基于信息加工學習理論的高中數學解題思維障礙之突破

錢麗談

【摘要】本文根據信息加工理論，歸納了學生在數學解題各個階段出現的常見思維障礙：1.在信息輸入階段有信息提取缺失和信息提取失真；2.在信息加工階段有思維定勢和思維的靈活性障礙；3.在信息輸出階段有思維的連續性障礙和思維的邏輯性障礙；4.在信息的反饋階段有思維的反思性障礙和思維的惰性障礙。并提出了克服數學解題思維障礙的對策：1.組塊策略；2.編碼策略；3.遷移策略；4.目的——手段分析策略；5.序化策略；6.元認知策略。

【關鍵詞】信息加工 數學解題 思維障礙 突破

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）02-0120-02

數學教育家奧加涅相曾指出：“思維與解題過程的密切聯系是公認的?！睆男睦韺W的角度來看，造成數學解題困難的主要原因在于解題思維過程的某個環節出現了障礙。根據信息加工理論，一個數學問題可以看成是由內部信息（條件信息、結論信息）以及與之相關的外部信息構成的整體系統。內部信息主要包括已知數據及其特征、式子（條件和結論）的結構形式、圖形和符號的意義等。外部信息主要包括相關的概念、定理、公理、公式、經驗、方法、技能等。[1]因此，數學解題過程就是在已有的相關數學知識、經驗、技能的基礎上，根據所確立的問題目標，對數學問題系統內外相關信息進行加工處理，最后輸出處理結果的過程，簡單地講，數學解題的過程就是數學信息的輸入、加工、輸出和反饋的過程。

1.信息輸入階段的思維障礙突破

在進行數學解題時，通過審題提取信息是解決問題的第一步，有效信息提取得越多，越有利于問題的解決。在此階段，學生出現的主要思維障礙有：（1）信息提取缺失：不能從已知條件回憶起與題目有關的知識、經驗與技能，不善于挖掘已知條件和結論中隱含的重要信息，從而形成思維障礙，妨礙解題的進一步進行。（2）信息提取失真：對一些數學概念或方法僅僅停留在文字表象的理解上，不能很好地實現文字與符號、圖形三種語言之間的轉換，從而曲解題意，導致思維受阻。

1.1組塊策略

組塊策略就是將零散的構件組成有意義的單元。從信息加工的角度來看，組塊是人對信息進行組織或再編碼。

數學學習過程實質上是學生對數學認知結構的建構與重組的過程。為幫助學生建立良好的數學認知結構，一方面，教師在教學時要根據教學內容設計一系列相關的問題，形成問題組塊，培養學生整體加工信息的能力；另一方面，教師要引導學生挖掘數學知識之間的聯系，利用組塊策略構建知識塊，形成知識鏈，使零亂的數學信息組合成有內在聯系的有序的認知結構，從而實現知識的有效存儲，在數學解題時能快速提取相關的知識。

1.2編碼策略

2.信息加工階段的思維障礙突破

信息提取之后，就要對所提取的信息進行加工處理，構建解題方案，在此過程中需要大量積極的思維活動。在此階段，學生出現的主要思維障礙有：（1）思維定勢：受思維定勢的影響，在解題時思考解決問題的線路比較單一，多數時候憑借原有的解題經驗，套用模式，面對新的問題情境，因循守舊、思路狹窄，不能積極調動已有的知識和經驗解決問題。（2）思維的靈活性障礙：缺少靈活運用觀察比較、歸納猜想、演繹推理等思維方法的能力，對公式、定理的逆向運用和變形使用感知較差，不能很好把握住整體，不善于挖掘條件和結論之間存在的隱含的關系，因而難以尋找到解題方法和途徑。

2.1遷移策略

遷移，就是一種知識、技能的學習對另一種知識、技能學習的影響。從信息加工理論來看，遷移過程本質上就是學習者利用已有的“知識組塊”來處理新的問題，遷移分為水平遷移和垂直遷移。[2]所謂水平遷移是指心理結構處于同一層次，在難度和復雜程度上大致一致屬于同一水平的學習間的遷移。這種策略適于解決與已有的某“知識組塊”之間存在狀態或過程相同元素的數學問題。垂直遷移是指難度的復雜程度不在同一水平的學習之間的遷移。按信息加工理論的觀點，垂直遷移是學習者在已有的“原問題知識組塊”上加上某一重要條件變化信息來處理一個新的問題，或從已有的知識組塊中分離出相對較小的知識組塊的信息加工過程。這種策略適用于解決與已有的“知識組塊”之間存在差異，需要對原有知識經驗或當前問題的組成成分重新改組、轉換或聯合的數學問題。

學會對數學信息的遷移加工，不僅能廣泛地調動學生思維的積極性和主動性，提高思維的靈活性和變通性，而且有助于克服思維定勢。

2.2目的——手段分析策略

信息加工心理學認為問題解決是一種以目標定向的搜尋問題空間的認知過程。目的——手段分析策略是一種重要的問題解決策略，它經常與子目標策略一起運用。子目標策略就是把一個問題分成若干個比較小的問題，每個小問題都有自己的目標，通過子目標的實現最終使問題的當前狀態達到最后的目標狀態。數學解題過程就是先確認問題的當前狀態與目標狀態之間的差別，然后確認要消除差別達到目標狀態所要實現的子目標或者說中間狀態。一旦子目標確立，只要應用算子實現子目標，通過運用一系列算子，實現一個個子目標，最終達到目標狀態。

該策略在問題解決中的思維操作步驟如下[3]：

①認清問題的初始狀態和目標狀態；

②分解問題的總目標為若干小目標（每個小目標就是一個中間狀態）；

③選擇手段將初始狀態向第一個小目標推進；

④達到第一個小目標后，再選擇手段向第二個小目標推進，依次類推；

⑤如果某一手段行不通，就退回原來狀態，重新選擇手段，直至最終達到總目標。

3.信息輸出階段的思維障礙突破

在明確了解決問題的方法之后，就要進行解答，即利用數學計算規則進行一系列的數學運算，最后求得正確的答案。在此階段，學生出現的主要思維障礙有：（1）思維的連續性障礙：在書寫解答過程時思維具有跳躍性，想到什么寫什么，難以形成明確、嚴謹、完整的解答。（2）思維的邏輯性障礙：解題的思維過程呈無序化，解題時缺乏簡潔、準確、流暢的表述能力，要么丟三落四，要么因果關系錯位，列出一大堆多余的條件，沒有遵循一定的解題步驟，缺乏必要的邏輯性，經常出現“會而不對，對而不全”的現象。

序化策略是突破以上思維障礙的一種行之有效的方法。信息加工學習理論吸取了系統論的有序性原理，認為任何系統都是由若干相互聯系、相互作用的要素構成的。數學問題的解決是一個系統過程，應把數學問題的解決視為一個有機連續的過程而進行信息加工。教師在解題教學中，對問題的分析可以是間斷、跳躍的，但學生對問題理解后，教師要指導學生將數學信息按一定的邏輯聯系組織起來。為幫助學生組織起連續性的整體思維，教師對問題（尤其是證明題）分析過程的板書一定要展現清晰的解題思維過程，為學生的書寫提供連續性的思維線索，學生解答過程才會產生條理分明的效果。

4.信息反饋階段的思維障礙突破

反饋不僅是解決完一個問題后的總結與回顧，更主要的是執行與控制，它體現在信息加工過程中的每一個環節。在此階段，學生出現的主要思維障礙有：（1）思維的反思性障礙：對解題進程的審視程度和解題形勢的把握不夠，出現解題困難時，不能很快地轉換思考策略來調節解題進程，在解題后缺乏對結論的檢驗和對解題過程的回顧與反思；在遇到有多種解決方法和途徑的題目時不會判斷和選擇最優解，當遇到思路受阻或方法繁瑣時，不能及時調整方向，形成思維障礙。（2）思維的惰性障礙：由于對自己的能力缺乏信心，在碰到問題時不是選擇去解決，而是放棄，久而久之，產生畏難情緒，缺乏克服困難、戰勝自我的堅韌意志和信心，缺乏獨立鉆研和質疑問難的精神，一遇到計算量比較大、計算步驟比較繁瑣的題目就產生惰性心理，不愿動腦筋去想辦法解決問題。

要突破以上思維障礙需要學生掌握元認知策略。元認知就是個體關于自己的認知過程的知識和調節這些過程的能力。元認知策略是一種典型的學習策略，指學生對自己整個學習過程的有效監視及控制的策略，實現著對學習的信息加工的各個環節的調節和監控。心理學研究表明，專家與新手解決問題的主要區別在元認知監控水平。在數學解題過程中，學會正確運用元認知策略能有效提高解題的效率和正確率。

解題思路沒有錯，但是分類討論太煩，這時就要停下來思考：能否改進解法或者有沒有更好的方法？

事實上，若能對討論的三種情況進行整體的分析，可以看到，無論a的取值如何，g（x）的最大值只在端點-1或1處取到，如果能認識到這一點，本題就可以避免分類討論，改進解法：要使g（x）≤0在x∈[1，2]上恒成立，只需g（1）≤0g（2）≤0即可。這樣就大大地提高了解題效率。

處理恒成立問題的一個重要策略是進行變量分離，上述解法的難點在于求g（x）在x∈[1，2]上的最大值，如果采取變量分離的方法就可以轉化為求另一個比較簡單的函數在x∈[1，2]上的最大值。

可以看到解法二相對于解法一要簡潔很多，在數學解題教學中重視與學生一起對解法進行細致的分析，有意識地引導學生對不同解法進行對比、評價，有助于學生增強評價意識，合理地選擇解法。

總之，對學生解題思維障礙的疏導是一項長期的工作，作為教師應積極觀察和分析學生在數學解題過程中產生的各種思維障礙，積極探尋克服思維障礙的對策，幫助他們改進思維方式，最終突破解題思維障礙，提高解題能力。

參考文獻：

[1]張奇.學習理論[M].湖北：湖北教育出版社，1999：209—227.

[2]吳傳東.合理運用遷移策略提升學生數學問題解決能力[J].文理導航，2010（4）：71-72.

[3]王雁.普通心理學[M].北京：人民教育出版社，2002：173.