概念教學中學生“錯誤資源”的有效利用

朱衛娟

摘 要：概念教學是數學教學的重中之重，具有先導性、奠基性作用。由于學生日常生活、學習中諸種因素的影響，使得學生經常發生錯誤。學生的數學概念錯誤具有隱蔽性、自發性、膚淺性等特質。教師要善于捕捉學生的錯誤，將錯誤作為一種教學資源加以運用，讓兒童主動“識錯”“思錯”“糾錯”。

關鍵詞：概念教學；錯誤資源；有效運用

概念在小學數學教學中具有先導性、奠基性作用。數學概念是數學教學的基本單元，也是兒童展開數學思考的基本單位。在學生的數學學習中，數學概念往往難以直接下嚴格定義，而主要是通過“概念形成”的方式，即對事物外延屬性的抽象概括而聚焦概念內涵的。這就讓學生在概念理解中容易發生偏差，形成概念理解性、運用性錯誤。教學中，許多教師對學生的概念性錯誤缺乏認識，致使學生許多概念性錯誤資源悄然流失。錯誤是兒童的真實經歷，教學中教師應當主動捕捉、發現、運用甚至開發學生的錯誤，將錯誤作為不可再生的資源來看待。如此，學生的概念性錯誤將會大放異彩。

一、概念教學中“錯誤資源”的特質判斷

學生在正式的數學學習之前，通過日常生活、活動和相關學科學習等已經積累了大量“前概念”。這些前概念是學生對數學的素樸認知，其中不可避免地存在著錯誤，有時，這些錯誤甚至很頑固、很隱蔽，不容易被發現，只是到了學生解題時才會露出冰山一角。為此，教師需要呵護學生的錯誤，研究學生的錯誤，對學生的錯誤進行清醒預見和認知。

1. 隱蔽性

錯誤就如同病毒，既能讓學生感染，又能讓學生產生免疫力。從這個意義上說，錯誤是一把雙刃劍。在概念教學中，學生的錯誤往往很隱蔽，是學生無意識發生的，有時是因為學生表述不嚴謹，如“由三條線段圍成的圖形叫作三角形”，遺漏了“首尾”二字；有時是因為兒童沒有把握概念的本質內涵，如“垂直就是豎直向下”等。盡管兒童對概念的把握是不系統、片面、模糊的，但卻是鮮活的教學資源。例如對于“三角形”“扇形”等概念的錯誤理解，教師可以直觀展示圖形；對于“垂直”概念，教師可以采用變式教學。

2. 自發性

學生在概念學習中產生錯誤是自發形成的，通常借助于兒童的生活想象以及錯誤直覺而產生。例如學生對于“平均速度”的理解往往與“速度的平均數”相混淆，對于“三角形的高”往往認為一定在三角形內部，對于“平行四邊形”往往認為都不是軸對稱圖形等。這些錯誤有的是因為學生對概念的外延把握不夠全面，有的是因為學生對概念的內涵理解不夠深刻，因而在教學中往往自發地產生。而且，這些錯誤的糾正不是立竿見影的，而是需要一個過程，有時甚至會很頑固，隨著情境的不同而不斷變化、反復出現、一錯再錯。教學中，教師可以利用錯誤展開對比教學，讓學生進行辨析，突出本質內涵。

3. 膚淺性

絕大部分學生對概念的理解是膚淺的，停留于概念的表層意義甚至字面意義上，這是由于小學階段的學生思維是一種感性思維，他們容易在大腦中自由地建構概念，自發地定義概念，數學的理性判斷與邏輯推理往往顯得很薄弱。例如學生往往認為“小數就是很小的數”“小數就是零點幾的數”“互質數就是兩個數都是質數”等等。這些都是由于學生對概念理解的片面化、表面化所致。教學中教師可以運用“反證法”“舉例”等方式進行教學，將學生的錯誤放大，讓學生幡然醒悟。

德國哲學家黑格爾說，“錯誤本身乃是通向真理的一個必然的環節”。在學生的數學概念學習中，正確可能只是學生沒有遇到的海洋里的暗礁，而錯誤卻是學生的一種真實、真正的經歷。因此，教師應當樹立科學的“錯誤觀”，寬容學生的錯誤、接納學生的錯誤、跟進學生的錯誤、化解學生的錯誤。如此，錯誤不再是概念教學的絆腳石，而是教師進行概念教學的利器，是教師進行概念教學的寶貴資源。

二、概念教學中“錯誤資源”的利用策略

傳統的數學教學對于學生的概念性錯誤往往是簡單、粗暴地予以直接否認、批評。對錯誤的處理不當，往往造成了概念教學的失誤，表現為“錯誤資源”的無端流失，對此筆者深感無奈、可惜。“金無足赤，人無完人”，作為教師，應當以一顆平常之心來對待學生的錯誤，允許學生出錯，正視學生錯誤，分析學生錯誤，將學生錯誤作為“資源”巧妙運用、化解，讓學生主動思錯、析錯、糾錯，從錯誤中誕生出智慧，構筑精彩課堂。

1.善于傾聽，捕捉學生“錯誤”，引導“識錯”

著名數學教學專家鄭毓信說，“學生錯誤不可能單獨依靠正面示范和反復聯系得到糾正，而必須有一個錯誤的自我反思、否定的過程”。教學中，教師可以將學生錯誤暴露出來，引導學生集體議錯、論錯，進而讓學生“識錯”，理解概念的本質內涵。

案例1：《認識平均數》教學片斷（蘇教版小學數學教材第7冊）

在《認識平均數》的課堂上，筆者出示了這樣的題目：五一期間前五天，江蘇如皋水繪園的門票分別出售了1000張、900張、700張、1300張、1100張，先估計一下這五天所出售門票的平均張數，再想辦法驗證。

生（眾說紛紜）：1000張、950張、900張、1100張、1500張……

師：先請估成1000張的同學說一說。

生1：我采用“移多補少”的方法，將1300張中的300張移給700張，1100張中的100張移給900張，這樣相當于每天賣出的門票張數都是1000張。

生2：我認為可以先將總和算出來，然后重新平均分，也就是（1000+900+700+1300+1100）÷5=1000（張）。

師：同學們是怎么估算的呢？

生3：我認為，平均數一定在“最大數”與“最小數”之間，所以我就估算成了1100張……

師：聽了剛才同學的解釋，你（指估算成1500張的學生）理解平均數了嗎？

生4：平均數在大數和小數之間，我估到外面去了。

在概念教學中，教師承攬學生的發言，并通過傾聽，及時捕捉學生的錯誤、放大學生的錯誤。通過引導學生對話、傾聽，讓學生主動認識錯誤，從錯誤中汲取教訓，獲得對數學概念內涵的本質理解。

2. 善于誘導，寬容學生的“錯誤”，引導“思錯”

錯誤的價值不在于錯誤本身，而在于引導學生通過“錯誤”獲得新的啟迪、新的感悟。為此，教學中教師要寬容學生的錯誤，以從容的心態和機智等進行巧妙暗示，激活學生的數學思維，激發學生參與學習的熱情。如此，往往會收到意想不到的教學效果。

案例2：《認識角》教學片斷（蘇教版小學數學教材第4冊）

在學生初步認識了數學意義上的“角——一個頂點，兩條直直的邊”后，筆者讓學生舉例，于是有學生舉了三角板上的角、桌面上的直角、直尺上的角、數學書封面上的角等，但其中也出現了不和諧的音符，有同學舉了羊角、牛角等，顯然，孩子們還是將數學意義上的“角”與生活中的角給混淆了，如何讓學生深度理解數學意義上的角呢？筆者沒有直接否定，而是引導學生深入比較“數學角”和“生活角”的意義差異。

師：請再次讀一讀數學書上角的意義，請同學們思考一下角有哪兩個最重要的特征？

生1：角有一個頂點，兩條直直的邊，牛角、羊角沒有頂點和直直的邊。

生2：凳角、桌角有點圓，不尖，不是數學的角。

……

教師通過學生對數學概念的理解偏差、誤區引導學生展開數學交流、討論，孩子們似乎感悟到了“生活角”與“數學角”的差異，理解了數學角的內涵，明晰了數學角的兩重要素，即角的頂點和兩條邊。這樣的教學提升了學生的數學認識，消除了生活概念對數學概念的負面干擾。

3. 善于融化，應用學生的“錯誤”，引導“糾錯”

學生在概念學習中發生的錯誤是一種現實的、有價值的教學資源。教學中，教師要以錯誤為契機，將錯誤納入教學視野，讓學生在辨析錯誤中明理長智，進而主動糾錯，自主建構數學知識。

案例3：《平行四邊形的高》教學片斷（蘇教版小學數學教材第8冊）

這部分內容是學生在學習三角形的高的基礎上進行教學的，由于在三角形高的教學中，筆者運用了多重變式（不同形狀、不同位置、不同大小等的三角形）進行教學，因此學生對三角形的高的學習印象較為深刻。因此，在學習平行四邊形的高時，有學生發生了負遷移。

師：這兒有一個平行四邊形，說一說平行四邊形有多少條高？

生1：平行四邊形有2條高，分別是以兩條相鄰的邊作底。

生2：我認為平行四邊形有8條高，分別以四個頂點為起點，向另外的兩個相鄰對邊作高。

（顯然，學生受到了三角形高的負遷移）

師：同學們，我們已經學習了三角形的高和平行四邊形的高，比較一下，有什么相同點和不同點？

學生交流、討論。

生3：三角形的高是從頂點到對邊的垂直線段，平行四邊形的高是從一條邊上的一點到對邊的垂直線段。

生4（興奮地）：我知道了，因為三角形有3個頂點，所以三角形有三條高；因為平行四邊形一條邊上有無數個點，所以平行四邊形有無數條高。

教師展示平行四邊形的高，經過進一步討論，學生理解了平行四邊形有兩種高，分別以鄰邊作為底，且每一種高都可以畫無數條。應該說，學生對平行四邊形高的原始化理解有合理的成分，也有不正確的成分，教師在教學中不是馬上更正、否定，而是將三角形高與平行四邊形高進行比較、融合，順應學生學情，讓學生自悟自得。

數學概念教學是數學教學的重中之重。教學中，教師要樹立正確的“錯誤觀”，通過學生的錯誤，洞悉學生的認知狀態，找尋學生的錯誤根源，敏銳發現學生錯誤原因。通過積極有效的引導，學生的錯誤將成為教學中最為重要的教學資源。