2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題典型錯(cuò)誤分析與教學(xué)建議*

☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李曉波

☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李海媚

2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題典型錯(cuò)誤分析與教學(xué)建議*

☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李曉波

☉廣東省惠州市第一中學(xué)高中部 李海媚

2017年的高考已落下帷幕，今年的全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題普遍反映試題較往年簡(jiǎn)單，但在閱卷中筆者發(fā)現(xiàn)考生問(wèn)題頻出，平均分很低（不到1分）.為了把學(xué)生的“錯(cuò)題資源”變?yōu)橛行У摹敖虒W(xué)資源”，變“誤”為“寶”，下面將呈現(xiàn)考生在解答本題時(shí)出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤，并剖析失誤的原因，以及對(duì)今后教學(xué)的建議，與同仁分享.

一、試題及試題出處

題目 （2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性

（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

二、學(xué)生答題典型失誤呈現(xiàn)

我們先來(lái)看本題第一問(wèn)解答中考生出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤.我們往往有種慣性思維，認(rèn)為第一問(wèn)應(yīng)該是所謂的“送分題”，事實(shí)上，第一問(wèn)出現(xiàn)的錯(cuò)誤最多，而且一旦第一問(wèn)出錯(cuò)，將很大程度影響第二問(wèn)的解答.

1.第一問(wèn)求導(dǎo)錯(cuò)誤

（1）f′（x）=ae2x+（a-2）ex-1；（2）f′（x）=2axe2x-1+（a-2）·ex-1；（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex；（4）f′（x）=2aex+（a-2）ex-1；（5）f′（x）=2ae2x-（a-2）ex-1；（6）f′（x）=2aex+（a+2）ex-1.

剖析：第（1）種錯(cuò)誤最多，主要是學(xué)生不知道要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；第（2）種錯(cuò)誤是把a(bǔ)e2x當(dāng)成了冪函數(shù)來(lái)求導(dǎo)；第（3）（4）（5）（6）種錯(cuò)誤主要是抄漏數(shù)字或抄錯(cuò)符號(hào)，都是學(xué)生的筆誤.以上情況總的來(lái)說(shuō)都屬于計(jì)算能力不足的問(wèn)題.

2.第一問(wèn)不會(huì)因式分解或因式分解錯(cuò)誤

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=2at2+（a-2）t-1=（at+1）（2t-1）.

剖析：因式分解錯(cuò)誤，主要是因?yàn)槭窒喑说臅r(shí)候符號(hào)弄反.

3.第一問(wèn)討論單調(diào)性的分類(lèi)錯(cuò)誤或分類(lèi)不全

（1）分a＜2，a=2，a＞2三類(lèi)討論；

（2）分a＜0，a＞0討論，漏了a=0；

（3）f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（3a-2）ex-1分三類(lèi)討論.

剖析：第（1）種分類(lèi)學(xué)生主要受到了（a-2）ex的影響；第（2）種分類(lèi)主要漏了a=0，不全面，缺乏數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；第（3）種錯(cuò)誤是因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤，學(xué)生以為可以把ex與e2x合并在一起，結(jié)果也導(dǎo)致了分類(lèi)的錯(cuò)誤.

4.第一問(wèn)利用換元法令t=ex，沒(méi)有注意t＞0，最后沒(méi)有把g（t）還原為f（x）

學(xué)生有換元的意識(shí)，但容易忽略換元后必須先討論新元t的取值范圍，其實(shí)這也是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)性的問(wèn)題.

5.第二問(wèn)中對(duì)函數(shù)存在零點(diǎn)的問(wèn)題本質(zhì)理解不到位

剖析：學(xué)生認(rèn)為先減后增的函數(shù)，只需要保證極小值小于0，就可以保證函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（類(lèi)似于二次函數(shù)），對(duì)函數(shù)存在零點(diǎn)的問(wèn)題本質(zhì)理解不到位，同時(shí)也缺乏數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性.

6.不會(huì)利用函數(shù)的思想處理不等式的問(wèn)題

剖析：學(xué)生不會(huì)利用函數(shù)的思想處理不等式的問(wèn)題，事實(shí)上，只要重新構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性即可求出參數(shù)的范圍.

7.對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及化簡(jiǎn)能力不強(qiáng)

剖析：對(duì)于較為復(fù)雜的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及化簡(jiǎn)能力不強(qiáng).

8.不善于利用極限思想

在開(kāi)展微課設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要從具體的內(nèi)容上來(lái)進(jìn)行研究，同時(shí)也要控制好微課的時(shí)間，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。所以在教學(xué)中要保證微課時(shí)間上的有效性，通過(guò)對(duì)知識(shí)進(jìn)行提煉，在綜合學(xué)生實(shí)際情況的同時(shí)來(lái)保證微課內(nèi)容的準(zhǔn)確性，實(shí)現(xiàn)對(duì)時(shí)間的合理控制，保證微課的有效性，為下一階段教育活動(dòng)的開(kāi)展奠定基礎(chǔ)。如在閱讀教學(xué)中就可以從培養(yǎng)學(xué)生寫(xiě)作能力上出發(fā)，利用簡(jiǎn)短的微課來(lái)激發(fā)出學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生掌握好寫(xiě)作方法，提高學(xué)習(xí)的效果。

剖析：學(xué)生很容易錯(cuò)誤地認(rèn)為先增后減的函數(shù)都像開(kāi)口向下的二次函數(shù)一樣最后減到負(fù)無(wú)窮，事實(shí)上借助“洛必達(dá)法則”可輕松解決.

三、教學(xué)建議

1.計(jì)算能力

對(duì)于數(shù)學(xué)計(jì)算的問(wèn)題，我們往往有一個(gè)誤區(qū)，認(rèn)為小學(xué)生才需要培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算的能力，而高中生需要掌握的是宏觀思考的能力，不再需要培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算的能力.其實(shí)這是有失偏頗的，數(shù)學(xué)計(jì)算是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，只要學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，就必須強(qiáng)化數(shù)學(xué)計(jì)算的能力，尤其在全國(guó)卷的背景下，計(jì)算難度加大，一旦學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算出錯(cuò)，后面的所有過(guò)程可能都是錯(cuò)的或者根本無(wú)法進(jìn)行下去.

教師在平時(shí)的教學(xué)中，要多引導(dǎo)學(xué)生掌握一些常用的數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧、方法和規(guī)則，可以精選一些計(jì)算量相對(duì)懸殊較大的題目，用充裕的時(shí)間去想去做，并結(jié)合這些實(shí)際題目適時(shí)靈活地運(yùn)用概念、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式、合理地使用數(shù)學(xué)思想方法.從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算、提高計(jì)算速度的目的.

2.練好基本功

函數(shù)的題目時(shí)常簡(jiǎn)明而清新，但要求學(xué)生有較好的函數(shù)基本功，學(xué)生應(yīng)深刻掌握函數(shù)的基本概念、性質(zhì)，熟悉一些典型題的基本方法，比如函數(shù)單調(diào)性的求法，含參問(wèn)題的分類(lèi)討論方法，零點(diǎn)問(wèn)題的處理策略有哪一些等.

3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，就是指對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述必須精確，結(jié)論的論證必須嚴(yán)格、周密，整個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容被組織成一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng).［1］

數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性思維，滲透到平時(shí)教學(xué)的每一個(gè)細(xì)節(jié)中，教師不僅要注重于學(xué)生的答案，更要關(guān)注學(xué)生的解答過(guò)程，是否能做到“言之有理，得之有故”.學(xué)生平時(shí)解題的不嚴(yán)謹(jǐn)，其實(shí)也就反映了思考過(guò)程的不嚴(yán)謹(jǐn)，長(zhǎng)此以往就會(huì)造成高考中失誤，因此我們一定要讓學(xué)生在平時(shí)解答過(guò)程的每一步都做到有理才答的習(xí)慣，把可能的疑問(wèn)和不確定性在平時(shí)就一個(gè)個(gè)攻克掉，讓數(shù)學(xué)解題中的每一步驟都有據(jù)可查.

4.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是指從同一問(wèn)題中產(chǎn)生出各種各樣的眾多的問(wèn)題，并在處理這些問(wèn)題中尋找多種的正確途徑的一種思維模式.［2］

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，為了提高做題的效率，我們可能經(jīng)常強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生掌握最簡(jiǎn)單、最常用的一些方法，同時(shí)通過(guò)大量題目，利用題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)鞏固這些所謂的最佳解題思路、解題方法，長(zhǎng)此以往，學(xué)生就會(huì)把思維固定在一個(gè)模式上，而不會(huì)想著從其他的角度去解決問(wèn)題，使得思維形成了一個(gè)定式，這種情況對(duì)于學(xué)生的發(fā)散性思維是非常不利的.因此，作為一名數(shù)學(xué)教師，我們一定要改變過(guò)去傳統(tǒng)的教學(xué)思路、解題方法，敢于打破常規(guī)，努力在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.我們要講究方法，在探究中培養(yǎng)，在質(zhì)疑中培養(yǎng)，在開(kāi)放中培養(yǎng)，在求異中培養(yǎng)，在練習(xí)中培養(yǎng)，一旦學(xué)生形成了較強(qiáng)的發(fā)散性思維能力，不僅僅有利于搞好數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，對(duì)于其他知識(shí)的學(xué)習(xí)也是一個(gè)非常有利的工具，這樣就為我們成為具有綜合素質(zhì)的人才打下了良好的基礎(chǔ).

5.尖子生需學(xué)會(huì)洛必達(dá)法則的簡(jiǎn)單應(yīng)用

高考是選拔考試，數(shù)學(xué)的區(qū)分度高，有利于高校選拔具有學(xué)習(xí)潛能的人才.近年來(lái)高考試卷中的壓軸題常是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其中有關(guān)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍就是重點(diǎn)考查的一類(lèi)題型，此類(lèi)問(wèn)題使用“洛必達(dá)法則”去處理是巧妙而有效的.同時(shí)，初等數(shù)學(xué)教學(xué)中，向?qū)W生滲透極限等高等數(shù)學(xué)思想，對(duì)以后學(xué)好高等數(shù)學(xué)具有很大的實(shí)際意義.而在極限的理論中，“洛必達(dá)法則”發(fā)揮著重要的作用.［3］

1.沈海瀾.從一案例談高中數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性思維的培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（5）.

2.余振賢.也談數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)［J］.成才之路，2010（5）.

3.李曉波.結(jié)合“洛必達(dá)法則”巧解2016年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷壓軸題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（7）.F

*本文系廣東省教育科學(xué)“十三五”課題“運(yùn)用‘問(wèn)題串’開(kāi)展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2017YQJK134）的研究成果.