畫板構建表象 直觀巧解深意

吳云飛

[摘 要]“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十個核心概念之一，它能幫助學生直觀地理解數學知識，構建深刻的數學表象，使學生的形象感知提升到抽象思維；能解決兒童思維特點與數學抽象性之間的矛盾，使學生學得更容易、更輕松，為學生的后續學習打下堅實的基礎。在小學數學“圖形與幾何”中有很多知識點是很難為學生提供良好的幾何直觀的，所以也使得這部分知識的表象無法深刻構建。幾何畫板的出現和不斷發展，為這一問題的解決提供了一個很好的工具。

[關鍵詞]幾何畫板；幾何直觀；圖形與幾何；表象

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）02-014

小學數學雖然不需要向學生呈現類似高等數學紛繁復雜的知識，但是在小學數學“圖形與幾何”中，有很多知識點很難為學生提供良好的幾何直觀，使得這部分知識的表象無法深刻構建。而教師也有著難以言語的尷尬，如用心制作的教具難以解決實質性問題；現代媒體軟件PPT機械式的動畫浮于表面。幾何畫板的出現和不斷發展，為這一問題的解決提供了一個很好的工具。幾何畫板被稱為“21世紀的動態幾何”，它能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、變化規律，可以有效解決兒童思維特點與數學抽象性之間的矛盾，尤其對幾何直觀的構建作用更是無可比擬。可以說，它是數學教師教學的一把“利劍” 。

一、追蹤軌跡，“動”“靜”心隨我愿

在傳統的數學教學中，對于包含動態變化的問題，只能通過教師的語言進行描述，而學生則根據一些靜態圖形對其進行抽象思維。而若利用課件也最多能為學生呈現一個動畫的過程，并不能對圖形的最本質的軌跡進行追蹤和保留。因此，對于以形象思維為主的小學生來說，他們是很難對數學對象有深層次的認識的。 而幾何畫板的追蹤軌跡功能，能形象直觀地把圖形運動的每一個時刻展現給學生，使學生更清楚地觀察運動、變化中的數學現象，使隱形的、簡縮的思維過程展現出來，為揭示數學本質提供有力的表象支撐。

1.追蹤軌跡，動靜結合直擊數學本質

眾所周知，學習舞蹈時總是先分開學習每一個動作，而后再把它們連貫起來進行練習。其實，無論是兒童還是成人，如果想要分析一種動態變化現象的本質，就要和學習舞蹈一樣——先看清每個動作的特點，掌握好每個動作，然后再把它們連起來進行細致觀察，從而發現其中的本質規律。而分解每個動作并保留每個動作的軌跡正是幾何畫板不同于其他軟件的最大特點之一。

例如，學生僅利用圓的本質特征對“車輪為什么要做成圓的”這一問題進行解釋是非常難的，這時教師可以利用幾何畫板制作“橢圓”和“圓”在直線上滾動的動畫，并追蹤“橢圓”的中心點和圓的圓心的運動軌跡（如圖1），同時與學生一起進行分步分析。

這樣利用幾何畫板進行分步分析，能使學生直觀感受橢圓與圓兩者的本質差別，為他們解釋“車輪為什么要做成圓的”提供有力的表象支撐。

與其他課件制作軟件（如PPT）相比，幾何畫板能使“動畫的軌跡”得以保留，不僅為學生呈現出動態的變化過程，而且能把這個過程中最本質的東西保留下來，為學生的進一步思考留下有形的痕跡。

2.追蹤軌跡，由局部到整體完善知識表象

在傳統的數學教學中，由于受教學時間和教具形式等因素的影響，導致學生無法建立起完善的數學知識表象，進而無法真正理解數學思想。

極限思想是圓的教學的核心，是有關圓面積及圓柱體積計算等后續知識的生長點。因此，如何利用極限思想來感悟圓的本質特征——“一中同長”，是圓初始課中需要濃墨重彩刻畫的重要環節。而利用幾何畫板就能很好地幫助我們實現這一目標。首先利用幾何畫板的“旋轉”功能逐步展現圓上的一些動態點（如圖2），然后讓學生想象更多點的情況，再通過“追蹤點的軌跡”驗證學生的想象，最后為他們建立完整的知識表象。

3.追蹤軌跡，由面到體現場印證想象

對于立體圖形與平面圖形轉化的問題，如果只靠教師運用語言來描述，學生很難構建出正確的圖形表象；如果運用傳統的教學工具，如粉筆、黑板、模型等，又很難直觀演示；而利用傳統的課件又不能體現互相轉化的過程。因此，當遇到這樣的情況時，很多教師會說“空間想象力的差距太大”。誠然，這個是不可忽視的問題，但是如果利用幾何畫板直觀形象地演示這一過程，就能較好地幫助空間想象力較弱的學生構建起空間轉化的表象，而對于空間想象力較強的學生，也有助于加深他們對問題的理解。

筆者曾聽過“圓柱的認識”的一堂課，整個課堂非常精彩，但有一點卻讓筆者“耿耿于懷”——當教師提出“用一張紙，你能創造出一個圓柱嗎”這一問題時，有一個學生提到：“如果這張紙是圓形的話，就能通過上下平移得到圓柱（確切地說應該是平移過程中通過的空間大小）。”多么精彩的回答啊！然而，面對如此獨到的見解，這位教師卻犯難了，因為任憑他如何用語言來解釋，大部分學生都無法深刻理解；而實物操作不僅缺乏連貫性，而且也無法呈現出所創造的“圓柱”。其實，只要利用幾何畫板就能很好地解決這個問題（如圖3）。

對于學生來說，這樣的表象一看就能明白，并能輕易理解其中的關系。這樣動態教學，為學生后續學習柱體的體積公式（底面積乘高）積累了有益的經驗。同樣的，在教材提到的關于“長方形紙旋轉得到圓柱的操作”的問題上，如果也能利用幾何畫板（如圖4），亦可以收到事半功倍的教學效果。

通過幾何畫板直觀演示，立體圖形清晰地呈現在學生面前，這不僅使學生掌握了平面圖形與立體圖形之間的區別與聯系，還幫助學生構建了深刻的表象。在學生有了這樣的表象依托后，我們可以進一步讓他們對比不同旋轉后所得圓柱的特點，從而深刻理解圓柱的粗細、高矮與什么有關等知識（課件上的三張長方形紙是完全一樣的，因此學生可以非常直觀地感受到這一點），為后續的圓的表面積和體積的學習打好基礎。

二、即時演示，“多”“少”變在我手

現在的課堂瞬息萬變，而以往課件的交互性與即時性相對較弱，很多時候只能按照教師預先設計好的順序進行反饋，一旦教師的預設不全面，就會留下很多遺憾。幾何畫板不但具有良好的交互性，而且有很強大的即時性。在教學過程中，利用幾何畫板，教師可以隨時根據學生的實際情況或即時變化課件預設，或邊授課邊制作，或由學生小組親自動手。這樣，學生不但可以獨立制作一些簡單的數學課件，而且還可以從中學會計算機軟件的使用方法，體會到信息技術的優勢。這也正是幾何畫板的另一大優點。

1. 即時演示，親眼見證奇妙變化

在一些數學知識的研究中，我們往往需多次操作才能得出正確的結論，而這個“多次操作”有時候既費時又費力。如果利用一般的課件，又會出現和學生的提問無法一致的現象，從而缺失交互性。利用幾何畫板能很好地解決這一難題，利用它強大的參數功能可以實現學生要什么數據就有什么數據。

例如，在“圓的面積”一課中，我們在推導圓面積公式時，如果單純的用剪拼的操作來推導的話太過麻煩，而且效果也不一定好，若用一般課件其預設又太單一（只能預先做好固定的等份，不能根據課堂生成隨意改動）。而如果在適當剪拼的基礎上利用幾何畫板，就可以生成任意等份的圓，而且圓的大小等都可以隨意改變（如圖5所示）。

[其中n是半圓的等份次數（可以隨時填入），R代表圓的半徑大小（可以隨意改變），虛線表示整個剪拼過程（可以隨意拉動并保持在任何位置，也可以動畫演示）。]

幾何畫板利用一個預設課件就可以“以一圖應萬變”，這是其他教學軟件所無法比擬的，“幾何畫板”的優越性顯而易見。

2.即時演示，實時感受“變中不變”

在數學的學習過程中，我們總希望學生掌握“分析現象，抓住本質，得出結論”的學習方法，但有時候又愛莫能助——沒有足夠的時間或沒有辦法提供給學生更多、更全的現象，從而不能使他們建立全面、深刻的表象，構建幾何直觀，所以很多時候只能是教師“代勞”分析與總結。幾何畫板的作圖是利用“幾何關系不變”這規律來進行的，所以利用它完全可以幫助我們解決這一問題。

例如，“垂直與平行”這一課中，學生在研究了這兩個現象后，對于兩條直線在正常位置（水平、豎直等）的判斷大都沒有問題，但是有部分學生對非正常位置的判斷卻存在問題。究其原因是，他們這方面的表象建立得不夠。倘若在其中花1分鐘利用幾何畫板展現平行和垂直（如圖6所示），然后隨意拖動，不僅可在數秒鐘之內讓學生觀察到足夠多的現象，建立比較全面的平行和垂直的表象，而且能讓學生更好地體會“變中不變”的思想。

3.即時演示，直觀分析知識聯系

在數學學習中，有些內容之間有著緊密的聯系，因此需要通過大量的觀察和對比，以發現其中的奧秘。但是只憑“空對空”的講解、對話，是無法使那些原本就弄不清楚的學生，特別是潛能生走出“云里霧里”的模糊狀態，即使用幾個靜態圖來說明，也會讓人感覺“缺乏聯系”，從而不能使課堂教學效果最大化，浪費大量的課堂教學時間。這時，如果我們利用幾何畫板來進行即時動態操作演示，在演示的過程中引導學生進行觀察、討論，那么其效果是不言而喻的。

例如，在學生學完平行四邊形、三角形和梯形的面積計算之后，我們往往會讓學生進一步理解三個面積計算公式，這就需要和學生探討這三個面積計算公式之間的關系，得到平行四邊形和三角形其實是梯形的兩種“特殊情況”（平行四邊形是上底和下底相等的“特殊”梯形，三角形是上底為0的“特殊”梯形）。此時，如果利用幾何畫板強大的交互性和即時性制作一個平行四邊形、三角形和梯形相互轉化的動態課件（如圖7），可收到事半功倍的教學效果。

（在圖7中，拖動右上的點即可在平行四邊形、三角形和梯形之間隨意轉化，也可制作成連續的動畫。而且在“高”方面也能幫助學生深刻理解“點到直線的距離”的本質。）

4.即時演示，現場彌補操作不足

在數學學習中，有部分知識是需要學生在實踐操作中慢慢發現的，但是這些實踐操作往往如同“雞肋”一般“食之無味，棄之可惜”——學生操作時的“量”不夠多，“質”不夠高。

例如，在“圓的周長”一課中，學生用線操作后發現要找出圓的周長與直徑的聯系比較困難，甚至有一部分學生根本不知道“為什么而做”。因此，我們可以在學生操作的基礎上再通過幾何畫板演示（如圖8），以彌補他們操作時的不足。

（如圖8，我們可以用圓心隨意調節圓的大小，拖動下面的點可以反復拉直與還原圓的周長，并且在比較的過程中，3條直徑也會隨圓大小的變化而變化，能讓學生清楚地感受到3倍多一點的關系，最后顯示圓的周長與直徑的數據，讓學生總結得出π，效果相當好。）

綜上可知，如何利用幾何畫板來幫助學生深刻構建數學表象是非常值得研究的課題。筆者通過上述的舉例說明，提出了一些具有實際可行性的操作點，希望能引起大家的更多思考。

（責編 黃春香）