《一元二次方程》錯題歸因分析及有效策略

王起堯

【摘 要】數學解題貫穿于整個教學過程，公式的推導、定理的證明以及問題的解答，都與數學解題密不可分。面對學生在數學解題中出現的各類錯誤，教師及時分析錯誤原因，采取有效的教學策略，提高學生解題能力。

【關鍵詞】數學解題；錯題分析；解題能力

《初中數學課程標準》指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索是學生學習數學的重要方式。數學解題貫穿于整個教學過程，公式的推導、定理的證明以及問題的解答，都與數學解題密不可分。然而，由于教學內容的多樣性，學生學習能力存在著差異性，在數學解題中，學生經常會出現各類錯誤。筆者結合課堂教學實例，通過學生在《一元二次方程》學習過程中，常出現的解題錯誤展開分析，及時采取有效的教學策略：

一、學生基本概念理解不到位

數學概念是數學的一種思維形式，是運算、推理、證明的重要依據。在教學中，教師通過一系列設問、引導，概括出一元二次方程概念的本質。然而，部分學生在實際解題中仍會出現不同程度的錯誤。

案例1：判斷下列方程哪些是一元二次方程：

①x2=5； ②2x2-y+5=0；

③ax2+bx+c=0； ④

典型錯誤：學生在解題中普遍認識到第②與第③選項存在明顯錯誤，不會選②與③。部分學生錯選第④選項。

分析：選④，究其主要原因，是學生沒有完全弄清一元二次方程的前提條件必須是整式方程，而第④選項是分式方程，它不是一元二次方程。

對策：在教學一元二次方程概念時，務必對學生強調一元二次方程必須同時具備三個條件：①一元二次方程是整式方程；②只含有一個未知數；③未知數的最高次數為2。以上三個條件缺一不可。

案例2：不解方程，判斷方程4x2-3x+1=2根的情況。

典型錯誤：∵a=4，b=-3，c=1，

∴b2-4ac=（-3）2-4×4×1=9-16=-7<0，

∴原方程沒有實數根。

分析：部分學生沒有弄清一元二次方程4x2-3x+1=2根的判別式b2-4ac 中的a、b、c分別表示的含義，就把c用1代入計算，因而導致解題錯誤。

對策：在教學一元二次方程根的判別式時，先從概念層次復習一元二次方程的一般形式，然后列舉實例，要求學生化成一元二次方程的一般形式，并分別指出二次項系數、一次項系數、常數項，最后給學生一一分析實例中根的判別式b2-4ac 中的a、b、c的含義。加深了學生印象，也避免學生今后犯類似錯誤。

正確掌握數學概念及其理解數學概念的本質是學生糾錯的必要前提。在教學中，部分學生對數學概念理解存在失誤，通常表現為理解不透或死記硬背，面對較難題目不懂得靈活變通。因此教師從學生實際出發，在講解數學概念時，積極創設教學情境，引領學生找“關鍵詞”，從具體到抽象，層層遞進，加深數學概念的內涵和外延的理解，揭示數學概念的本質，不斷強化數學概念之間的內在聯系，這樣一來，學生就能正確、靈活地運用數學概念了。

二、學生解題思路考慮不全面

蘇聯數學教育家斯托利亞爾曾提出：“數學教學也就是數學語言的教學。”在教學中，教師有目的地引導學生細致閱讀數學題目，學會提取題目中的有效信息，剖析題目中各種隱含的條件，在正確理解題意的基礎上，將所學的公式、定理與教學情境有機重組，從而形成正確的解題思路。

案例3：已知關于x的方程（m-1）x2+x+3=0有實數根，求m的取值范圍。

典型錯誤：∵方程有實數根；

∴b2-4ac=-4（m-1）×3≥0，解得m≤；

∵m-1≠0，解得m≠1；

∴m的取值范圍是m≤且m≠1。

分析：從學生答題情況看，學生解題思路較全面，懂得用根的判別式去求m的取值范圍，同時也考慮到x 的二次項系數m-1≠0。但學生審題時已出現明顯偏差：第一，題中沒有明確表示該方程是一元二次方程，因此它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程。而學生解題思路是從一元二次方程的角度來求解；該方程如果不是一元二次方程，即m-1=0時就變成一元一次方程，也是可行的。第二，學生忽略了題目中的一個隱含條件：二次根式的被開方數2m必須大于或等于0，而學生沒有考慮到2m≥0，因此解題時對m的限制不全面。

對策：教學中，在學生深入理解一元二次方程根的判別式概念的基礎上，教師應注重解題思路的引導，針對判別式、根與系數的關系，以精選的例題、習題為載體，引導學生不同角度思考問題，感受新知是舊知的自然延伸，從而建立合理的邏輯過程，提升學生對一元二次方程的解題能力。

實踐證明，掌握正確的數學解題思路，學生的學習效果事半功倍。教師重視數學教學中分析問題和解決問題時思維過程的層層揭示，學生通過自主探究，逐步學會把數學概念、定理內化成自身獨特的知識建構與感悟，形成一定的解題能力，做到舉一反三。

三、學生知識遷移能力不夠

“生活中處處有數學”。一元二次方程的應用是我們解決實際問題的一種有效途徑，教學中，教師根據學生學情，積極創設數學情境，將題目中隱含著的數量關系抽象成一元二次方程，不斷培養學生的數學知識遷移能力。

案例4：在某次同學聚會上，每兩人握一次手，所有人共握手15次，問：有多少人參加這次聚會？

典型錯誤：設有x個人參加聚會，列出方程：x（x-1）=15。

分析：“握手問題”是應用題中常見的一種題型。學生已經掌握一元二次方程概念、解法等基礎知識，但如何將這些知識充分應用到實際問題中，有的學生無從下手，不能根據題意確定等量關系后列出正確的一元二次方程。

對策：“握手問題”貼近學生生活，教師分析其解題思路時，先請兩位同學上臺互相握手演示，大家很容易就領悟到甲與乙握手是相互的，甲與乙握手的同時，乙與甲也握手了，兩人相互握手算一次。接著教師請3位、4位、5位同學上臺演示，這樣學生就對重復握手有了更為直觀的認識。然后教師通過問題教學法不斷打開學生的解題思路：①先假設這次聚會有x個人，那么甲與其他人握了幾次手？學生很快得出結論：（x-1）次；②每個人都握了（x-1）次，則x個人總共握手多少次？學生思考后得出結論： x（x-1）次；③甲與乙握手的同時，乙與甲握手了嗎？通過上述三個問題的層層引入，學生完全理解題意。最后找出已知量、未知量，確定等量關系，列出方程：x（x-1）=15。在學生充分理解“握手問題”實質的基礎上，教師將“握手問題”加以變式，例如：足球循環賽、互送禮物、多邊形對角線等問題的設置，培養了學生的邏輯推理能力與數學知識遷移能力。

在數學教學中，教師有意識地培養學生學習數學的知識遷移能力，有針對性地選擇趣味性與實用性較強的例題與習題，引導學生自主探究，親身體驗運用一元二次方程模型解決實際問題的樂趣。與此同時，教師應該加強學法指導：抽象出實際問題中的數量關系——列一元二次方程——解方程——驗證，及時捕捉學生解題中常常出現的錯題，引領學生不斷地在糾錯、改錯過程中多角度類比、演變、重組，建構正確的數學知識網絡，提升數學思維的靈活性。

總而言之，學生數學學習中解題錯誤是一種正常現象，也是一種珍貴的教學資源。教師在教學中重視學生已有的知識經驗，從學生實際出發，引導學生嘗試多角度、有效地解決錯題，不斷提高學生的數學解題能力。

參考文獻：

[1]《初中數學課程標準》（2011年版）.

[2]李保國.淺談錯題集的建立和應用技巧[J].數學教學，2013.

[3]揚州大學.初中數學教與學[J]，2016（第3期）.