圖形認知結構視角下數學思想方法的運用

胡蔡劼

【摘 要】數學思想方法是學習數學的精髓，圖形認知結構則是學生理解空間幾何的架構，在圖形認知結構上的缺失往往造成數學思想方法運用上的困難。本文以幾道圖形趣題為例，從圖形認知結構的視角上對數學思想方法的運用進行了分析和闡釋。

【關鍵詞】圖形；認知結構；數學思想方法

數學思想方法是數學學習的精髓。教師在數學教學中不僅應當注重知識建構與解題方法的指導，更應該重視滲透數學思想方法，培養學生的數學思維，形成基本素養。而圖形認知結構是學生在學習空間與幾何的過程中逐步建立起來的認知途徑，對理解與解決幾何問題具有方向性的指導作用。學生在圖形認知結構上的缺失往往造成數學思想方法運用上的困難，此時圖形認知結構的再建就成為運用數學思想方法解題的關鍵。

一、從簡單到復雜VS運用轉化思想化繁為簡

圖形認知結構遵循著一般認知結構的基本特點“從簡單到復雜”，新的知識和技能在舊有知識結構上樹立起關聯。例如，我們對圖形的學習路徑一般是從一維到多維的，低維圖形的運動軌跡組合形成了高維圖形；又如，學習平面圖形從簡單的三角形、四邊形到多邊形等。因此，“轉化”的數學思想方法有助于在解題中溝通幾何問題與基本事實間的聯系。

例1：已知O為圓錐的頂點，E為圓錐底面上的一點，點P在OE上。一只螞蟻從P點出發，繞圓錐側面爬行一周，回到點P時所經過的最短距離是多少？

分析：螞蟻的爬行路線在三維曲面上難以確定，選擇側面展開為扇形后，“兩點之間線段最短”，即求線段PP的長度。結合所給條件可以求出扇形圓心角是60°。由于“圖形在旋轉運動中具有不變性”，OP=OP=2cm，使得△OPP成為一個“含有60°角的等腰三角形”，即是等邊三角形了。因而得出PP是2cm，就是繞圓錐側面一周最短距離。

點評：從復雜的三維“曲線”，到平面中線段長度，從扇形到圓，從等邊三角形到一邊，將復合的復雜問題轉化為幾個具有聯系的簡單問題并解決，這正是“轉化”數學思想的妙用，而其中圖形認知結構所起的作用就是將簡單與復雜的圖形聯系起來，從中尋找可供轉化的“蛛絲馬跡”。

二、從特殊到一般VS運用類比歸納尋找突破

對于不同類別的圖形，除了從簡入繁外還常用“從特殊到一般”來建立圖形認知結構，啟發我們發現圖形之間的橫向聯系。如“當平行四邊形的一個角是直角時，就成為長方形”，又如“梯形面積公式同樣適用于三角形和平行四邊形”，同理也可以發現圓柱、圓錐、圓臺體積之間的聯系——而這種從特殊到一般的圖形認知結構，也有助于“類比歸納”這種數學思想方法的運用。

例2：國際象棋棋盤上有黑白相間的64個正方形格子，問其中存在幾個不同的長方形（位置不同即不同），使得它所包含的黑白格子數不同？

分析：考慮到“正方形是特殊的長方形”，先計算長方形再減去其中的正方形就能簡化題目。長方形（含正方形）是由長、寬組合而成的，為了使黑白格子的數量不同，長、寬都要是奇數。長或寬是奇數格的可能分別為8、6、4、2種，因此符合條件的長方形（含正方形）的總數是（8+6+4+2）2=400個。但其中包含邊長為1、3、5、7的正方形個數分別為64、36、16、4個，剩下280個就是符合條件的長方形（不含正方形）的數量。

點評：如果用轉化的思想，將棋盤變小以尋找規律，同樣可以簡化問題。但是將長方形和正方形合起來計數，再扣掉其中“特殊”的正方形，運用的則不僅僅是將長方形和正方形進行類比，歸納其“都由垂直的長、寬決定大小”的共同點，也是分析出“長、寬的長度相同與否決定是否是正方形”區別所在的關鍵——這種“從特殊到一般”的圖形認知結構往往是類比歸納的基礎，成為解題的突破口之一。

三、從具象到抽象VS運用數形結合恰當建模

圖形的學習還遵循“從具象到抽象”的認知結構，從低級的觸摸感受、實地測量到高級的抽象理解與推理，抽象思維逐步成為思維主通道——我們可以把一輛小車想象成一個點，也可以把時間的流轉看作點的運動，著名的“哥尼斯堡七橋問題”就是這樣建模成“一筆畫問題”并得到解決的。這種“具象&抽象”的思維可以幫助我們構建數學模型，運用數形結合的數學思想方法解決許多問題。

例3：甲、乙兩人約定在晚上7點到8點之間碰面，并約定先到的人要等20分鐘，如果另一個人還沒來，就直接走掉。那么兩人碰面的概率是多少？

分析：單獨“時間點”無法分析，要用數形結合的思想在連續的線和面來看。在平面上建立直角坐標系，xy軸分別為兩人在7點后的到達時間，正方形中的每個點都表示他們倆各自到達的時間點。其中|x-y|≤20之間的部分就是時間相差不超過20分鐘的情況。因此，相遇的概率就轉化為陰影部分面積與正方形面積的比，是。

點評：時間是不可分割的，線段也是由無數個點組成的，因此產生了“時間軸”、“時間點”的說法，而能將概率問題轉化為求圖形的面積問題的建模思想，正是利用了圖形認知結構中兩者的相似性作為依據的。

四、總結

通過以上的幾個例子可以發現，數學思想方法在幾何問題中的運用是需要依賴一定的圖形認知結構的，正確的圖形認知結構有助于在解決幾何問題中運用恰當的數學思想方法。

其實，數學思想方法還有很多（分類討論、枚舉、集合、推理、優化……），圖形認知結構也有不同層次，它們之間并不是——對應的（有時運用某種數學思想方法需要依賴多種圖形認知結構作為分析的基礎，而某種圖形認知結構可能引發多種數學思想方法的融合運用），但是在幾何問題中，只有正確了解并“喚醒”問題所包含的圖形認知結構，才是找到并運用相應數學思想方法“金鑰匙”的關鍵。

【參考文獻】

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