洛必達法則及其推廣的應用

趙秀

摘 要 洛必達法則及其推廣是求極限行之有效的簡便方法，大部分未定式極限用洛必達法則求解非常方便，但并非所有的未定式極限都能用洛必達法則求解，同時有部分非未定式極限可考慮用洛必達法則的推廣求之。筆者從事“數(shù)學分析”教學工作多年，感受到此法在使用過程中有很大的技巧性，本文談談洛必達法則及其推廣在解題中的點滴體會。

關鍵詞 洛必達法則 洛必達法則推廣 極限 體會

中圖分類號：O172.1 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.020

1 廣義洛必達法則（洛必達法則推廣）

定理（型未定式極限）：設和在（，），>0上可導，若滿足：

（1）≠0； （2）=∞；

（3）=A（A可為有限數(shù)，也可為+∞、、∞）；

則有=A.

注意1：此定理的證明見《數(shù)學分析選講》（劉三陽、于力、李廣民編）。

注意2：此定理可以推廣到，，，，的情形。

注意3：此定理其實是的推廣，與傳統(tǒng)的洛必達法則相比，對分子上的函數(shù)的限制條件減弱了，可以有極限（包括廣義極限），也可以無極限，當然其應用亦拓寬了。

例1

分析：對于：其情況較為復雜，不易此極限為∞，從而不易斷定它屬于型，但由積分變限函數(shù)的性質可知在+∞的鄰域內可導，于是由廣義洛必達法則可得，

=（）（）==1

2 洛必達法則（包括廣義情形）的條件僅是結論成立的充分條件

例2求極限

誤解：==，故所求極限不存在（不是有限數(shù)，也不是+∞，或∞）。

分析：廣義洛必達法則的三個條件中滿足第（1）與第（2），但第三個條件不滿足，因為在→+∞的過程中，無限次地在[，]之間擺動，不是有限數(shù)，也不是+∞，或∞，從而條件不成立，故得出結論不正確（因為洛必達法則的條件僅是結論成分的充分條件，條件成立時結論成立，條件不成立時結論未必成立）。

例3：求極限

分析：洛必達法則的三個條件中滿足兩個，第一：此極限屬于型極限，第二：函數(shù)及在內可導，若反復用洛必達法則求極限將會現(xiàn)了循環(huán)現(xiàn)象，使問題陷入誤區(qū)，無法求解，即

（）=（）=（回到原題，出現(xiàn)循環(huán)）

=（）=（）（又回到原題，出現(xiàn)循環(huán)）.

由此可看出，若反復用洛必達法則是無法求解的（用洛必達法則求不出極限，并不能說此極限不存在，因為洛必達法則的條件僅是結論成分的充分條件），當然只需將函數(shù)適當變形即可求解。

解法：（）== ==1

例4：證明：若存在，則

=

誤證：（）

= （） ①

= ②

= ③

= ④

分析：所證等式左端是未定式極限，由題設“存在”，可推出、在內都存在，且在連續(xù)，所以當||充分小時（||>0），，都存在，故①成立，①雖然是型未定式極限，但由題設不能保證及的存在性，即洛必達法則的第二個條件（可導性）不滿足，故②不成立，的連續(xù)性不能得到保證，故③不成立，所以上述證明是錯誤的。

正確證明法：

（）

=（）

= [2·]（用導數(shù)定義證之）

= =2·

=2=

由此例可出，數(shù)學具有嚴密的邏輯性，若不注意檢查洛必達法則的條件將會出現(xiàn)錯誤的證法。

3 簡化導數(shù)運算

（1）在使用洛必達法則求未定式極限的過程中，即時化簡整理，將極限“確定的”式子分離出來，可避免繁雜的導數(shù)運算，大大簡化計算，此法簡稱為“分離法”。

例5：求極限（貴師大1996年考研題）

分析：此極限屬于型未定式極限，用洛必達法則：

= （型極限，再用洛必達法則）

= （*） .

（*）是型極限，若用洛必達法則，分子，分母的導函數(shù)更為復雜，并且還是型，若又使用洛必達法則，出現(xiàn)的導函數(shù)的復雜性是可想而知的，此時使解題陷入誤區(qū)，為了避免復雜的導數(shù)運算，用“分離法”即可。

解：= （*）

=·（分離）

因為=1，而===12，

故所求極限為12，

（2）為了簡化復雜的導數(shù)運算，利用等價代換也是一種行之有效的方法。

用此法另解例4如下：

原式= （（） ～，→0+

==（）===12

從大量實踐看出，在使用洛必達法則時，滲透“分離法”、“ 等價代換”思想可使復雜問題簡單化。

4 洛必達法則使用誤區(qū)

（1）由于用洛必達法則求未定式極限非常方便，有時不是未定式極限也用洛必達法則求之。

例6：求極限.

誤解：===.

顯然=0.

（2）洛必達法則是將極限（）或極限（）轉化為極限來求，而有時會誤將極限（）或極限（）轉化為極限（）'來求。

（3）數(shù)列極限用洛必達法則直接求之也是洛必達法則使用過程中的一大誤區(qū)。

例7：求數(shù)列極限（1+）

誤解：（1+）= （型用洛必達法則）

=（*）===1.

分析：上述誤解錯在（*）式，原極限雖然是型極限，但n是離散變量，1+與不能求導，雖然結果正確，但解題過程不對。若要用洛必達法則求解，應先構造輔助函數(shù)=（1+），用洛必達法則先求極限（1+），再用歸結原則得出所求數(shù)列極限。正確解法如下：

（1+）=（型用洛必達法則）=

===1.由歸結原則，（1+）=1.

參考文獻

[1] 華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第3版）（下冊）.高等教育出版社，2006.

[2] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義（第3版）.高等教育出版社，2003.

[3] 劉三陽，于力，李廣民.數(shù)學分析選講.科學出版社，2007.