通過極值問題淺談高中物理學科核心素養的培養

戴艷明

摘要：物理學科核心素養是學生在物理課程學習過程中逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品和關鍵能力，包括物理觀念、科學思維、探究能力、科學態度等要素。極值問題由于其涉及知識面廣、知識綜合性強的特點，是高中物理教學的重難點，如何發揮物理核心概念的引領作用，關注科學思維方法的實際應用，使學生如何能更好的對原始物理問題進行抽象、簡化、分解建立模型，找到解決問題的物理概念與規律，幫助學生形成物理學科核心素養。

關鍵詞：極值問題；高中物理；核心素養

中圖分類號：G633.7文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2017）06-0240-02

所謂極值問題的求解，指的是在高中物理中，在關于某一物理量的變化過程中，不管它處于何種狀態或者何種過程，其發展都可能會受到不變的物理規律和物理條件的制約，為了更好的達到符合物理問題的實際，其取值只能確定在一定的數值范圍內，就可能為物理極值問題，極值問題一般是在物理模型的基礎上借助數學手段和方法，討論中常用的方法有：二次函數的極值法，三角函數極值法，均值不等式法等。

例1.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s 2的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動后，在追上自行車之前過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？

解析：根據題意，自行車做勻速運動，汽車做勻加速運動。汽車與自行車的位移之差是一個關于時間的二次函數，所以可以用二次函數極值公式求極值。

解：經過時間t后，自行車做勻速運動，其位移為S1=Vt

汽車做勻加速運動，其位移為：S2=1/2at2

兩車相距為：ΔS=S1-S2

這是一個關于t的二次函數，因二次項系數為負值，故ΔS有最大值。

當t=2（s）時ΔS有最大值6m。

例2.甲、乙兩地相距L=200km，汽車以速度v1=40km/h從甲地向著正西方的乙地開行，同時有一摩托車以速度v2=30km/h從乙地向著正南方開行，兩車何時相距最近？最近距離為多少？

解析：設經時間t后兩車相距為s，則由圖4可知：

s2=（L-v1t）+（v2t）2=L2-2Lv1t+v12t2+v22t2=（v12+v22）t2-2Lv1t+L2

因：v12+v22>0，根據二次函數的性質，s2有極小值。即當：

t=-b2a=2Lv12（v12+v22）=200×401600+900h=165h時，兩車相距最近，由S2min=4ac-b24a=4（v12+v22）L2-4L2v124（v12+v22）

所以：Smin=14400km=120km

評：二次函數的通式：y=ax2+bx+c，當a>0時，取x=-b2a，則y有最小值，當a<0時，取x=-b2a，則y有最大值。運用數學二次函數的極值問題求物理解，對鍛煉學生的科學思維能力和理論聯系實際能力有很大的幫助。在勻變速運動中位移與時間的關系、遵守動量守恒和動能守恒的彈性正碰問題及有關電功率的計算等問題時常會用到，此類問題同樣要注意檢驗是否出現增根。

例3.一物體質量為m，置于傾角為α的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數為μ，若要使物體沿斜面勻速向上滑動，求拉力的最小值。

解析：設拉力與斜面的夾角為θ，物體的受力分析，如圖3所示。

由物體的平衡條件可得：

Fcosθ-μ（mgcosα-Fsinθ）-mgsinα=0

即：F=（sinα+μcosα）mgcosθ+μsinθ

令1/μ=tanβ，則

cosθ+μsinθ=1+μ2sin（β+θ）≤1+ μ2

拉力的最小值：

評：三角函數知識在物理中也有廣泛的應用，如力的合成與分解，運動的合成與分解、機械振動以及電場強度、磁感應強度的矢量疊加都有所應用。此題構造了兩角和的正弦，有效地解決了極值問題的求解，方法直觀易懂。對于學生物理觀念、探究能力等核心素養的培養至關重要。

例4：在一個盛水容器的側壁上開一個小孔，試問小孔應開在離水面多高處，才能使得從小孔中噴出的水射程最遠？

解析：從小孔中噴出的水做平拋運動，設容器中水面離桌面高H，小孔離水面為h，如圖4

由機械能守恒定律易得從小孔射出的 水流初速度為：v=2gh

從小孔噴出的水在空中運動時間為：t2（H-h）g，

則有：x=vt=2gh·2（H-h）g=2h（H-h），

所以當h=H-h，即：h=H2時，水平射程x有極大值，其值為： Xmax=H

例5.在電視節目中，我們常常能看到一種精彩的水上運動——滑水板，如圖5所示，運動員快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板大水上勻速滑行，設滑板是光滑的，若運動員與滑板的總質量為m=70kg，滑板的總面積為S=0.12m2，水的密度為P=1.0×103kg/m3。理論研究表明：當滑板與水平方向的夾角為θ（板前端抬起的角度）時，水對板的作用大小為FN=PSv2sin2θ，方向垂直于板面。式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積。求：為使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度。

解析：選取滑板和運動員作為研究對象，對其受力分析，滑板和運動員共受三個力的作用，即：重力G，水對滑板的彈力FN（方向與滑板板面垂直）及繩子對運動員的拉力F。

由物體的平衡條件可得：FNcosθ-mg=0

又由題中所給的理論模型：FN=PSv2sin2θ，

可得： 由式中可知：快艇的最小速度只由θ決定。

令y=sin2θcosθ，則有：y2=12sin2θsin2θ（2cos2θ）

由基本不等式可得：y2≤12（sin2θ+sin2+2cos2θ3）3

當且僅當shi2θ=2cos2θ，即θ=arctan2=54.7°時，y有最大值：ymax=239。

快艇最小速度的表達式為：Vmin=33mg2PS

代入數據，得：Vmin3.9m/s

評：運用均值不等式求解極值問題是高中物理常用的數學方法，在物理解題過程中運用相當廣泛，有利于學生處理問題時科學嚴謹態度的培養。

總之，綜合靈活地運用多種數學方法求解物理的極值問題，是中學物理問題解決中的一個難點，在物理教學過程中可通過求解極值問題發揮物理核心概念的引領作用，關注科學思維方法的實際應用，培養學生的探究能力和嚴謹的科學態度，使學生能更好的對原始物理問題進行抽象建立模型，找到解決問題的物理概念與規律及數學方法，幫助學生形成物理學科的核心素養。