這樣的直線為什么不存在

田衛(wèi)東

[摘 要] 用“點(diǎn)差法”求解雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)“中點(diǎn)弦”時(shí)而存在，時(shí)而又不存在的情況，本文通過分析研究，發(fā)現(xiàn)了“中點(diǎn)弦”不存在的原因，同時(shí)給出如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合判斷“中點(diǎn)弦”是否存在的方法.

[關(guān)鍵詞] “雙曲線”；“中點(diǎn)弦”；“點(diǎn)差法”；“思考研究”

在求解圓錐曲線的一類問題時(shí)，若題目中給出直線與圓錐曲線相交被截得線段中點(diǎn)坐標(biāo)的時(shí)候，把直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線的方程，然后將兩個(gè)等式作差，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率有關(guān)的式子，從中求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程. 通常我們將與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題稱之為圓錐曲線的“中點(diǎn)弦”問題，把這種代點(diǎn)作差的方法稱為“點(diǎn)差法”. 對(duì)于“中點(diǎn)弦”問題，如果能適時(shí)運(yùn)用點(diǎn)差法，可以達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，同時(shí)，還可以減少解題的運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程. 因此，在直線與圓錐曲線的教學(xué)中，若涉及弦的中點(diǎn)問題，老師們都喜歡教給學(xué)生這種解題方法，學(xué)生們也會(huì)從各種教輔資料中學(xué)會(huì)這種方法. 近日，我們正在學(xué)習(xí)雙曲線的有關(guān)內(nèi)容，用這種方法處理直線和雙曲線的“中點(diǎn)弦問題”時(shí)，出現(xiàn)了一些“小麻煩”，從而也引起了筆者的一些思考.

學(xué)生的疑問

在雙曲線的習(xí)題課上，學(xué)生遇到了這樣一個(gè)問題：已知雙曲線方程-=1.

（1）過點(diǎn)M（1，1）的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程.

（2）是否存在直線l，使1，為l被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

由于學(xué)習(xí)橢圓時(shí)已經(jīng)涉及了“中點(diǎn)弦”的問題及解法，所以大部分學(xué)生使用了“點(diǎn)差法”求解，少部分學(xué)生根據(jù)直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解，但解題速度較慢，用“點(diǎn)差法”求解的學(xué)生很快解出了結(jié)果.

用“點(diǎn)差法”求解如下：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x-2y=4，x-2y=4，兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）-2（y1+y2）（y1-y2）=0，所以=. 又因?yàn)閤1+x2=2，y1+y2=2，所以=，所以直線AB的方程為y-1=（x-1），即x-2y+1=0.

同法可解第（2）題中直線l的方程為：2x-2y-1=0. 但由方程組x2-2y2=4，2x-2y-1=0得2x2-4x+9=0. 根據(jù)Δ=-56<0，說(shuō)明所求直線不存在.

從上面兩個(gè)問題的求解過程來(lái)看，似乎天衣無(wú)縫，但結(jié)果卻大相徑庭.于是，一部分學(xué)生便有了疑問：用點(diǎn)差法求解橢圓“中點(diǎn)弦”問題的時(shí)候，直線都是存在的，從來(lái)不用檢驗(yàn)，為什么雙曲線的“中點(diǎn)弦”卻要進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)兀肯抡n后，一名成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生更是直接表達(dá)了自己的困惑：老師，我們求解的過程是正確的，可是直線為什么不存在呢？帶著這個(gè)問題，筆者回到了辦公室，經(jīng)過反復(fù)思考計(jì)算、畫圖分析，終于得知了直線不存在的原因.

直線去哪兒了

我們以雙曲線-=1為例進(jìn)行說(shuō)明. 設(shè)直線l與所給雙曲線的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則有b2x-a2y=a2b2，b2x-a2y=a2b2，兩式相減得b2（x1+x2）（x1-x2）-a2（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以==，即kAB=.

再考察雙曲線-=1的共軛雙曲線-=1，設(shè)直線l與它的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)為M（x0，y0），則有a2y-b2x=a2b2，a2y-b2x=a2b2，兩式相減得a2（y1+y2）（y1-y2）-b2（x1+x2）（x1-x2）=0，所以==，即kAB=.

我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)結(jié)果竟然完全一樣！顯然，用“點(diǎn)差法”求解雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，所求得的kAB=并不僅僅是直線l與雙曲線-=1的“中點(diǎn)弦”的專利，同時(shí)也是l與雙曲線-=1的“中點(diǎn)弦”的運(yùn)算結(jié)果. 從而也就找到了直線l為什么時(shí)而存在，時(shí)而又不存在的原因，原來(lái)是共軛雙曲線在“作怪”！由此不難得知，雖然第（2）題中所求的直線l對(duì)于雙曲線-=1不存在，但對(duì)于它的共軛雙曲線-=1而言，“中點(diǎn)弦”卻是存在的.

可以這樣判斷“中點(diǎn)弦”是否存在

除了可以通過直曲聯(lián)立，用一元二次方程根的判別式判斷“中點(diǎn)弦”是否存在以外，我們還有沒有別的方法可用呢？下面，在同一坐標(biāo)系中分別畫出雙曲線-=1和-=1. 如圖1所示：陰影部分是滿足-<1和-<1的所有點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，又被兩條漸近線分成了上、下、左、右四部分，把它們分別記為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.

下面，我們先給出一個(gè)結(jié)論.設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，代入方程-=1中可得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2（m2+b2）=0，其中Δ=4a2b2（m2+b2-a2k2），x1x2=.

結(jié)論1：當(dāng)b2-a2k2>0，即k2<時(shí)，Δ>0且x1x2<0，這說(shuō)明直線l一定與-=1的左、右兩支各交于一點(diǎn)；同理可得結(jié)論2：當(dāng)b2-a2k2<0，即k2>時(shí)，l一定與雙曲線-=1的上、下兩支各交于一點(diǎn).

設(shè)弦AB的中點(diǎn)M（x0，y0）是區(qū)域Ⅰ或區(qū)域Ⅲ內(nèi)的任意一點(diǎn)（不包括邊界），則（x0，y0）滿足以下三個(gè)條件：①-<1；②-<1；③a2y-b2x>0. 因?yàn)閗AB=，且a2y-b2x>0，所以k=<，這就說(shuō)明直線l與雙曲線-=1的左、右兩支各交于一點(diǎn). 同理，當(dāng)M（x0，y0）是區(qū)域Ⅱ和區(qū)域Ⅳ內(nèi)的任意一點(diǎn)（不包括邊界）時(shí)，k>，直線l與雙曲線-=1的上、下兩支各交于一點(diǎn).這樣，我們就知道本文開始時(shí)（1）（2）兩個(gè)問題的結(jié)果為何不同的原因了，因?yàn)辄c(diǎn)M（1，1）在區(qū)域Ⅰ，而N1，在區(qū)域Ⅳ.

綜合以上分析，用“點(diǎn)差法”求解雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，除了可以用一元二次方程根的判別式驗(yàn)證滿足條件的直線是否存在以外，還可以通過作圖，根據(jù)弦的中點(diǎn)M（x0，y0）的具體位置判斷“中點(diǎn)弦”是否存在，這樣就會(huì)減少運(yùn)算量，同時(shí)也是對(duì)“點(diǎn)差法”求雙曲線“中點(diǎn)弦”的一點(diǎn)補(bǔ)充和完善. 一般而言，這類題目中所求弦的中點(diǎn)基本上都在上述四個(gè)區(qū)域內(nèi)，若弦AB的中點(diǎn)M（x0，y0）不屬于上述四個(gè)區(qū)域，即M（x0，y0）滿足->1或-<1時(shí)，也可以按照上面的方法推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論.

后記

很多的參考資料上都有直線和雙曲線的“中點(diǎn)弦”這類題目，它們往往這樣告訴學(xué)習(xí)者：用“點(diǎn)差法”求解雙曲線的中“中點(diǎn)弦”問題時(shí)，要注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，但從來(lái)沒有解釋求得的直線為什么會(huì)不存在. 本文通過對(duì)該問題的分析，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中要勤于思考、善于研究，不能過分地依賴各種教輔資料，更不要把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)僅僅當(dāng)作背公式、記結(jié)論、按套路解題. 事實(shí)上，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，針對(duì)一些典型問題多分析、多思考、多鉆研，做到相似問題一般化，一般問題特殊化，多進(jìn)行一題多解、多題一解的訓(xùn)練……，這樣才能提升自己的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而很好地完成高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)，也為將來(lái)能夠適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).