淺談古典概型專題的復習

唐運軍

古典概型是高中概率學習的重要類型之一，古典概型的基本事件個數是求概率的關鍵，然而由于文科學生沒有學習計數原理，基本事件的個數基本上只能通過列舉的方式得到，因此不重不漏的列舉出所有基本事件成了學生的最大困難。本文針對本節知識的特點和文科學生復習時的實際困難，從兩個方面談談文科生對古典概型專題的復習。

一、解決古典概型問題的前提--把握基本特點，掌握概率公式

古典概型基本特點：

（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；

（2）每個基本事件出現的可能性相等；

古典概型計算公式：

解決古典概型問題時，許多同學容易忽略“每個基本事件出現的可能性相等”這個基本特點，導致解答錯誤。

例1，同時擲兩個骰子，計算向上的點數之和是5的概率是多少？

解法一：擲一個骰子的結果有6種，我們把兩個骰子標上記號1，2以便區分，由于1號骰子的每一個結果都可與2號骰子的任意一個結果配對，組成同時擲兩個骰子的一個結果，因此同時擲兩個骰子的結果有36種。在這36種結果中，向上點數之和為5的結果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），其中第一個數表示1號骰子的結果，第二個數表示2號骰子的結果。由于所有36種結果是等可能的，其中向上點數之和為5的結果有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得，P（向上的點數之和是5）

解法二：擲一個骰子的結果有6種.那么兩個骰子之和有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共11個結果，因此，由古典概型的概率計算公式可得，P（向上的點數之和是5）

兩個答案都是利用古典概型的概率計算公式得到的，為什么會出現不同的結果呢？這就需要考察兩種解法是否滿足古典概型的基本特點，本題基本事件如下表：

觀察表中數據容易發現，向上點數之和為2和12的情況各有1次，向上點數之和為3和11的情況各有2次，向上點數之和為4和10的情況各有3次，向上點數之和為5和9的情況各有4次，向上點數之和為6和8的情況各有5次，向上點數之和為7的情況有6次，顯然第二種解法中構造的11個基本事件不是等可能發生的，不滿足古典概型的基本特點，直接使用古典概型的公式求解就出現了錯誤.在古典概型專題復習時，要求學生使用古典概型公式前一定要注意驗證所構造的基本事件是否滿足古典概型的基本特點。

二、掌握古典概型三種常規列舉的方式，不重不漏的列舉出所有基本事件

準確的列舉出基本事件個數是解決古典概型的關鍵，文科學生沒有學習計數原理，基本事件的個數只能通過列舉的方式得到。不重不漏的列舉出所有基本事件成了學生的最大困難，本文將古典概型概括為三大類型。

類型一：從一個含有n個元素的集合中無順序之分的抽取m（）個元素.建議采用定頭順尾，不回頭的列舉方式。

例2，（2008年海南卷）為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學生中的普及情況，調查部門對某校6名學生進行問卷調查，6人得分情況如下：5、6、7、8、9、10，把這6名學生的得分看成一個總體。

（1）求該總體的平均數；

（2）用簡單隨機抽樣方法從這6名學生中抽取2名，他們的得分組成一個樣本.求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5的概率；

本題第（2）小題屬于古典概型題，等價于從一個含有6個元素的集合中沒有順序的抽取2個元素.因此在列舉時，我們可以先依次定下頭位，順著元素不回頭的依次列舉。如定5頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），定6頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），定7頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（7，8），（7，9），（7，10），定8頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（8，9），（8，10），定9頭順著元素不回頭的列舉依次就可以得到（9，10），這樣就非常容易的不重不漏的15個基本事件全部列舉得到。

類型二：從一個含有n個元素的集合中有順序之分的抽取m（）個元素.建議采用樹狀圖的方法依次例舉。

例3，從A、B、C、D 4名學生中任選兩名同學分別擔任正副班長，求A為正班長的概率。

本題屬于古典概型題，等價于從一個含有4個元素的集合中有順序的抽取4個元素。因此在列舉時，我們可以采用樹狀圖的方法依次例舉。

副班長

由上樹狀圖可以得到從A、B、C、D 4名學生中任選兩名同學分別擔任正副班長的基本事件有（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C）共12個（其中橫坐標表示正班長，縱坐標表示副班長）。

類型三：從兩個集合中各抽取1個元素.建議采用列列聯表的方法依次例舉。

例4，（2007年海南卷）設有關于的一元二次方程

（1）若是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率。

本題第（1）小題屬于古典概型題，等價于從集合和集合兩個集合中各抽取一個元素.因此可以采用如下列聯表的方法依次例舉。

從上表可以得到若是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，是從0，1，2三個數中任取的一個數可以得到（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）共12個基本事件（其中橫坐標表示，縱坐標表示）。

古典概型的習題非常多，文科學生雖然沒有學計數原理，但只要抓住了其基本特點，恰當的選擇列舉方法，靈活運用，就能夠有效的降低難度，減少錯誤，提高復習的效率。

參考文獻：

[1]張淑梅主編.普通高中新課程標準實驗均教科書――數學必修3（A版）[M].人民教育出版社，2010