/s.由表3可知，臨界豎向位移值為12.634 m，大于臨界豎向位移的理論值（6.349 m），這表明有限元計(jì)算得到的臨界豎向位移值還受到結(jié)構(gòu)其他響應(yīng)的影響.

對(duì)于情形A中的新模型1，它是在實(shí)際結(jié)構(gòu)的有限元模型上，約束主纜的側(cè)向自由度和橋塔塔頂?shù)捻槝蛳蜃杂啥榷玫降?對(duì)該模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果如下：圖5（a）為迎風(fēng)面主纜中點(diǎn)的豎向響應(yīng)曲線，圖5（b）為主梁中點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)曲線.由圖5（a）可識(shí)別出這種情形下的臨界豎向位移為6.386 m，與廣義模型預(yù)測的理論值相當(dāng)接近，這表明之前的猜想是正確的.

對(duì)于情形B中的新模型2，它是在實(shí)際結(jié)構(gòu)的有限元模型上，約束橋塔塔頂?shù)捻槝蛳蜃杂啥榷玫降模粚?duì)于情形C中的新模型3，它是在實(shí)際結(jié)構(gòu)的有限元模型上，約束主纜的側(cè)向自由度而得到的.這兩種情形對(duì)應(yīng)的數(shù)值結(jié)果分別在圖6及圖7中顯示.由表3可知，情形B對(duì)應(yīng)的臨界豎向位移值為11.233 m，相比理論值大4.884 m.情形C對(duì)應(yīng)的臨界豎向位移值為8.119 m，相比理論值大1.770 m.這表明主纜的側(cè)向響應(yīng)和橋塔塔頂?shù)捻槝蛳蝽憫?yīng)均可以在不同程度上延緩剛度退化，提高臨界豎向位移值.

由扭轉(zhuǎn)發(fā)散機(jī)理可知，向上的豎向位移引起的主纜系統(tǒng)剛度退化是懸索橋靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的主要原因.鑒此，通過約束主梁豎向自由度來限制主纜的豎向響應(yīng)的措施應(yīng)當(dāng)可以提高結(jié)構(gòu)的靜風(fēng)穩(wěn)定性能.采取措施后的有限元分析結(jié)果如圖8所示，當(dāng)風(fēng)速高達(dá)200 m/s以上時(shí)，主梁的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)仍然比較小，未出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的跡象.比較圖8與圖4（b）可知，降低主纜豎向響應(yīng)的措施可以有效地提高結(jié)構(gòu)的靜風(fēng)穩(wěn)定性能.

3.3動(dòng)力有限元分析

采用動(dòng)力有限元法研究紊流場中大跨度懸索橋的扭轉(zhuǎn)發(fā)散特性.采用諧波合成法[13-15]模擬得到了橋梁一系列離散位置處的隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程.模擬時(shí)取B類場地，衰減指數(shù)取0.16，粗糙高度取0.05 m，目標(biāo)風(fēng)速功率譜按《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》的建議取Kaimal譜.模擬得到的脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，其順風(fēng)向紊流強(qiáng)度為0.19左右，豎風(fēng)向紊流強(qiáng)度為0.10左右.計(jì)算中考慮了結(jié)構(gòu)的幾何非線性及風(fēng)荷載非線性效應(yīng)，忽略了材料非線性效應(yīng).

圖9為0°攻角下三種風(fēng)速時(shí)程下主梁中點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)時(shí)程曲線.由圖可知，扭轉(zhuǎn)峰值響應(yīng)在風(fēng)速由105 m/s增至110 m/s的過程中出現(xiàn)了十分顯著的躍增現(xiàn)象.110 m/s風(fēng)速情形下的最大扭轉(zhuǎn)響應(yīng)峰值達(dá)到60°，且絕大部分峰值都大幅度偏離在均勻流曲線上方，這表明當(dāng)風(fēng)速等于或超過110 m/s時(shí)，主梁將進(jìn)入間歇式扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)狀態(tài).據(jù)此，可以確定矮寨大橋在紊流場中的臨界失穩(wěn)風(fēng)速為105 m/s.

圖10分別給出了三種不同風(fēng)速時(shí)程下的主纜長度時(shí)程曲線.通過觀察曲線變化規(guī)律，可以歸納以下兩點(diǎn)：1）對(duì)于風(fēng)速為100 m/s與105 m/s的情形，無論是迎風(fēng)面主纜還是背風(fēng)面主纜，主纜長度的變化幅度均不是很大，而且其低峰值均位于無應(yīng)力長度曲線的上方較高位置處，由此可知兩根主纜的長度增量均大于零且較大.這表明兩根主纜的應(yīng)力均較大，主纜系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度也較大，因此主梁的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)較小，結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài).2）對(duì)于風(fēng)速為110 m/s的情形，背風(fēng)面主纜的長度總體上要比迎風(fēng)面主纜的長度要長，這表明結(jié)構(gòu)體系的平均扭轉(zhuǎn)角為抬頭力矩方向.此外由圖可知，迎風(fēng)面主纜長度的低峰值已經(jīng)十分接近無應(yīng)力長度，即時(shí)域范圍內(nèi)主纜長度的增量已經(jīng)趨近于零，這意味著迎風(fēng)面主纜出現(xiàn)了間歇式軟化現(xiàn)象，主纜系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度大幅度降低，橋面主梁出現(xiàn)顯著的間歇式扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象，如圖9（c）所示.從時(shí)域范圍內(nèi)主纜長度時(shí)程曲線角度分析，也可以確定矮寨大橋在紊流場中的扭轉(zhuǎn)發(fā)散臨界風(fēng)速為105 m/s.這表明公式（9）所描述的臨界風(fēng)速與剛度退化評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是適用并可靠的.

在時(shí)域范圍內(nèi)選取了5個(gè)時(shí)刻，從主纜全長的角度展現(xiàn)并分析這些時(shí)刻的豎向響應(yīng)及側(cè)向響應(yīng)情況.

由上述分析可知，風(fēng)速為105 m/s時(shí)，結(jié)構(gòu)未出現(xiàn)剛度退化及扭轉(zhuǎn)發(fā)散現(xiàn)象，主纜的豎向響應(yīng)中主要包含少數(shù)低階振型，因此主纜的豎向振型表現(xiàn)為比較規(guī)則的正對(duì)稱形態(tài)或反對(duì)稱形態(tài)，如圖11所示.此外，由此圖也可知主纜的豎向響應(yīng)也較小，這表明主纜的拉應(yīng)力較大，主纜系統(tǒng)仍然具有較大的扭轉(zhuǎn)剛度.然而，當(dāng)風(fēng)速為110 m/s時(shí)，橋面已經(jīng)出現(xiàn)了顯著的間歇式失穩(wěn)現(xiàn)象.無論是迎風(fēng)面主纜還是背風(fēng)面主纜，其豎向響應(yīng)較大而且線型變得比較復(fù)雜沒有規(guī)則，如圖12所示.這可以歸因于主纜的剛度退化，由于主纜出現(xiàn)了顯著的軟化，其高階振型很容易被風(fēng)速時(shí)程激起，從而使得更多的高階振型也參與到豎向響應(yīng)中來.

對(duì)于主纜的側(cè)向變形而言，也有類似的規(guī)律.當(dāng)風(fēng)速為105 m/s時(shí)，主纜的側(cè)向響應(yīng)較小，而且側(cè)彎振型表現(xiàn)為規(guī)則的正對(duì)稱拋物線型，如圖13所示.然而，當(dāng)風(fēng)速達(dá)到110 m/s時(shí)，由于主纜系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)剛度的大幅度降低，側(cè)向響應(yīng)明顯增大，同時(shí)一些較高階側(cè)彎振型也參與進(jìn)來，使得側(cè)向振型變得不規(guī)則，不同時(shí)刻的側(cè)向響應(yīng)曲線出現(xiàn)了相互交織的現(xiàn)象，如圖14所示.

表4簡要總結(jié)了大跨度懸索橋扭轉(zhuǎn)發(fā)散及剛度退化研究的成果.由表可知，紊流場中懸索橋的扭轉(zhuǎn)發(fā)散臨界風(fēng)速遠(yuǎn)低于均勻流場中的臨界風(fēng)速.這表明紊流引起的抖振響應(yīng)大大降低了橋梁的靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)穩(wěn)定性能.

4結(jié)論

本文分別采用靜、動(dòng)力有限元方法研究了大跨度懸索橋在均勻流場及紊流場中的扭轉(zhuǎn)發(fā)散特性與剛度退化的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，研究結(jié)果總結(jié)如下：

1）對(duì)于均勻流場，選取主纜中點(diǎn)的臨界豎向位移作為剛度退化的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).求解了主纜剛度退化對(duì)應(yīng)的臨界豎向位移并研究了主纜側(cè)向響應(yīng)及橋塔頂部響應(yīng)對(duì)臨界豎向位移的影響.靜力有限元結(jié)果表明，主纜側(cè)向響應(yīng)及橋塔頂部順橋向響應(yīng)可以在一定程度上延緩主纜的應(yīng)力松弛，提高臨界豎向位移值.

2）對(duì)于紊流場，通過識(shí)別時(shí)域范圍內(nèi)主纜的長度，并以時(shí)域范圍內(nèi)主纜長度的最小值達(dá)到無應(yīng)力長度作為剛度退化的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).動(dòng)力有限元結(jié)果表明，當(dāng)主梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)發(fā)散時(shí)，迎風(fēng)面主纜的長度低峰值已經(jīng)十分接近無應(yīng)力長度，驗(yàn)證了此評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的適用性與可靠性.

3）靜、動(dòng)力有限元分析的結(jié)果表明，在均勻流場中，大跨度懸索橋的扭轉(zhuǎn)發(fā)散形式具有突發(fā)性的，而在紊流場中表現(xiàn)為間歇式的.相同平均風(fēng)速下，紊流場的結(jié)構(gòu)響應(yīng)比均勻流場大得多；脈動(dòng)風(fēng)引起的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)大幅度降低了大跨度懸索橋的靜風(fēng)穩(wěn)定性能.

參考文獻(xiàn)

[1]陳政清. 工程結(jié)構(gòu)的風(fēng)致振動(dòng)、穩(wěn)定與控制[M].北京： 科學(xué)出版社， 2013：124-128.

CHEN Zhengqing. Wind induced vibration， stability and control of engineering structure [M]. Beijing： Science Press， 2013：124-128. （In Chinese）

[2]DOWEL E H， CLARK R. A modern course in aeroelasticity [M]. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers， 2004：327-328.

[3]SIMIU E， SCANLAN R H. Wind effects on structuresan introduction to wind engineering [M]. Hokoben： John Wiley&Sons，1992：308-312.

[4]BOONYPINYO V， YAMADA H， MIYATA T. Wind induced nonlinear lateral torsional buckling of cablestayed bridge[J].Journal of Structural Engineering，ASCE，1994，120（2）：486-506.

[5]BOONYAPINYO V， LAUHATANON Y， LUKKUNAPRASIT P. Nonlinear aerostatic stability analysis of suspension bridges [J]. Engineering Structure， 2006，28（3）：793-803.

[6]CHEN Jin， JIANG JianJing， XIAO RuCheng， et al. Advanced aerostatic stability analysis of cablestayed bridges using finite element method [J]. Computers and Structures，2002，80：1145-1158.

[7]CHEN Jin， JIANG Jianjing， XIAO Rucheng， et al. Series method for analyzing 3D nonlinear torsional divergence of suspension bridges[J]. Computers and Structures，2003，81（5）：299-308.

[8]ARENA A， LACABONARA W. Nonlinear parametric modeling of suspension bridge under aeroelastic forces [J]. Nonlinear Dynamics，2012，70：2487-2510.

[9]ZHANG Zhitian， CHEN Zhengqing， HUA Xungang， et al. Investigation of turbulence effects on torsional divergence of longspan bridge by using dynamic finite element method[J]. Journal of Bridge Engineering， ASCE，2010，16（6）：639-652.

[10]張志田，張偉峰.懸索橋在紊流風(fēng)場中的靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散機(jī)制[J].土木工程學(xué)報(bào)，2013，46（7）：74-81.

ZHANG Zhitian， ZHANG Weifeng. Mechanism of aerostatic torsional divergence of suspension bridges in turbulent flows[J]. China Civil Engineering Journal， 2013，46（7）：74-81.（In Chinese）

[11]ZHANG Zhitian， GE Yaojun， YANG Yongxin. Torsional stiffness degradation and aerostatic divergence of suspension bridge decks[J]. Journal of Fluids and Structures， 2013， 40：269-283.

[12]項(xiàng)海帆，葛耀君. 懸索橋跨徑的空氣動(dòng)力極限[J]. 土木工程學(xué)報(bào)， 2005，38（1）：60-70.

XIANG Haifang， GE Yaojun. On aerodynamic limit to suspension bridges [J]. China Civil Engineering Journal， 2005，38（1）：60-70.（In Chinese）

[13]DEODATIS G. Simulation of ergodic multivariate stochastic process [J]. Journal of Engineering Mechanics， ASCE，1996，122（8）：778-787.

[14]吳長青，張志田，陳政清. 懸索橋靜風(fēng)扭轉(zhuǎn)發(fā)散的影響因素研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，43（3）：15-22.

WU Changqing， ZHANG Zhitian， CHEN Zhengqing. Research of influencing factors on aerostatic torsional divergence of suspension bridges[J]. Journal of Hunan University： Natural Sciences，2016，43（3）：15-22. （In Chinese）

[15]羅俊杰，韓大建.大跨度結(jié)構(gòu)隨機(jī)脈動(dòng)風(fēng)場的快速模擬方法[J].工程力學(xué)，2008，25（3）：96-101.

LUO Junjie， HAN Dajian. A fast simulation method of stochastic wind field for longspan structures[J]. Engineering Mechanics，2008，25（3）：96-101.（In Chinese）