在“笨方法”里學(xué)假設(shè)的途徑探析

金奎

（浙江省慈溪市教育局教研室，慈溪315300）

【摘 要】《雞兔同籠》的價值追求是讓學(xué)生經(jīng)歷“嘗試—調(diào)整—再嘗試—再調(diào)整”的“笨方法”，感悟假設(shè)法。但在教學(xué)中會產(chǎn)生種種困惑。針對這些困惑，本文提出四個對策：越過文化體驗，為“笨方法”留時間；放手自主假設(shè)，為“笨方法”拓形式；溝通假設(shè)渠道，為“笨方法”聚能量；重塑假設(shè)格局，為“笨方法”闊空間。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；假設(shè)；困惑；調(diào)整；對策

《雞兔同籠》從六年級上冊移到四年級下冊，刪去方程解法，突出了假設(shè)法的地位與作用，讓學(xué)生經(jīng)歷“假設(shè)—調(diào)整—驗證”過程，并最終找到答案。盡管教師明確了《雞兔同籠》的價值追求，但在教學(xué)中總是會產(chǎn)生這樣那樣的困惑。

一、求文化還是求效率是一種思想困惑

新教材仍通過富有情趣的古代課堂，生動地呈現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中記載的“雞兔同籠”問題，激發(fā)學(xué)生解答古代數(shù)學(xué)趣題的興趣。同時增加了一幅雞兔同籠圖，提示 “雞有2條腿、兔有4條腿”。但根據(jù)教學(xué)統(tǒng)計至少要三步：先要讀古題做解釋，接著翻譯成現(xiàn)代漢語，讓學(xué)生先嘗試，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)太大不利于研究，這才出示例1。文化滲透還夾帶數(shù)學(xué)思想，占用時間過多，反而不利于學(xué)生集中精力探究新知。

解決以上困惑的對策是：越過文化體驗，為“笨方法”留時間。既然假設(shè)法是本課教學(xué)的核心，那么就應(yīng)該把時間留給假設(shè)的產(chǎn)生、發(fā)展與鞏固。教師不妨越過這些文化體驗，直接出示例1。學(xué)生可以通過讀題、析意、猜測（如下圖），初步感知假設(shè)意味。這種“笨方法”學(xué)生稱之為“湊”，這種“湊”的過程符合數(shù)量關(guān)系與運算順序，與今后的不定方程一脈相承。其實在三年級的《租船問題》時學(xué)生已經(jīng)體驗過從個別猜測慢慢地引導(dǎo)成有序羅列。

二、要畫圖還是不要畫圖是教學(xué)困惑

畫圖由于其直觀性，一直是學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題比較喜歡的方式，但教材沒有用圖做支撐，教師在教學(xué)中卻總會借助圖講清假設(shè)過程。那么圖是否必須呈現(xiàn)，價值幾何？

解決以上困惑的對策是：放手自主假設(shè)，為“笨方法”拓形式。基于學(xué)生起點的教學(xué)是現(xiàn)代課堂的靈魂。放手讓學(xué)生用自己喜歡的方式去解答，在多形式的自主假設(shè)中捕捉學(xué)生思維水平。方法有不少：

1. 畫圖。大多數(shù)學(xué)生假設(shè)都是雞，少數(shù)假設(shè)是兔。

2. 列表。

3. 列式。

除了列式，畫圖與列表都形象地展示了調(diào)整過程。湊頭與湊腿就是“笨”在從“0”開始，有順序地、詳細地列出所有情況，然后再篩選出正確頭數(shù)；而跳躍“調(diào)整法”與中間“突破法”則思維含量較高，但事實上是“笨方法”思考后的輕巧方式。畫圖與其他方式一樣都是學(xué)生的原生態(tài)思維，給教學(xué)帶來了無限生機與靈性。然而畫圖與列表的羅列基本一致，可根據(jù)學(xué)生實際情況取舍。

三、重列表還是重算式是思維困惑

教師總認為算式是解決問題的最好記錄方式，所以千方百計地希望把列表的“笨方法”拔位到算式的“活方法”。列表與列式如何平衡，列表對列式有哪些作用？

解決以上困惑的對策是：溝通假設(shè)渠道，為“笨方法”聚能量。回歸到本課的核心——假設(shè)法，更多人總是認為運用了畫圖法，列表法，假設(shè)法，這個假設(shè)法指的列式。但筆者認為：畫圖、列表的過程無一不是假設(shè)，畫圖、列表、列式是假設(shè)法的三種不同表達形式而已；重點刻畫列表的“笨方法”，溝通三種表達形式之間的假設(shè)渠道，聚集能量。

1. 先反饋列表，再畫圖支撐

列表是從0開始，發(fā)現(xiàn)總腿數(shù)與已知頭數(shù)不對時，進行調(diào)整，每調(diào)整一次就是在體會假設(shè)。初始的假設(shè)可以視作“零起點”，無須經(jīng)過深入思考，因此俗稱“笨方法”。而能畫出正確的圖，學(xué)生已經(jīng)懂得假設(shè)全為雞或全為兔，應(yīng)該是已經(jīng)具備了較系統(tǒng)的假設(shè)知識。因此盡管圖很直觀，但由于思維層次不同，建議先反饋列表，再用畫圖支撐（如下表），這也是前文所指教材不畫圖的另一個原因。

2. 先同步調(diào)整，后集中突破

基于三種方式的感悟，學(xué)生對假設(shè)法已經(jīng)具有一定的認識，解決“雞兔同籠”問題的策略逐步優(yōu)化。如何使“假設(shè)—調(diào)整—結(jié)論”的步驟更加清晰，當(dāng)展示完學(xué)生作品后，教師可把列表、畫圖、列式同步調(diào)整加以呈現(xiàn)，把畫圖作為列表和列式的聯(lián)系紐帶，實現(xiàn)形象到抽象的過濾。

師：觀察課件，先怎么想？

生1：假設(shè)全為雞，那么表格里填雞8只，兔0只。（填表）

生2：列式為8×2=16，25-16=10（板書）

師：剩下的10條腿，怎么調(diào)整？

生3：在圖中每只雞下面加2條腿，那么變?yōu)殡u7只，兔1只。

生4：表格也調(diào)整為雞7只，兔1只。

生5：減少一只雞，增加一只兔進行調(diào)整，共調(diào)整5次。（填完表格同步展示完圖）

師：誰看懂了？誰再來說說？同桌互說。

師：那么這個調(diào)整過程可以怎么列式？（4-2）是什么意思？

邊放邊寫、逐次細理的三結(jié)合使道理通透。為了鞏固調(diào)整的策略，可結(jié)合學(xué)生的回答多次回放課件，并通過個別說、同桌互說等學(xué)習(xí)方式加以咀嚼與內(nèi)化。

四、選特殊還是選普通是解題策略的困惑

課一開始越過了文化體驗，怎么彌補？還有個棘手的問題：雞有兩條腿，而“4-2”也是兩條腿，如何減少這種特殊性對意義的干擾，可否換成普通素材？

解決以上困惑的對策是：重塑假設(shè)格局，為“笨方法”闊空間。《雞兔同籠》作為中國古代數(shù)學(xué)的結(jié)晶，其歷史文化可以在練習(xí)環(huán)節(jié)增加古題的練習(xí)。教師可以重塑假設(shè)的格局，選擇合適的方法與素材進行理解，不妨來環(huán)視一下各種教材。

1. 以方法的刪減促進效果提高

北師大版五年級上冊《嘗試與猜測》單元中也安排了“雞兔同籠”這一教學(xué)內(nèi)容（如下圖）。與人教版對比，主要發(fā)現(xiàn)以下兩點不同。

一是教材中呈現(xiàn)了多種解決問題的方法，突出了先羅列后篩選的“笨方法”，刪去了列式法，也沒有出現(xiàn)畫圖法。

二是從較為簡單的問題引入，在學(xué)生交流研究掌握一定的方法后再解決《孫子算經(jīng)》中的原題，與人教版的編排恰好相反。

2. 以素材的改變開拓學(xué)習(xí)空間

蘇教版并沒有安排雞兔同籠素材，只是在六年級上冊出示租船的情境（如下圖），讓學(xué)生在畫圖與列表計算的過程中體會“調(diào)整”的方法，只把“雞兔同籠”問題作為一道練習(xí)題。一個小小改變重塑假設(shè)的格局，使學(xué)習(xí)空間更為寬闊。

假設(shè)是運用想象對所研究的事物本質(zhì)或規(guī)律的初步設(shè)想或推測，是對所研究的課題提出可能的答案或嘗試性理解。本課的思維起點在于“先猜測后驗證”，又通過“嘗試—調(diào)整—再嘗試—再調(diào)整”的“笨方法”，逐漸逼近正確答案，也為用假設(shè)法解決分數(shù)、百分數(shù)問題以及更高階段的反證法積累經(jīng)驗。