將建模意識培養貫穿于知識發展過程中——以“多邊形的內角和”為例

☉江蘇如皋高新區實驗初中殷瑾

將建模意識培養貫穿于知識發展過程中——以“多邊形的內角和”為例

☉江蘇如皋高新區實驗初中殷瑾

數學模型是學生分析和解決數學問題的重要工具，具有較強的建模意識將有利于學生從復雜的問題情境中抽取數量關系，找尋問題解決的路徑.在初中階段，很多教師將培養學生的建模意識作為自己教學一項重要任務在基礎知識教學中加以落實，取得了很好的效果.現結合“多邊形的內角和”的教學，談談這些老師的做法，希望能給您帶來啟示.

一、新知教學：從公式到方程

新知教學是數學教學的重要內容.初中階段的每一次新知教學幾乎都會蘊含一些數學模型.因而，獲取及應用新知的過程也就成為了培養學生建模意識的過程.

案例1：“多邊形的內角和”新知探究.

教師引導學生通過構造不同的輔助線將多邊形分成若干個三角形，進而得出多邊形的內角和計算公式：W=180°（n-2）.接下來，教師提問：在這個公式中有幾個未知數？（2個）如果給你一個未知數的值，這個公式變成什么了？（方程）在學生給出結論后，教師投影例題.

例題：一個多邊形的內角和是1980°，求它的邊數.

學生自主解答，然后在小組和全班進行交流.最后，教師就怎樣由公式出發建構方程模型進行了總結.

簡析：在多邊形的內角和教學中，師生經歷由特殊到一般的認知歷程后，獲得了內角和公式，這個公式實際上是一個函數模型.教師針對公式的追問：“這個公式中有幾個未知數”，將函數思想滲透其中；“如果給你一個未知數的值，這個公式變成什么了”，讓學生初步感知到了“兩個未知數”向“一個未知數”轉化帶來的豐碩成果——方程，這是學生已經學過的知識，新的問題，熟悉的模型，這是認知的自然回歸.接下來的自主訓練和互動交流，將方程模型的應用變為現實，學生在問題解決過程中，充分感知了“由公式到方程”的轉化歷程，獲得了體驗，積累了經驗，同樣也提升了分析和解決問題的能力.

二、對比練習：從個性到共性

對比練習，是指教師將一些蘊含相同或相近數學模型的問題放在一起，在集中解答交流中培養學生利用同一數學模型分析和解決問題能力的過程.對比練習，一般不超過三題為宜，出現時機在學生獲取新知后最佳.

圖1

案例2：“多邊形的內角和”鞏固練習.

在學生獲得多邊形內角和公式并進行簡單鞏固后，教師引導學生通過計算推理得出“多邊形的外角和為360°”的結論.在接下來的鞏固練習中，教師呈現了如下題組.

（1）一個多邊形的每個外角都是30°，則它是___________邊形.

（2）如圖1，一塊實驗田的形狀是三角形（設其為△ABC），管理員從BC邊上的一點D出發，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D處，則管理員從出發到回到原處在途中身體（）.

A.轉過90°B.轉過180° C.轉過270°D.轉過360°

（3）一只螞蟻從A點出發向前走5cm，向左轉45°，繼續走5cm，再左轉45°，它以同樣的走法第一次走回A點時，共走了________cm.

學生自主解答，教師巡視指導. 5分鐘后，教師讓學生展示了自己的結果及獲得結果的過程，在不斷強化對“多邊形的外角和為360°”這一結論認知的同時，將三個問題解決過程中都涉及的圖形模型展示在黑板上，如圖2.

圖2

簡析：教學“多邊形的外角和等于360°”，我們不能僅僅把它當作一個文本結論，還要關注與這一文本高度關聯的圖形模型，這是學生化解很多數學問題的基本模型.所以教師在學生獲得文本結論后，通過三個題目的練習與交流，凸顯了圖形模型的作用和價值：題（1）只需用文本結論即可求解，題（2）在建構外角的情況下用“多邊形的外角和為360°”，題（3）在將信息轉化成外角和后同樣需要借助圖形來理解“多邊形的外角和為360°”.這三個簡單的看似有所區別的模型，實則其指向是一致的，都指向了圖形，這與教者最終歸納出具有共性特征的模型是完全一致的.

三、綜合訓練：從單一到關聯

建模意識的培養，我們要關注單一數學模型的建構，同時，還應關注不同模型之間的轉化和關聯.一方面，可以為學生提供不同的分析和解決問題的路徑，另一方面，能夠不斷提升學生的建模能力，將知識向能力轉化.

案例3：“多邊形的內角和”訓練提升.

新知教學及例題講評結束后，教師安排了如下綜合訓練.

（1）若一個多邊形內角和等于其外角和的3倍，則這個多邊形是_______邊形.

（2）若一個多邊形除了一個內角，其余各內角之和是2570°，則這個角是______.

學生自主解答，5分鐘后，教師組織學生進行小組交流和全班交流.

對于題（1），教師引導學生從不同的角度給出解題思路：根據“內角和是外角和的3倍”，得出內角和為1080°，進而用方程求解；根據“內角和是外角和的3倍”和“一個內角和其相鄰的外角互補”得出這個多邊形的每一個內角為135°，列方程135n=180（n-2）求出邊數；根據“內角和是外角和的3倍”和“一個內角和其相鄰的外角互補”得出多邊形的每一個外角為45°，利用外角和直接求得邊數.

對于題（2），由于絕大多數學生是通過算術的方法估算邊數的，所以教師引導學生通過列不等式組求解.

簡析：在學生獲得“四基”過程中，教師有一個重要的任務是幫助學生建構有效的知識網絡，促進其知識的系統化.在“訓練提升”環節，教師將一些本課的或與本課知識有關聯的數學模型隱藏到兩道數學題中，以解答和交流直觀展示其生成和應用過程，進而培養學生應用數學模型解決數學問題的意識和能力.

數學模型，來自于學生獲取數學知識和應用知識的過程之中，這個過程實際上也是數學知識生成和發展的過程.所以培養建模意識應與數學知識的發展進程緊密契合.作為一線教師，我們所要做的就是：在知識生成過程中，讓學生抽象出數學模型；在知識的簡單應用過程中，提煉共性特征，呈現應用范圍較大的數學模型；在綜合訓練中，將數學模型關聯起來，促進模型的網絡化.總之，應用數學模型化解數學問題的意識并不是一時半會就能養成的，這需要教師能時刻關注模型的建構與應用，將它們安放在學生的視野中，以有效的練習與交流促進學生的發展.Z