關于復變函數課程教學的幾點思考

鐘澎洪+陳靜安

摘要：復變函數是數學系課程體系中的一門重要的專業基礎課。在教學中，由于該門課的內容專業性強，且知識、定理體系較為復雜，導致了教學效果不容樂觀。結合自身的教學實踐與學生的學習反饋，給出了如何提高課堂教學效果，讓學生掌握知識，并加深對知識的理解與運用的幾點建議。

關鍵詞：復變函數；教學；比較法

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）27-0188-02

復變函數[2，3]是數學專業一門重要的基礎課，也是銜接數學分析的一門后續課程，與實變函數論可并列為分析類的一門重要課程。該課程可列為分析類的三大基礎課程之一。盡管復變函數的知識定理結構表現在許多性質、概念、定義與數學分析[1]課程有著相同之處，又與它在某些方面有著實質不同。在實際的教學過程中，教師和學生都會感到該課程具有內容多、知識定理演繹體系龐雜、思想方法技巧性強、應用廣泛等特點，這給教師的教學還有學生的學習都帶來了一些的困難。這門課的教學實踐中，學生普遍反映概念難懂，習題難做。在這樣的情形下，我們高校教師尤其是年輕的教師應該如何提高該課程的教學效果呢？筆者根據復變函數學科的知識特點及實踐中的教學體會，對于提高本課程的教學的有效性，給出以下幾個方面感悟與思考。

一、在教學中注重數學史和學科背景的滲透

復變函數的理論有著歷史淵源和應用的背景，適當地講解該學科的歷史和相關的背景知識，有利于學生對該門科了解，激發學生學習的熱情與興趣。當然，由于課時的限制，教師不可能花較多的時間去介紹這方面的知識。此時，要特別注重在講解相關知識點的時候，給予適當的學科歷史和背景的介紹，要在非刻意中，潛移默化地讓學生了解這方面的知識。

例如，在講解“C-R條件”時，可以適當地介紹該方程的發現的歷史。介紹該條件由來時，說明是柯西和黎曼研究流體力學時，對該方程做了更詳細的研究，從而命名的。該方程組的發現可追溯到歐拉，甚至是達朗貝爾。該方程最早是由法國數學家達朗貝爾在流體力學中的研究中得到的；另外，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數的積分，也導出了的這兩個方程。在講Cauchy積分公式時，讓學生們思考如何測得球體中心點電額這一問題。若能測得球體表面各點的電額，則可利用Cauchy積分公式來測得球體中心的電額；講保角映射時，可提到俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候，就用該方面的知識解決了飛機機翼的結構問題。

在復變函數的教學中，可以適當穿插數學史；另外，讓學生了解該學科在其他自然科學和各種工程領域，如理論物理、彈性理論、天體力學等方面有著廣泛的應用。使學生真正感受到課程的理論方法的歷史和應用，從而充分調動學習的主觀能動性。[4]

二、運用類比教學法幫助學生構建知識體系

在復變函數教學中，類比思維有利于在較短的時間內吸收和掌握知識，并能培養學生的數學思維能力。在課堂的教學中，要充分引導學生去找尋和發掘復變函數與數學分析中的定義、定理的異同。要使學生不但能看出顯而易見的相同，也要讓他們看出知識的異中之同或是同中之異。有了這種較有深度的認知，可以加深學生對復變函數概念、公式、定理的記憶，更能加深學生對知識的理解，培養學生獨立思維的能力。

類比教學的例子非常多，可以說復變函數的整個知識體系和數學分析是大體一致的，當然，相似之中也存在著差異。例如，講解極限定義的時候，可以給出它和數學分析中極限概念的類比。事實上，從定義的文字敘述上看，復函數和實函數極限除了個別字母表示不同之外，二者完全一樣。然而符號和形式上的一致性并不意味著其內涵也一樣。實函數在自變量為一維的情形下是有左右極限的，部分學生會想當然地認為復函數也有左右極限，這就會導致錯誤。應該引導學生將復函數與二維的實函數來作比較，學生會更清晰地了解到復函數實際等價于兩個二維的實函數這一本質的特點。最好在課堂上畫出復函數的圖像，圖像的直觀、可視化，學生會有更深的感知，了解到不能照搬以往的概念來理解復函數，從而克服自身的思維定式。

在講解一致收斂級數和函數的時候也可做類比的講解。我們可以引導學生把實數域上級數的性質列出來，這時學生會列出連續性、逐項可微性定理和逐項可積性定理。然后可以讓學生分析復數域上的級數是否也有相同的性質。最后，引導學生發現在實數域上的逐項可微的外爾斯特拉斯定理在復數域上有何不同：被求和函數只要在區域內解析且級數內閉一致收斂，復變函數便可求任意次導數；而實函數級數即使一致收斂，且各項可導，也并不能保證可逐項微分。在該過程中學生既能復習已有的知識，又能發現復級數的特性，調動了學生積極性的同時又鍛煉了類比的思維技巧。

可以使用比較教學法的知識點是非常多的，教師要善于挖掘并將此運用到教學中來。在教學中，類比的方式也是非常多的，除以上知識的橫向類比外，還可以在復變函數知識體系內做類比，例如數與形的類比，一般與特殊的類比等。好的類比可以簡化學生的思維負擔，學生在類比探究的過程中調動了積極性，學習了知識的同時也鍛煉了思維能力。

三、培養學生自主學習的能力，引導學生獨力思考、總結

復變函數的學習要加強學生的自我學習和獨立思考探究能力的培養，注重啟發與討論。教學中要強調過程，課本的各個知識點固然重要，但是不能只讓學生通過機械的記憶來掌握，要注重學習過程。由于課時較緊，可以根據教學進度，給出預習內容和布置一些思考題，這樣的處理可以使學生在學習新課之前就發現自己知識中存在的問題，從而在聽課的時候有重點有目的，達到更好的聽課效果。

學習不是一味地輸灌，要加強學生自我學習過程的體驗。在傳授知識的時候，不妨給學生一定的任務，去完成課本內容的學習，讓學生在嘗試動手中學習復變函數，加強學習的有效性。但是，考慮到有部分學生的自覺性較差，故不能將課本中的重點的、較難的知識模塊交給學生自學。課本知識的部分內容是較為容易且與以前知識有重疊的，可以交給學生自學。例如，有關復數定義及其基本性質的內容與高中的知識有重疊；復平面點集的內容與數學分析中多元函數章節中的平面點集部分非常相似；這兩部分內容可交給學生提前去預習，在講解的時候簡單羅列相關概念、性質或者不講解這些部分都可以。這樣處理比去詳細講解要節省時間，且學生不會覺得內容單調重復。

引導學生學會總結各類知識，只有學生通過自己思考糾正才能夠獲得較深的認識和記憶。經過自己動手，才能加深理解和記憶，從而真正掌握各知識點，不斷地提高學生的自主學習能力。

四、結束語

復變函數是數學專業的一門重要課程，是后續更專業性課程的基礎，學習了這門課，有利于學生在后續課程中進一步提高自身專業知識與素養。在教學中要善于比較這門課與數學分析專業課知識結構的相同之處，同時也要突出內容的特異之處，既善于比較相同，也要善于發掘不同；另外，在教學中教師需要注重學科歷史和應用背景，加強背景知識的滲透；在知識講解的同時也不要忽略引導學生獨力思考、總結知識，不要忽略學生自主學習的能力的培養，要激發學生獨立探索的欲望，從而使學生在數學知識和素養上得到提升。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]鐘玉泉.復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]李慶忠.復變函數[M].北京：科學出版社，2000.

[4]谷群輝，鄭洲順，何勇，等.本科應用數學專業復變函數課程教學方法的改革與實踐[J].數學理論與應用，2002，22（4）：23-25.

Abstract：The complex variable function is an important basic course in mathematics course system. In teaching，due to the content of the course is professional，and the knowledge，theorem system is more complex，leading to a not optimistic teaching effect. Combined with own teaching practice and students' learning feedback，this paper gives some suggestions on how to improve the effect of classroom teaching to make students master the knowledge and deepen the understanding and application of knowledge.

Key words：Complex Variable Function；teaching；comparison method