高中數學“用面積定義正弦”的解題研究

鄒佳煜

【摘 要】在高中數學學習中，函數模塊學習是高考中的重要考點，也是實際學習中的難點。三角函數屬于的函數范疇，是高中數學學習中常用的知識點。在三角函數的定義教學中，教師為了讓學生能夠直觀的理解什么是正弦函數，什么是余弦函數，借助的數學圖形面積的方式，來定義正弦。該種定義方式既簡單又易于學生理解。基于此，本文就高中數學“用面積定義正弦”的解題進行研究。

【關鍵詞】高中數學；用面積定義正弦；解題；研究

前言

以面積定義正弦，在實際課堂上的教學，能夠以較少的課時學到比較多的數學知識，思考與討論空間更加的大。該種教學方法能夠使得三角函數、幾何、代數之間的聯系更加的密切，使得我們在課堂上的數學素養和基本的思維能力有了很大的提升。以面積定義正弦，能夠比較好的體現出函數思想，使得高中數學問題能夠在短時間內得以解決。

1.菱形面積的正弦算法提出

正弦函數的計算在初中階段被引出，初中階段的正弦函數計算主要借助直角三角形中的“對邊比斜邊”計算得出的對應角的正弦。正弦函數與面積計算之間的聯系并不密切。教師在反復研究中，從小學數學課堂中的三角形面積計算公式出發，以單位菱形面積的計算引出正弦函數。并且希望通過這樣的數形轉換能夠使得與正弦函數相關的知識更加便于我們的理解。SinA在初中數形教學中，大部分都應用到的直角三角中，在教學中具有一定的特殊性，而高中的數學教學對于正弦函數的應用主要用于銳角三角形或者多邊形中。

設矩形木框ABCD的面積為S，S=AB×CD，其中AB=2，CD=3，則S=2×3×□，□代表的數值為1。假設該矩形木框上被擠壓，木框變為了斜框，于是矩形就直觀的變為了平行四邊形。如下圖所示，平行四邊形被分為了面積相等，形態相同的六個小平行四邊形。并且每一個小平行四邊形的邊長為1，那么該大平行四邊形的高則變為了2×sinα，則大平行四邊形ABCD面積=3×2×sinα。

經過由以上數學圖形面積的計算，我們可以總結出基于面積的正弦函數概念定義為：邊長為1，一個角為α的菱形的面積，就是角α的正弦，并且記sinα=S菱形，注：當α=0°或者180°時，sinα=0。根據正弦函數的定義得出以下基本性質：第一，當α在0°到180°之間，sinα存在定義域，并且非負，當α=0°或者是180°時，sinα=0；第二，sin90°=1；第三，sinα=sin（180°-α）。平行四邊形面積計算，根據以上正弦函數面積計算分析得出平行四邊形的面積公式，SABCD=AB×ADsinA=absinα。

2.三角形的面積計算

2.1三角形面積計算公式

S△ABC=1/2底×高，當底為b時，高為CsinA，所以S△ABC=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC。以該公式為基礎，左右面積公式中的各項同時除以1/2abc，便得到：在任意的三角形中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S△ABC/abc。

2.2基于三角形面積的正弦應用

對于三角函數的應用，除了可以進行面積的定義還可以解決比較抽象的三角問題。例1，∠α>∠β>0，∠α+∠β<π，試證明sinα小于sinβ。當我們面對這樣的問題時，會覺得這樣的習題比較抽象，無處下手，更不能提證明角與角之間的關系了。在課堂上老師為了讓問題更加的直觀，將該兩個的角放在同一個三角形ABC中進行比較，該圖形的頂角為α-β的等腰三角形。進行角度的比較。如下圖：由于∠α>∠β>0，所以設定α-β角，為了明確出α角，以下圖的方式設定β角，角A=α-β+β=α，由面積公式能夠計算出工1/2AD。ACsinα>1/2AD。ABsinβ，由圖形中AB=AC，得出Sinα>sinβ。

例2，三角形ABC中，∠A的角平分線為AP，證明三角形中AB/AC=BP/CP。

證明過程為：BP/CP為三角形的邊BC上的兩條線段的比值，由于該兩條線段多對應的角度相同，并且在三角形中共同一個高。因此，可以借助正弦求三角形面積的方式，通過三角形面積來比較二者的長度。則有：BP/CP=S△APB/S△APC=1/2AB·AP·sinα與1/2AC·AP·sinα的比值，即等于AB/AC。最終得出結論AB/AC=BP/CP。

3.“用面積定義正弦”的意義與經驗總結

基于“用面積定義正弦”的教學方式在高中數學教學中應用，使得我們的數學思維有所開拓。

3.1教學意義

基于面積定義正弦的教學方式在高中數學課堂上的應用，具有較為明顯的教學作用。面積與正弦函數之間的轉換，實際上是一種的形與數的結合，基于數形結合的教學思想在高中數學教學中的應用，能夠化繁為簡，將書本中的難點文字敘述部分轉化為圖形，化抽象與具體，使得學生在學習中能夠清晰的理解書本中的概念。三角函數的不同轉換知識對于我們來說其難度比較大，數學概念大部分比較抽象，而概念教學是數學教學開展的基礎。但是很多學生在高一數學學習的第一環節出現困惑。這是由于教材上的概念知識點介紹簡單，采用的都是總結性語言，當這些語言應用到實際的習題中，有的學生難以理解。而將數形結合的模式應用概念教學中來，定理等都一目了然，對于我們接下來的學習有很大的幫助。以高中三角函數性質教學為例，進行數形結合的分析：

求sinx<的角的集合：

教師通過單位圓教學方法能夠讓我們明白一個簡單的圓能夠解決數學教學中的很多難題，實現答案能夠一目了然。在簡單的數形結合教學中，能夠寓教于樂，豐富課堂教學形式的基礎上，提升了我們對于數學多元化解題的興趣。

3.2從教師課程設置上所得到的啟發

第一，教學目標設定。該部分的教學內容為“認識與理解三角函數的正弦函數”，從已經學到的三角形面積的計算公式出發，以單位菱形面積的計算而引入正弦。在實際教學中，老師借助比較直觀“單位菱形面積”，引導我們去理解定義的抽象難懂的正弦函數。課堂上很多小伙伴對于面積與函數之間的相互轉換難以理解，因此本節課的教學重點在于教師如何使得圖形面積的教學過渡到的正弦函數中。

第二，教學安排。教師帶領我們去認識什么是正弦，去解

決單位菱形面積，以及如何定義單位菱形。然后對正弦的概念進行在理解，通過矩形的變形，變為菱形，教師引導學生正確認識面積折扣這一問題，從而真正的引出正弦函數的應用。

第三，對正弦函數性質的探究，通過單位菱形面積的變化，我們能夠輕松的總結出菱形的基本性質，與三角形、平行四邊形等相互結合。

4.結論

綜上所述，SinA在初中數形教學中，大部分都應用到的直角三角中，在教學中具有一定的特殊性，而高中的數學教學對于正弦函數的應用主要用于銳角三角形或者多邊形中。基于“用面積定義正弦”的教學方式在高中數學教學中應用，與傳統數學教學相比， 能夠更加的便于我們理解數學問題。將數形結合的模式應用概念教學中來，定理等都一目了然，對于我們接下來的學習有很大的幫助。

【參考文獻】

[1]王文俊.高中階段“用面積定義正弦”教學初探[D].華東師范大學，2008

[2] 王成營. 數學符號意義及其獲得7能力培養的研究[D].華中師范大學，2012

[3]楊姍.初中數學課程結構性改革的可行性研究[D].廣州大學，2011

[4]袁思情.中國、日本、美國和英國高中數學教材三角學的比較研究[D].華東師范大學，2012

[5]李蘋芳.現有初中數學體系與初等數學體系的整合研究[D].廣州大學，2013

[6]韓龍淑.數學啟發式教學研究[D].南京師范大學，2007