探究數(shù)學(xué)軟件在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

周春　冷震北

【摘要】隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展，數(shù)學(xué)軟件應(yīng)運(yùn)而生，使得課堂發(fā)生巨大變化，教學(xué)軟件具備強(qiáng)大的繪畫能力和繪制圖形能力，能夠?qū)⒊橄蟮闹R具體化，加深學(xué)生學(xué)習(xí)印象，對知識進(jìn)行理解和記憶.本文主要針對數(shù)學(xué)軟件在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值進(jìn)行分析.

【關(guān)鍵詞】數(shù)據(jù)軟件；解析幾何；應(yīng)用價(jià)值

解析幾何在本科數(shù)學(xué)中占據(jù)較大位置，是較為重要的課程.但是，大學(xué)期間幾何的學(xué)習(xí)和初中或者高中是不同的，難度增加并且抽象思維需要進(jìn)一步提升，給學(xué)習(xí)增加了難度，在這樣的背景下教學(xué)中引入了數(shù)據(jù)軟件，使得抽象的知識通過數(shù)學(xué)軟件將公式轉(zhuǎn)化過程進(jìn)行演示，將抽象的數(shù)學(xué)步驟了思想具體化.但是在實(shí)際工作中如何將方數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行應(yīng)用是需要關(guān)注的問題，也是教師在教學(xué)中需要考慮的問題.

一、數(shù)學(xué)軟件功能概述

數(shù)學(xué)軟件具有強(qiáng)大的計(jì)算功能和編程能力，對于數(shù)據(jù)和運(yùn)算的處理具有一定優(yōu)勢，通過其強(qiáng)大的運(yùn)算能力和編程技術(shù)可以將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一定的處理，數(shù)學(xué)軟件基本功能包括：

（一）數(shù)值計(jì)算能力

數(shù)學(xué)領(lǐng)域需要大量的計(jì)算，在進(jìn)行這項(xiàng)工作的過程中借助數(shù)學(xué)軟件可以將復(fù)雜的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，節(jié)省人力計(jì)算的時(shí)間，并將數(shù)據(jù)處理的時(shí)間進(jìn)行節(jié)約，減少一部分運(yùn)算，將計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性進(jìn)行提升.使用數(shù)據(jù)軟件將數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，對于高等數(shù)據(jù)來講是運(yùn)算的重要進(jìn)步，將數(shù)學(xué)的研究和計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合起來.

（二）對符號進(jìn)行計(jì)算

這種計(jì)算方式主要出現(xiàn)在進(jìn)行微積分等計(jì)算，可以將各項(xiàng)具體的符號通過軟件進(jìn)行處理，將計(jì)算步驟更加簡便，使得計(jì)算變得更加簡便，提升教學(xué)中準(zhǔn)確性.

（三）編程功能

在進(jìn)行高等數(shù)學(xué)問題處理過程中，可以通過計(jì)算機(jī)編程將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決，計(jì)算機(jī)編程技術(shù)為數(shù)學(xué)提供豐富的函數(shù)資源，利用數(shù)學(xué)軟件可以不用考慮現(xiàn)實(shí)中數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，突破原始數(shù)學(xué)算法的束縛，為數(shù)學(xué)問題的解決提供了新思路.

（四）圖形功能

這個功能是數(shù)學(xué)軟件中較為重要的功能，可以將較為抽象的數(shù)據(jù)進(jìn)行動態(tài)的處理，相較于傳統(tǒng)的方式來講，這種方式可以提供更加直觀的公式演變過程，便于學(xué)生的理解，同時(shí)通過三維圖形的繪制，將立體化的圖形展示在學(xué)生面前，對于自身抽象思維能力較差的學(xué)生來講，在接受程度上得到一定的提升.

由此可見，與傳統(tǒng)的平面圖形相比較，在數(shù)學(xué)軟件的輔助下可以將立體幾何各種演變過程進(jìn)行動態(tài)的展示，學(xué)生可以根據(jù)圖形將各項(xiàng)公式進(jìn)行更加深入的理解，讓學(xué)生對于知識點(diǎn)的理解更加便捷.同時(shí)，通過軟件進(jìn)行圖形繪制，節(jié)省了課堂繪制圖形的時(shí)間，提升教學(xué)效果.

二、數(shù)學(xué)軟件在解析幾何中具體應(yīng)用分析

（一）數(shù)學(xué)軟件在二次曲面教學(xué)中應(yīng)用

二次曲面又稱為馬鞍面，是解析幾何中經(jīng)常出現(xiàn)的內(nèi)容，也是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生在這一部分的學(xué)習(xí)中難度較大，傳統(tǒng)教學(xué)方式下教師進(jìn)行教學(xué)只能將知識點(diǎn)和圖形進(jìn)行平面展示，對于學(xué)生來講需要強(qiáng)大的抽象思維能力，學(xué)生自身理解較為困難，對于一些基本概念理解不到位，影響教學(xué)效果.因此可以引入數(shù)學(xué)軟件，將這些復(fù)雜的公式演變過程和性質(zhì)進(jìn)行動態(tài)的展示，這樣可以將公式使用變得更加清晰明確.

例：設(shè)曲線方程為z=-x22p+y22q，p，q>0，xOy坐標(biāo)面去截這個曲面，得到一系列的拋物線，將這個整體的拋物線結(jié)合起來就形成完整的拋物面，形狀如同馬鞍，稱為馬鞍面.在進(jìn)行教學(xué)的過程中手動進(jìn)行繪圖對于教師的能力要求過高.因此可以從實(shí)際方程出發(fā)，利用平行截割法對圖形進(jìn)行研究.并制作相應(yīng)課件，利用動態(tài)演示的形式推理概念，進(jìn)行分析教學(xué)，將數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用到課堂教學(xué)中，學(xué)生通過觀察動畫和教師的講解，將方程結(jié)構(gòu)和曲面形狀在之間的關(guān)系進(jìn)行理解，如圖1所示對雙曲面拋物面這種空間圖形動態(tài)形成過程，學(xué)生可以直觀分析圖形成方式，同時(shí)感受平行截痕法的使用效果，讓學(xué)生深刻認(rèn)識雙曲面拋物線的幾何特點(diǎn)和形狀.

（二）運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件觀察點(diǎn)的軌跡

解析幾何中第二章內(nèi)容是軌跡和方程，首先涉及的是平面曲線方程，學(xué)生需要學(xué)習(xí)利用概念解決具體的平面曲線問題，其中軌跡是教學(xué)重點(diǎn).學(xué)生對該內(nèi)容掌握出現(xiàn)問題的原因是動態(tài)軌跡變動難以把握，傳統(tǒng)教學(xué)方式主要借助靜態(tài)圖形或者簡單教具講解，學(xué)生對問題的分析停留于表面，而利用幾何畫板的動態(tài)功能可以直觀地演示出軌跡生成過程，使得分析過程和結(jié)果一目了然，便于學(xué)生更加深入地掌握內(nèi)在規(guī)律.如圖2所示為內(nèi)外擺線的形成過程，在旋轉(zhuǎn)曲面概念學(xué)習(xí)中，利用Maple制作動態(tài)動畫，生動教學(xué)過程，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.點(diǎn)的軌跡問題一直都是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，對于學(xué)生抽象學(xué)習(xí)能力要求較高，教師教學(xué)中對于空間點(diǎn)的位置無法展示，這樣可以利用教學(xué)軟件將空間動態(tài)圖形展示出來，彌補(bǔ)教學(xué)中不足.

（三）展示點(diǎn)的運(yùn)行軌跡

圖形運(yùn)行軌跡是需要關(guān)注的問題，在常規(guī)授課過程中基本上對于這一方面的教學(xué)是缺失的，畢竟點(diǎn)的軌跡這個概念非常抽象，人工根本無法將其展示出來.而利用數(shù)學(xué)軟件，可以將這一部分的內(nèi)容進(jìn)行展示.

例直線x=1y=mz=2m繞z軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)圖形是怎樣的？

解通過計(jì)算得出相關(guān)的旋轉(zhuǎn)曲線方程為

x=1+m2cosθy=1+m2sinθz=2m

得到旋轉(zhuǎn)曲面方程為：4（x2+y2）-z2=4.

在傳統(tǒng)的教學(xué)過程中需要將各種平面的圖形進(jìn)行整體的規(guī)劃和布局，僅僅是對線條進(jìn)行簡單的繪制，不能將動態(tài)圖形進(jìn)行展示.但是引入數(shù)學(xué)軟件以后，用Maple作圖，將整體運(yùn)行軌跡進(jìn)行動態(tài)的模擬，直觀展示運(yùn)行軌跡，讓學(xué)生自身進(jìn)行理解，更加直觀，整個過程變得更加清晰，便于后期使用.

（四）曲面與平面關(guān)系研究

曲面和平面之間的關(guān)系是解析幾何中需要關(guān)注的問題，如上例所示，如果想要將平面和曲面的交線進(jìn)行研究，就需要將圖形進(jìn)行繪制，通過圖形的繪制將其中隱含的條件發(fā)現(xiàn)出來，這樣在解決問題中會更加容易.但是平面圖形繪制中隱含條件展示不夠突出，上例中從圖形可以看出的僅僅是平面和曲面交叉過程中的一些具有意義的點(diǎn)，但是對于整個曲面的展示缺乏立體性，一些抽象思維能力較差的學(xué)生對這一部分領(lǐng)悟能力存在問題.而使用數(shù)學(xué)軟件教學(xué)，可以將空間曲面點(diǎn)的變化軌跡、形成曲面的過程和平面與曲面相交的過程進(jìn)行動態(tài)的展示，并且發(fā)現(xiàn)兩個圖形的交線是橢圓形的，對于學(xué)生理解習(xí)題和定義具有較大的幫助.

引入數(shù)學(xué)軟件，對于圖形進(jìn)行空間的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生可以更加清晰地認(rèn)識到方程到圖像的轉(zhuǎn)化情況，對于學(xué)生來講直觀性進(jìn)一步提升，讓學(xué)生更加熟練的運(yùn)用各項(xiàng)知識，并進(jìn)行熟練的運(yùn)用.由此可見，數(shù)學(xué)軟件在應(yīng)用中可以將各項(xiàng)教學(xué)的方式和方法進(jìn)行轉(zhuǎn)變，對于抽象圖形和概念的領(lǐng)悟能力進(jìn)行提升，特別是將數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用到極限中去，會取得更好的效果，學(xué)生對于極限的學(xué)習(xí)更加便捷.在解析幾何中對于線性演變也具有更加清晰的認(rèn)識.

四、結(jié)束語

使用數(shù)學(xué)軟件在解析幾何中范圍較為廣泛，對于學(xué)生自身來講理解過程更加便捷，在解析幾何中直觀地為學(xué)生展示圖形切割，為學(xué)生提供更好的能力支持，將靜態(tài)的軌跡和動態(tài)的圖形進(jìn)行立體化地展示，幫助學(xué)生將空間思維能力建立起來，提升教學(xué)有效性，因此可以通過數(shù)學(xué)軟件提升學(xué)生自身的理解能力.

【參考文獻(xiàn)】

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