數學課堂有效教學的關鍵：把課堂還給學生

摘要：本文通過兩節課的實錄，闡述了數學課堂教師應該給學生足夠的思維空間、時間，讓學生的思維真正地動起來，而不是教師“一言堂”，讓學生被動地接受，久而久之，學生的思維僵化，思維得不到很好的訓練.因此，要使教學達到有效，數學教師在課堂上應以學生的思維訓練為重，不進行模式化教學，這樣才能達到最佳教學效果.

關鍵詞：數學思維能力；智力參與；有效教學

作者簡介：程伶俐（1971-），女，安徽人，碩士，中學一級教師，主要從事中學課堂教學研究.

經過沸沸揚揚的數學課堂改革，數學課堂中“教師教得辛苦，學生學得痛苦”現象“有所”改觀，教師與學生的角色也發生了“一些”變化.但是，數學課堂仍然存在著一種普遍現象：老師講的多，學生聽的多；老師展示的多，學生看的多；老師自問自答的多，學生隨聲附和的多；關鍵點、難點被老師直接點破的多，導致學生似懂非懂的多，這種現象產生的直接結果是：課堂上學生仿佛都能聽懂，課后自己真正會做的少.究其原因，課堂上沒有學生自己的智力參與，沒有學生自己的個人體驗，學生對學習的內容缺少自己的思考與深刻的認識.這樣的教學是低效的，甚至是無效的、負效的.

課堂上有意擠占學生的思考空間和將學生的思維“模式化、標準化”，充分利用課堂向學生灌輸更多的“知識”，這樣的方式也許會有短期效應，但久而久之會讓學生產生問題解決的依賴心理，數學思維能力、解題能力難有實質性的提高，不能真正達到對問題理解的狀態，在考試中遇到熟悉的題型還可能有一個模式化的反應，但遇到陌生的新情境問題，無“型”可套時，就難以做到隨機應變，只得“束手就擒”了.

如何實現數學課堂有效教學？關鍵是什么？筆者在此以一節習題課為例談談自己的看法.

這是一節高二的推理與證明習題課，它是在學生學完了“綜合法”、“分析法”、“反證法”之后的一節課.通過這個案例我闡明一個觀點：把課堂真真切切還給學生，是數學課堂有效教學的關鍵.

題目（選修2-2第91頁A組第4題）△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，求證：B<π2.[1]

首先我要向大家展示的是我給上屆學生上課時的教學實錄.

師：該題直接證明不好證，那我們有什么方法呢？

生：反證法.

師：那應該先假設什么呢？

生：假設B≥π2（少數學生講成了B>π2）.

師：那么能得到什么結論，推出什么矛盾？

此時課堂很安靜.我見狀就緊跟著繼續提示.

師：既然B≥π2了，說明這三個角中哪個最大呀？

生：角B.

于是我在黑板上寫上B>A，B>C.

師（接著問）：這樣能得到邊之間關系嗎？

生：b>a，b>c.

師：“我們由此進一步得出1b<1a，1b<1c，于是2b<1a+1c”.

師：這與什么產生了矛盾呀？

生（一齊答道）：已知（2b=1a+1c）.

此時，我聽到學生中發出了驚嘆：好神奇呀！

我心中暗自竊喜.

但結果讓我沒有料到的事發生了：在接下來的測試中考到這題，卻很少有人答對.我受到了打擊.

現在反思起來，覺得很正常.這是“灌輸”的典型例子，學生的思維完全由老師掌控，許多關鍵點、難點都是老師在自問自答.學生自己分析問題、解決問題的能力沒有機會得到發展，思維能力也得不到培養，學生的質疑能力也大大降低，更談不上創新能力.老師這樣的教學，導致學生只能是欣賞，而自己卻沒有實踐的機會，沒有自己的個人體驗，自己就沒有了成就感.在學生心目中就覺得你老師太能干了，我怎么就想不到呢？感慨自己的無能與愚鈍，長此以往，學生將會失去自信心和斗志.請問：這樣的教學能有效嗎？

冬去春來，新一屆學生來了，我要吸取教訓，不妨裝得“呆”一點，準備把我的“精辟分析、友好提示”放到學生的思考之后.于是，把課堂還給學生，先讓學生去唱主角，把學生推到解決問題的前沿，讓學生自己去實踐.

結果，讓我始料未及的是學生竟然搞出了多種不同解法，剛剛學過的三種證明方法（綜合法、分析法、反證法）全部閃亮登場，課堂驚喜不斷，精彩紛呈！

課堂實錄如下：

師：大家思考得怎樣，誰來談談自己的解法.

生1（數學課代表首當其沖）：我用的是綜合法.

∵a，b，c的倒數成等差數列，

∴2b=1a+1c，即b=2aca+c

∴a2+c2-b2= a2+c2-（2aca+c）2

=（a2+c2）（a+c）2+4a2c2（a+c）2

=（a2+c2）2+2ac（a2+c2）-4a2c2（a+c）2

=（a2-c2）2+2ac（a2+c2）（a+c）2>0.

即a2+c2-b2>0∴cosB=a2+c2-b22ac>0

∴B<π2 （因為B為三角形內角）.

我及時表揚了該生能用直接證明的方法解決了這個問題，我說我沒有預料到！然后和同學們一起分析該生利用轉化思想，通過余弦定理把角的大小轉化為邊的關系，以及利用已知條件消元.表揚她配方的巧妙，及不怕麻煩，敢于挑戰復雜算式的勇氣！讓她嘗到了學習數學的快樂.

同時我也為當年所講的“這題用直接證明不好證”這樣一句不負責任的話感到慚愧.

別的同學看到生1臉上滿意的笑容羨慕不已！

這時生2站了起來.

生2：我用的是分析法.

由已知得b=2aca+c

∴b2=4a2c2a2+c2+2ac=41a2+1c2+2ac.①

要證： B<π2

只需證：cosB>0（在△ABC中）

只需證：a2+c2>b2

只需證： a2+c2>41a2+1c2+2ac.（把①式代入）

只需證：1+a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>4

只需證： a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>2②

而a2c2+c2a2≥2，2ac +2ca≥4（等號成立的條件都是a=c）故②式成立.

大家驚訝不已.該生同樣用了余弦定理及消元思想，特別是用到了基本不等式.

我及時說：“你真肯動腦筋！竟然基本不等式也用上了！這一點真難想到！也幫我們復習了一下基本不等式.”

生2高興極了！

這時課堂已有些沸騰，同學們感到無比興奮.其他同學也躍躍欲試！此時，學習數學已不再是負擔，而是一種樂趣！作為教師，也完全沉浸在教學中，充分享受著工作帶給我們的快樂！

于是，我馬上趁熱打鐵，大聲說：“有誰還有更好的方法？”

這時生3突然驚喜地舉起了手（我想學生學習的熱情已不知不覺被激發出來了）.

生3：我用的方法和他們都不同，用的是反證法.

由前面2b=1a+1c，∴2b=a+cac

∴2ac=ab+bc③

假設B≥π2，則cosB≤0∴a2+c2≤b2

而a2+c2≥2ac=ab+bc（把③式代入）

∴ab+bc≤b2∴a+c≤b（因為b>0）

這與三角形三邊關系矛盾.

當生3講完過了一會兒，教室里響起熱烈掌聲，真是太神奇了！多么巧妙的等量代換呀！余弦定理、不等式的傳遞性，三角形三邊關系在此聯系，輕松而簡潔地拿下這道題！

略顯喧鬧的教室里，我突然發現一個平時有些內向的學生靦腆地舉起了手，有點膽怯地說：“我用的也是反證法，但產生的矛盾不同.”

我鼓勵他說：“那你說說看.”

生4：∵a，b，c的倒數成等差數列，

∴1a≤1b≤1c或1a≥1b≥1c

∴a≥b≥c或a≤b≤c

∴A≥B≥C或A≤B≤C

假設B≥π2，

則A≥B≥π2，或C≥B≥π2，

顯然這與三角形內角和定理矛盾.

我被他的解法也深深吸引了，還能深刻挖掘已知條件的內涵，提煉出邊角關系！真是驚人之舉！學生早已被他的方法所折服！我大大表揚了這個膽小男生！

這時班上的數學王子按捺不住了，為了捍衛他的地位，也舉起了手.

生5：2b =1a+1c，

2b=a+cac

2ac=b（a+c）≥2bac

ac≥b

ac≥b2

a2+c2-b2≥2ac-b2=ac+（ac-b2）>0

cosB>0

B<π2，（△ABC中）

巧妙的不等式用在了恰如其分之處，也算是捍衛了他的“威望”！

此時下課鈴聲響起！

我看到了學生臉上的表情：驚嘆之余，有些不舍和遺憾！

我說：若有更好的方法課后交流吧！就在我走出教室不久有人送來了我教給上屆學生的方法.

看來，我們老師要充分相信學生，教學中要多給學生一點自由思考的時間，教師不能只按照自己事先想好的思路來教學，否則就會限制學生的思維，強扭學生的思維，題目剛出來就先進行提示或分析，那樣做會扼殺學生的自主思維能力，剝奪學生的自由創造空間.在學生還沒來得及思考的時候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對他們思維能力的形成是個不小的打擊.

葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情行程.”[2]把課堂還給學生，注意傾聽他們的聲音，點燃他們思維之火，這樣的數學教學才是有效的.

羅增儒教授也告誡我們“教學有沒有效，并不是指教師有沒有教完內容、教得辛苦不辛苦，自我感覺良好不良好，而是指學生有沒有學到或學得好不好.學生有無知識進步、有無素質發展是教學有沒有效的根本指標.”[3]對此，不少教師有深刻體會，“評價一堂課是否高效，要看學生的認知水平是否得到提升，是否會學習、會思考，而不能以講的題目多少、容量的大小來評價.”[4]“教學效率不是取決于教師打算教給學生知識的多寡，而是取決于課堂教學中學生學習效率的高低.”[5]

所以，離開了學生的“自主活動”、“智力參與”、“個人體驗”就沒有真正的學習了.把課堂還給學生，引發學生積極思維，讓每位學生在數學思維的世界里自由地翱翔，向習題教學要效益，通過問題解決，促進學生對數學知識的理解，讓每位學生主動、積極地參與教學，幫助學生建立良好的認知結構，才是數學課堂有效教學的關鍵.

參考文獻：

[1]劉紹學主編普通高中課程標準實驗教科書數學（選修2-2）[M]北京：人民教育出版社，2007

[2]林婷“有效生成”——未曾預約的精彩[J]數學通報，2011，（5）

[3]羅增儒教學效能的故事，高效課堂的特征[J]中學數學教學參考，2011，（1-2）

[4]楊志文高中數學高效課堂的實踐與認識[J]中學數學教學參考，2011，（12）

[5]關文晶等品一節高效率的數學課[J]中學數學教學參考，2010，（6）