在高中實施數學建模教學的案例分析

孫宇

摘要：根據新課程標準和數學學科教學的具體任務，結合學生和現有的教學實際條件，按照新的教學理念，根據教學規律和原則的要求，開展對數學建模的高中課堂教學進行實證性研究與實驗。正所謂知難行易，本文意在通過筆者深入課堂實際的行動研究，探索并實踐出高中數學建模教學的有效方法，針對高中數學建模教學過程中出現的問題，采取恰當的應對措施。希望能為一線教師和數學教育研究者帶來有益的啟示和思考。

關鍵詞：數學建模；課程標準；教學；行動研究

G633.6

隨著時代步入二十世紀，科學技術得到了飛速的發展，不斷地滿足生產力的發展需要，從而推動著社會的進步。科學技術是對科學理論的具體運用，而科學理論的發展，又離不開基礎學科。科學作為一門重要的工具性基礎學科，在科學理論和科學技術的發展過程中都發揮著重要的作用，體現了其不可替代性。同時，也正是由于科技發展的需要以及科技手段的發展，數學學科得到了空前迅猛的發展。無論是數學學科研究的方法或研究手段，都有了質的飛躍。伴隨著計算機技術的普及與飛速發展，數學對于現實問題的解決能力得以大幅度提升。特別是21世紀以來，數學學科更廣泛的應用于我們日常的經濟和社會生活，并且應用方式發生了深刻的變革。世界各國對于數學學科的重視程度不斷提高，體現在對于中學生開展數學基礎教育的課程改革活動中。

數學教育的目標是什么？培養學生的數學應用能力和素質，這一目標普遍體現在世界各國中學教育大綱要求之中，而數學建模活動正是提高學生數學應用能力的一種有效途徑，因此數學建模教學獲得全世界的普遍重視。

傳統的數學學習方式重視學生認識記憶數學概念，并運用數學定義、定理和公式處理各種數學問題的能力（應試能力）。教師和學生都被數學的抽象性禁錮在象牙塔中而束之高閣。而將數學建模引入高中課堂，就將學生從理論層面的理解數學轉化為學生在實際現實生活中應用數學。學生可以在數學建模活動中，運用自己所學的數學知識解決生活中的實際問題，體會成功的樂趣。通過數學建模活動，能夠更好地培養學生的敏捷性、深刻性、靈活性、創造性、批判性，而這些特性正是數學思維品質的一種展現。當學生增強了這些數學思維品質，相應的學生對于數學學習的興趣也會得到增強，學習興趣提升了，畏難心理也能克服。對教師而言，在數學教學中恰當地引入數學建模思想，能夠使學生養成了推敲問題、理解記憶、靈活應用結論的良好習慣，培養他們嚴密的邏輯思維能力，提高它們的語言表述能力，學生的整體素質也會有明顯提高，使教師的教學意圖得以順利貫徹執行，教學質量大大提高，增強學生的學習自信心，并影響其一生。

傳統的數學教學是以教師講授為主，鞏固練習為輔，這不利于學生在數學學習過程中發揮其自身的積極性和主動性，不利于學生建立數學思維。將數學建模教學引入日常數學教學中可以極大的改善學生的學習積極性和主動性，學生可以通過親自參與建模過程，直觀地感受數學定理與生活實際問題的聯系，不但活躍了課堂氣氛，更能讓學生對于數學所涉及的各個領域有所了解，如計算機技術、工程模型構建等。這樣，通過數學建模教學拓展了學生的視野，有意識地使學生置身于科學的殿堂，感受科學知識帶來的榮耀。

所以，在中學數學課堂教學中如何更好的落實新課標要求？如何將數學建模思想融入高中數學教學之中？具體的實施步驟有哪些？這些做法是否與時俱進，從中學生的學情出發？實施數學建模教學對于學生的數學興趣和學生解決實際問題的能力起到怎樣的促進作用？什么樣的數學建模問題在高中實際教學過程中會收獲比較好的效果？這些問題正是在新課程改革的背景下，中學數學教師和數學教育研究者亟待解決的問題。

數學模型（Mathematical Model）是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。 在數學模型建立過程中要求建模者對客觀問題進行深入細致的觀察、分析，從具體事物中抽象出數量關系，加以提煉，結合數學知識建構數學模型，具體過程如下（圖1）。

數學建模教學研究涉及到許多問題：建模選題技巧、學生團隊合作意識培養、計算機應用技術能力培養、評價學生數學建模活動等問題，這些問題都亟待高中教育工作者和數學專家的共同來研究和完善。在高中數學建模課堂教學中，我主要按照《普通高中數學課程標準（實驗稿）》要求，核心目的是讓在校高中學生真正意義上體驗一次完整的數學建模的過程，即選題、開題、建模過程、模型改進、模型推廣、模型檢驗等過程。在這個過程中，使學生的數學思維意識螺旋式增強，對數學建模實質、模型思想的理解不斷加深，對數學學習的興趣和熱情不斷增強。

房地產已經進入市場，隨著住房改革的深入，人人都要考慮買房。然而，多數人不可能有這么多錢能一次性付清房款，必須貸款買房，從而貸款買房問題也就成為我們家庭面臨的許多經濟決策問題之一。目前市場上不斷有各種售房廣告出現，人們看到這樣的廣告之后，急于想知道自己能否有能力去買這樣的房子，隨之便提出更多的問題：房子有多大；一次性付款要多少錢；銀行貸款月還款多少錢等等問題。為了分析這些問題，我們不妨把問題具體化，以便建立模型分析、解決問題。

問題：小李夫婦為買房要向銀行借款60萬元，年利率7.2%，貸款期為25年。小李夫婦要知道月還款額（設為常數），才能了解自己是否有能力買房。這里假設小李夫妻每月能有5000元節余。

解：如今各大銀行的還款方式有兩種，一種是等額本息還款法，另一種是等額本金還款法。

等額本息還款法：即把按揭貸款的本金總額與利息總額相加，然后平均分攤到還款期限的每個月中，每個月的還款額是固定的，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減。這種方法是目前最為普遍，也是大部分銀行長期推薦的方式。

我們先按等額本息還款法模型計算一下小李夫婦月還款金額：

從而解得月還款金額為第1個月5600元、第2個月5588元、第3個月5576元、…、第300個月2000元。月還款金額為首項5600，公差為-12的等差數列。累計支付利息541800元，累計還款總額1141800元。

從累計支付利息和累計還款總額看顯然等額本金還款法跟占優勢，銀行所獲得的利益更小，但從小李夫婦的月結余看，小李夫婦無法承擔等額本金還款法前50個月的月還款數額，不具備還款能力。因此小李夫婦應采用第一種還款方式，即等額本息還款法。

本例只是一個簡化的例子，實際的貸款要復雜得多，因而證明數學建模分析的重要性。

數學建模應結合平常的教學內容切入，把培養學生的應用意識落實到教學過程中，使學生真正掌握數學建模的方法，培養學生的數學建模能力。

（1）以課本知識為基礎，培養數學建模能力

數學建模能力的培養是一個漸進的過程。因此，從中學開始，就應有意識地逐步滲透建模思想。課本每章開始都配有反映實際問題的插圖，抽象出各章主要的數學模型，并且概念、法則、性質、公式、公理、定理等數學基礎知識，一般也是由實際問題出發抽象出來的，反映了數學建模思想。盡管在第一階段的數學建模教學中沒有達到預期效果，但在教學中涉及的貸款模型問題正是課本數列應用問題的延伸，對于培養學生數學應用意識，具有重要意義。

作為一種思想方法，數學建模思想可以與數學基礎知識的教學相依隨，經常滲透，逐漸升華。因此，教學時要充分利用課本知識的特點，重視展示知識的發生、發展、抽象、概括和應用過程。教師應研究在各個教學章節中可引入哪些模型問題，要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力。

（2）以課堂教學為平臺，培養數學建模能力

在數學建模課堂教學中想培養數學建模能力不是簡單把實際問題引入，而應根據所學數學知識與實際問題的聯系，在教學中適時地進行培養。

課堂教學中還學生以動手能力。研究最后階段的問卷調查反映出學生想要主動參與數學建模過程的訴求。新課程的教材中也有大量讓學生動手操作、制作的問題，我們在教學的過程中，尤其是數學建模教學中應該讓學生動起來，能讓學生做的、操作的，就給學生動手的機會，讓學生動手做一做，操作著試一試。

課堂教學中組織適當的討論。一言堂的數學建模課學生并不喜歡，但是把全部時間全部留給學生，學生也無法從數學建模過程中有所得。因此，在高中數學建模課堂中，教師的參與是必不可少的。課堂討論常常需要教師給出一個中心議題或所要解決的問題，學生在獨立思考的基礎上，以小組或班級的形式圍繞議題發表見解、互相討論。實踐證明，課堂討論為師生之間、同學之間的多向交流提供了一個很好的環境。

（3）以生活問題為基點，培養數學建模能力

數學就是生活，生活離不開數學，數學也不能和生活分離。“時時有數學，事事有數學。”“把生活融匯到學校數學教育中，是現代教育的一個趨勢…… ”大量與日常生活相聯系（如投資買賣、銀行儲蓄、測量、乘車、運動等方面）的數學問題，大多可以通過建立數學模型加以解決。

（4）以實踐活動為媒介，培養數學建模能力

在平時的教學中，應加強實際問題的教學，使學生從自身的生活背景中發現數學、創造數學、運用數學，培養建模應用能力。

（5）以相關學科為鏈接，培養數學建模能力

由于數學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數學的聯系是相當密切的。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的一個不可忽視的途徑。這樣的模型意識不僅僅是抽象的數學知識，而且將對他們學習其它學科的知識以及將來用數學建模知識探討各種邊緣學科產生深遠的影響。

為適應新課程的變化，《課程標準》對課程學習提出新的要求：提供有價值的學習內容，學生的數學學習內容應與現實生活聯系密切、富有挑戰性、同時也應豐富有趣；與以往教材中主要采取的“定義一定理（公式）—例題一習題”的形式不同，《課程標準》提倡以“問題情境一建立模型一解釋、應用與拓展”的基本模式呈現知識內容，讓學生經歷“數學化”與“再創造”的過程，形成自己對數學概念的理解；提倡在關注獲得知識的同時，關注知識獲得的過程，形成自己對數學的理解；學習內容的設計應具有一定的彈性，《課程標準》提倡采取開放的原則，為有特殊需要的學生留出發展的時間和空間，滿足多樣化的學習需求。同時，《課程標準》倡導有意義的學習方式，要求讓學生在“做數學”的過程中去發現數學，認識數學的價值，了解數學的特征，總結數學的規律，在“做數學”的過程中學會數學，發展數學能力。因此，這一次數學課程改革是要轉變廣大數學教師的教學觀念，在數學課堂中推進素質教育，在《課程標準》的理念下進行教學創新，轉變學生的學習方式。

因此，通過數學建模課的教學，首先應該從數學教師入手，增強數學建模意識。經常性的開展數學建模教學研究對于數學老師的日常教學也有非常大的幫助，教師應在日常的教學中滲透數學建模思想、方法，這也是符合新課程理念的。數學建模教學不應只局限于數學興趣小組上，教師應在日常課堂教學中，滲透數學建模思想和數學建模教學。數學建模教學不會影響日常數學教學，相反還會在很大程度上促進日常教學，二者是相輔相成，不可割裂的。

參考文獻：

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