“悟”從“誤”中來

李辰婷

（浙江省義烏市江東中學）

摘 要：“悟”可以理解為悟性、頓悟，它是解決數學問題的一種重要的能力，也是學生智力高低的表現。在初中數學的學習中，學生的悟性培養非常重要。學生悟性的提高需要有一個從“無”到“有”的過程，在這個過程中，學生的認識是一個由感性到理性的過程，所以，錯誤的產生無法避免。受應試教育的影響，學生往往害怕錯誤，其實，學生在學習中難免會出現錯誤，作為一名初中數學教師，應該正視學生的錯誤資源，有效利用這種資源引導學生頓悟，提高學生的悟性。

關鍵詞：初中數學；錯誤資源；概念；模型；運算

悟，在初中數學教學中可以解釋為對數學概念的理解、對數學公式和定理的運用、對數學問題的覺醒。學生的悟必須建立在豐富的數學知識和思維能力的基礎上，是一種自信積極的數學信息加工。在“悟”的過程中難免會出現各種錯誤，如果此時教師斥責學生，指責學生馬虎或者腦子笨，不僅傷害了學生的自尊心，而且容易打擊學生學習的積極性，使其最終產生厭學情緒。其實，學生學習的進步正是從錯誤到正確的過程，這是學生數學成績提高的必經過程，因此，教師要善于分析和利用學生學習過程中出現的錯誤，引導學生在錯誤中提高悟性。筆者結合自身多年的教學經驗，分析了教學中常見的幾種錯誤資源，指出如何有效利用錯誤資源。

一、教學中常見的錯誤資源

1.由于聯想混淆，產生錯誤的認知

聯想指學生在看到某一數學知識時，會將原有認知結構中的一個相關知識作為節點來理解新知識。由于原有認知結構的差別，有些學生往往會走入“浮想聯翩”的誤區，進而導致對新知識理解得模棱兩可，導致錯誤的產生。例如，2（x+y）=2x+2y這一數學知識學生掌握得很熟練，當第一次學習平方時，學生會不自覺聯想（x+y）2=2x+2y，這是一種錯誤聯想導致的新舊知識的混淆。

2.學生的思維定式，產生錯誤

思維定式可以理解為人們通常用已經成功解決某一問題的經驗去解決已經變化的另一個問題。同樣的，有些思維定式會束縛學生的思維，使其產生錯誤認識。例如，小學時期學的數不包括負數，所以a+b≥a在小學數學中是正確的，但初中學習負數后，這個不等式就是錯的。再比如，小學生習慣用列算式解應用題，干擾了初中的列方程解應用題。比如學習完方程后，要求學生列方程解決以下問題：甲乙兩個工程隊分別從東、西方向鋪設管道。甲每天鋪設120米，乙每天鋪設130米，管道總長1000米，問幾天后兩個工程隊能完工？學生往往將方程列為：x=1000/（120+130），這也是受到原有知識的思維定式導致的。

3.由于學生對概念理解不清所導致的錯誤資源

在學習時，很多學生會對教師教授的概念模棱兩可，導致經常出現錯誤。比如在講解幾何部分三角形的相似和全等的概念及判定條件記憶混淆時，會認為邊長分別為3、4、5的直角三角形和邊長分別為9、12、15的直角三角形全等，這是根據形狀判定全等，脫離了全等的概念。再比如冪的運算性質有am·an=a（m+n），（am）n=amn，很多學生錯誤地理解為am·an=amn或者am+an=am+n等，都是由于概念的理解不到位導致的錯誤。

二、巧用錯誤資源，引領學生領悟數學知識

以上分析了學生在初中數學學習中常常出現的錯誤類型，教師應該怎樣對待這些資源，引領學生從錯誤中領悟數學知識呢？以下是我結合自身經驗提出的幾點措施，望拋磚引玉。

1.轉變態度，正視學生的錯誤

受考試壓力和成績的影響，很多教師難以正視學生的錯誤，當發現學生出現錯誤時，很多教師會這樣訓斥：“這個講了幾遍了你還錯？這個公式你還記不住？你怎么這么笨？”看似嚴肅地對待學生的錯誤，其實學生收到這樣的反饋時，并不知道自己具體錯在哪里，遇到不會的問題也不敢問，而且很有挫敗感，長此以往，很多學生會麻木。因此，教師要善待學生出現的錯誤，從學生的角度思考，并追問學生：“你錯題時是怎么理解的？沒關系，說出來大家一起解決，我可以幫助你。”“大家有好的辦法避免類似的錯誤再出現嗎？”教師用這樣的方式和態度和學生交流，學生才能大膽正視自己的錯誤，發現問題并避免錯誤，這樣學生的數學能力才能慢慢提高。

2.促使深度理解概念，利用錯誤培養逆向思維

概念在初中數學中占有舉足輕重的地位，因此，初中數學教師應該重視概念的教學，促進學生對概念的深度理解，對概念的外延進行變式，加強對概念的辨別，進而減少錯誤的產生。例如，在教學浙教版初中數學“幾何和圖形”部分中的矩形和菱形時，矩形的四個角都是直角、對角線相等，而菱形四條邊相等、對角線互相垂直，兩個概念相似度高，很多學生容易混淆。為加深對概念的理解，我結合“中點四邊形”這一數學知識進行講解：（1）依次連接任意四邊形的中點；（2）順次連接矩形的四邊中點；（3）順次連接菱形的四邊中點。我出示以上要求，并讓學生思考得到的三個四邊形是什么形狀。我引導學生動手畫一畫、量一量并證明得到的結論，通過畫輔助線和中位線的性質，學生不難證明，它們分別是：平行四邊形、矩形、菱形。我繼續追問：“回想剛才的證明過程，你認為什么特征的四邊形的中點四邊形是矩形？什么形狀的四邊形的中點四邊形是菱形？”通過交流討論，學生不難發現對角線垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形。最后，我提問：“那什么樣的四邊形的中點四邊形是正方形呢？”通過層層追問，引導學生深思，在思考和證明的過程中不斷運用矩形和菱形的性質，加深學生對概念的理解，同時也從結論引導學生思考概念，培養學生的逆向思維。

3.利用錯誤幫助學生進行新知識的學習

學生對新知識的理解需要一個過程，開始可能只關注了知識的某一個特征，并不能全面理解，因此會產生各種錯誤。此時，教師要抓住學生學習中出現的錯誤，把它當作情境或者場景進行教學，這樣能吸引學生興趣，引導學生掌握數學規律。例如，我出示問題：（1）一條直線上有兩點，那有幾條線段呢？（2）直線上有3個點，你能找到幾條線段？（3）直線上有4個點，你能找到幾條線

段……我讓學生交流自己是怎么找的，并讓學生找一找怎樣數才能不遺漏不重復，學生在找一找、數一數的過程中，能發現規律，根據等差數列的規律學生不難發現：當直線上點的個數為n時，線段的條數是n（n-1）/2。這樣學生在錯誤中發現了規律，學習了新知識，當然也增加了戰勝錯誤的勇氣。

4.培養模型意識，增強解題能力

數學是一門有規律的學科，其中蘊含著很多數學模型，有時候學生不會解題，很大一部分原因是不熟悉這類模型。因此，初中數學教師應該有意識地培養學生的模型意識，引導學生從某一事物的數量關系或者特點，用數學語言概括事物的內在聯系，這樣學生遇到類似的情況時會事半功倍。如，8個班打籃球賽，需要舉行幾場比賽？4個人握手需要握幾次？一塊木頭鋸成6塊需要鋸幾次？這些類似的問題放在一起，能讓學生在規律中發現聯系，提高解決問題的能力和水平。

總之，學生出錯是在所難免的，教師應珍視學生的錯誤，把犯錯誤的權利交給學生，讓學生在無苛責、無恐懼的數學課堂中思維飛揚。作為初中數學教師，要巧用錯題資源，讓思維跳動，讓思想躍然紙上，這樣學生學得輕松，教師教得快樂，何樂而不為？

參考文獻：

[1]王英豪.減少初中學生數學解題錯誤的策略研究[J].現代教育科學，2012（8）.

[2]易涌軍.淺談初中數學解題錯誤成因及其應對策略[J].讀書文摘，2014（16）.

編輯 鄭曉燕