藤蔓之美：讓三個“一次”串珠成線——以一次函數復習課教學為例

☉江蘇省江陰市利港中學于春波

藤蔓之美：讓三個“一次”串珠成線——以一次函數復習課教學為例

☉江蘇省江陰市利港中學于春波

受益于《數學通報》刊發李庾南老師關于“藤蔓之美”的函數起始課教學構思，筆者有機會執教一次函數復習課，專題復習三個“一次”（即一次函數與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式之間的關系），筆者從七年級的代數式出發，漸次生長，引導學生基于函數的視角看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等知識，課堂上精彩生成不斷，取得了較好的教學效果．本文梳理該課的教學設計，并附教后反思，提供研討．

一、一次函數復習課教學流程

1.一路走來

復習七年級的相關概念，從代數式2x-1出發：

回顧1：多項式的概念：一次二項式.

回顧2：求代數式的值：當x=1時，……

回顧3：已知代數式的值為0，3，求未知數x的值；本質是解方程.

回顧4：若代數式的值大于5，求x的取值范圍.

設計意圖：通過一組七年級的列代數式、求代數式的值、已知代數式值逆向分析未知數的值，再進一步復習一次方程、不等式等學生熟悉的概念，為后續站在函數的制高點看待此前學過的概念而服務．

2.站在函數的高處觀覽

站在函數角度看上述問題，已知一次函數y=2x-1．

問題1：設y=2x-1，當x=1時，求函數值.

問題2：當y=0，3時，求自變量x的值.

問題3：當y＞3時，求自變量x的取值范圍.

問題4：該函數的圖像在x軸上方時，求x的取值范圍；在同一平面直角坐標系中，再畫出另一條直線y=-x+2．

問題5：兩條直線與x軸交點距離是多少？它們與x軸交點的橫坐標可看成哪兩個方程的解？

問題6：兩條直線有交點嗎？如何求交點坐標？求交點的過程讓你想起了哪個數學知識？

預設圖像解讀：如圖1，兩條直線交點P的坐標（1，1）對應著方程組的解．

圖1

圖2

問題7：當直線y=2x-1在直線y=-x+2上方時，對應的自變量x的范圍是什么？

問題8：若直線x=a分別交上面兩條直線于M、N兩點，如圖2，當MN=1時，求a的值．

預設講評：設直線x=a與兩條直線相交于M、N兩點，用含a的式子表示M、N點的縱坐標，yM=2a-1，yN=-a+2，得MN=|（2a-1）-（-a+2）|=1．

講評時使用PPT的動畫功能漸次呈現，截圖如圖3所示.

圖3

設計意圖：將此前復習的代數式的值、方程、不等式問題，用函數的背景包裝起來，本質上它們仍然是一樣的，引導學生從函數的角度看待問題、解決問題．

3.它們是一樣的嗎

題2：在同一平面直角坐標系xOy中，直線y=2x-1與直線y=-x+m相交于點A（1，1），求m的值.

第二組：

題4：在同一平面直角坐標系xOy中，若三條直線y= 2x-1，y=-x+m，y=x相交于一點，求m的值.

第三組：

題5：在同一平面直角坐標系xOy中，若兩條直線y= 2x-1，y=-x+m的交點在第一象限，求m的取值范圍.

設計意圖：通過三個不同的題組，對比含有參數的一次函數與方程（或不等式）之間的關系.加深理解函數問題與此前練習過的一些題型之間的和諧與一致，即感受到“它們是一樣的”.

第四組：

題7：在同一平面直角坐標系xOy中，若一次函數y= -2x-4與y=4x+b的圖像交點在第三象限，則b的取值范圍是（）.

A.-4＜b＜8 B.-4＜b＜0

C.b＜-4或b＞8 D.-4≤b≤8

預設以下兩種角度的解法講評：

圖4

“形”的解法：先畫出直線y=-2x-4，設交x軸，y軸于A，B點，如圖4，再畫出符合要求的一條直線y=4x+b，考慮兩處極端位置，即當直線y=4x+b分別經過A，B點時，可求出b=8或-4，即-4＜b＜8.

A.-4＜b＜8 B.-4＜b＜0

C.b＜-4或b＞8 D.-4≤b≤8

設計意圖：在詳細討論題7的不同解法之后，出示題8的目的是讓學生感受不同形式問題在解法上的一致，進一步感受函數視角下的方程與不等式問題，同時也傳遞解法過程中數形結合的優越性.

4.藤蔓之美

小結階段，PPT呈現藤蔓圖片（圖5），引導學生從函數的視角談談對此前所學的方程、不等式、方程組的理解.

圖5

圖6

5.布置作業

（1）如圖6，在同一平面直角坐標系xOy中，一次函數y=-x與y=2x+3的圖像交于點M.

①求出點M的坐標；

③當直線y=2x+3在x軸下方時，求自變量x的取值范圍；

（2）一次函數y=kx+3與y=3x+6的圖像的交點在x軸上，求k的值.

（3）已知直線y1=2x-7和y2=-3x+8，當x＞3時，y1＞y2；當x＜3時，y1＜y2，求直線y1=2x-7與y2=-3x+8的交點坐標.

（4）已知關于x，y的二元一次方程3mx+2ny=0和5mx-3ny=19轉化成的兩個一次函數的圖像的交點坐標為（1，-1），求m，n的值.

二、教后反思

1.復習課的選題宜簡單出發，漸次生長，拓展深化

就我們觀摩的不少復習課研討活動中，所選例題往往偏難，以為選編了一些所謂的中考題、綜合題就是復習課的需要.其實，復習課首先要重視的是基礎，為學生梳理此前所學的基礎內容、核心內容是否全部掌握，如果掌握的情況不好，則還需要訓練、講評，讓更多的學生掌握應知必會的數學概念或性質.在此基礎上，可以將例題或習題漸次生長、拓展深化，讓高層次學生通過復習課的學習，知道較難問題的源頭活水，難題解法思路是如何自然生成的.

2.復習課的選題宜重視關聯，前后呼應，促進內化

復習課的選題需要兼顧不同教學環節下的關聯，如上面課例中的開課環節，看似復習七年級的代數式的相關概念和求值問題，但對應著下一教學環節中的函數問題，讓學生內化理解這些問題在本質上都是一致的.特別是，在教學環節“它們都是一樣的嗎”中，我們預設一些題組，看似考查不同領域的數學知識，然而它們的求解卻高度類似，通過這樣的比較，讓學生感悟出數學命題的“多元表征”，需要他們練就一雙“火眼金睛”，切實提升學生的解題能力.

3.復習課的講評宜展示交流，對話追問，促進理解

由于預設的很多例題及變式都充滿關聯，前后呼應，所以在學生獨立貫通思路之后，要安排學生展示交流，教師與學生之間通過對話和追問，讓更多學生的思維參與進來，促進理解.對于一些較難問題的思路，可以安排學生上臺對照課件演示講解，然后追問其他學生的理解，通過“請你再說一遍”來促進更多學生積極思維、參與課堂.

1.李庾南，劉東升．藤蔓之美：從數式方程走向變量函數——以八年級“函數”第1課時教學為例［J］．數學通報，2015（2）.

2.鐘啟泉．新舊教學的分水嶺［J］．基礎教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南．自學·議論·引導教學論［M］．北京：人民教育出版社，2013．H