高中生導數學習的困難及其教學策略

呂娜 李三平

摘 要：“導數及其應用”不僅是高等數學微積分的核心內容之一，而且我國在2003年進行了新課改后，將這部分內容也列入到了高中數學的課程中。尤其是在近幾年的高考試卷中，常常作為壓軸題出現，分值大，題目靈活性強。大部分學生得分低，有些老師對這部分內容的教學也表現出無力感。本文分析了高中生學習導數時的困難，并提出了相應的教學策略。

關鍵詞：高中生；導數；困難；教學策略

導數的發現不僅將數學研究推向一個新的高峰，對數學領域外的自然領域，以及現代科學技術也起到了促進作用。2003年我國進行的新課程改革，在《普通高中數學課程標準（實驗稿）》中將“導數及其應用”加入到了高中數學課程中。

通過跟蹤一些學生學習導數時的情況，并和一線教師的交流發現，學生在學習導數時存在不同方面的問題和困難。

一、 學習導數時的困難分析

（一） 導數概念理解的困難

導數概念的引出是一個由平均變化率到瞬時變化率的過程，這種“無限逼近”的思想是學生以前沒有接觸過的。但是，大部分學生認為導數學習就是“套公式做題”，對于導數概念的理解非常模糊。有的學生認為，導數內容很抽象，即使不理解也無所謂，僅僅是對導數的定義進行死記硬背。還有的學生認為，導數就是某一區間上的平均變化率

。

此外，教師在導數的教學過程中，也將重點放在計算和練習上，忽略了導數概念的生成過程，導致學生對導數概念的探究失去了興趣和積極性。

下面展示學生在做一道關于導數概念題時的一種做法。

例1 已知函數f（x）=12x4-23x3+4，求limΔx→0f（2+Δx）-f（2）2Δx。

解：因為f′（x）=2x3-2x2，所以，原式=f′（2）=8。

可以看出，由于學生只是對導數定義的死記硬背，所有當導數定義的形式稍微有一些變化時，便不能很好地應對。

（二） 導數幾何意義理解的困難

導數的幾何意義是指切點處切線的斜率，它是每年高考的常考內容。通常從兩個方面進行考察：一是已知切點求切線方程；二是已知切線方程求切點參數的值或曲線方程。在此類問題的考察中，學生易將“過點A的曲線的切線方程”和“在點A處的切線方程”混為一談，把前者的A點也直接作為切點來處理。

如，遼寧省2014年的一道高考題時，學生就出現了這樣的問題。

例2 若存在過點O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a相切，a的值是

。

學生1：因為點O在曲線f（x）=x3-3x2+2x上，所以直線l與y=f（x）相切于點O。

則k=f′（0）=2，直線l的方程為y=2x。

又因為直線l與y=x2+a相切，所以x2-2x+a=0滿足Δ=4-4a=0。

所以a=1。

學生2：當點O（0，0）不是切點時，無法與導數的幾何意義構造起來。

可以看出學生片面地理解了“存在過點O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x3-3x2+2x相切”。事實上，這里有兩種可能：點O是切點或點O不是切點。

（三） 導數應用的困難

導數是研究函數的有力工具，它的應用十分廣泛。高中階段導數的應用主要體現在討論函數的單調性以及函數的極值等方面。

（1）單調性問題

單調性是導數幾種應用中最基本也是最重要的內容，因為函數極值和最值得考察都離不開單調性。利用導數討論函數單調性或求函數的單調區間是導數最重要的應用之一。學生在利用導數解決函數單調性時存在以下兩方面的問題。

①不理解導數與函數單調性關系

學生對于單調性和導數之間的關系不清楚，導致學生在理解用導數的正負判斷函數單調性時會出現障礙。

②對函數單調性的充要條件不理解

學生對于導數和函數的單調性的關系中條件的充分性與必要性容易混淆。

同樣的，以一些學生在考查關于單調性問題時的做法為例。

例3 求實數b的取值范圍，使得函數f（x）=（x2-4）（x-b）在[-2，2]上遞減。

解：f′（x）=3x2-2bx-4，

因為函數f（x）=（x2-4）（x-b）在[-2，2]上遞減，

所以f′（x）=3x2-2bx-4<0在[-2，2]上恒成立，

所以，f′（2）<0

f′（-2）<0

8-4b<0

8+4b<0

解得：b>2或b<-2。

可以看出，學生錯將f′（x）>0（<0）當做了y=f（x）單調遞增（遞減）的充要條件。而y=f（x）在區間A上單調遞增（遞減）的充要條件是f′（x）≥0（≤0），并且在區間A的任一子區間不恒為0。

（2）極值問題

學生在極值的學習時存在兩個方面的問題。一方面，學生容易將f′（x0）=0作為可導函數f（x0）在x=x0處有極值的充分條件。另一方面，有的學生將函數極值和最值的概念混淆，把求得的極值作為了函數的最值。極值是指函數在某一點附近的最值，但它不一定是整個區間上的最值。考察函數最值時區間端點的函數值也需要考慮。

二、 針對高中生“導數及其應用”學習困難的教學策略

（一） 優化學習環境，提高學習的興趣

興趣是學習最好的催化劑，而要提高學生學習導數的興趣，就要創設良好的數學學習環境，包括外部環境，如教學環境和內部環境，學生的心理狀態等。長期以來，數學教學基本上是采用講解法，學生的任務好像只是在聽，他們無法真正地參與到課堂中。在導數教學中，要創設良好的外部環境，努力使教學內容與教學方式豐富飽滿。

（二） 滲透數學史及相關數學故事，從而激發求知欲

學生之所以認為數學是枯燥的，是因為數學邏輯性，嚴謹性強，與豐富多彩的現實生活有所不同，缺乏人文色彩。在導數教學中，教師可以向學生們介紹數學史中關于微積分的故事，一方面，這種教學方式的改變會讓學生感到煥然一新，提高學習導數的興趣。另一方面，微積分的建立經過幾百年，其中有很多小故事值得探究，向學生介紹牛頓等人探究微積分的歷程，不僅可以提高他們的數學素養，還可以激勵他們好好學習導數。

（三） 重視知識的生成過程，強調本質

知識的生成過程，實際上就是知識的來龍去脈。數學首先是一門科學，其次才是一門學科。而數學作為一門學科，它當中的內容是經過歸納，提煉，精簡后得到的，而課程安排的學習過程和人類最初探索這些問題時的過程剛好是相反的。教師不僅要讓學生知道結果，而且要懂得結果的產生過程、結果的意義，感悟數學的精神、思想和方法。“導數及其應用”作為高等數學微積分課程下放到高中數學中，應該更加注重知識的生成過程。導數是微積分的基礎和核心，理解并掌握導數的概念，以及概念的生成所反映的數學思想方法，是學習這部分內容的關鍵。

（四） 提高數學符號的識別能力，解決語言轉換的問題

大部分的高中生數學閱讀能力差，在語言轉換方面存在問題，導致在學習導數和解決導數相關的問題時存在很多的障礙，因此提高學生的數學閱讀能力和語言轉換能力是解決學生學習導數困難的一個重要的教學策略。

在學習導數的概念時，不僅要強調導數的語言表述，還要注重導數的符號表示，以及導數表達式的變形。同時教師要結合學生的實際生活，多舉一些現實生活中的例子，把抽象的概念轉化為學生容易理解的一般性概念。如讓學生體會瞬時變化率時，不要將背景僅僅局限在瞬時速度上，可以多舉一些學生熟悉的或生活中的例子，如國內GDP的增長率，出租車的收費關于里程的增長率……這樣在函數知識的正遷移下，學生就可以比較容易地表示出一般函數f（x）在x=x0處的瞬時變化率。

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作者簡介：呂娜，李三平，陜西省西安市，陜西師范大學數學與信息科學學院。