淺談合情推理在初中數學教學中的應用

張宗川

【摘 要】推理能力是中學數學要求的基本能力與技能之一，而合情推理和演繹推理是推理的兩種不同形式。合情推理是根據已有的事實或一些特殊情形對結論進行觀察、分析、比較、聯想、再進行歸納、類比，再提出問題形式特殊化的猜測推理模式。對初中學生而言，數學結果對于學生而言過于形式化，因此演繹推理在初中數學的運用還不適合，于是合情推理便成推理的主要模式。本文淺談合情推理在初中數學教學中的一些應用，這樣可以提高數學教學效率，更主要的是能幫助學生提高其推理能力和解決問題的能力。

【關鍵詞】合情推理；初中數學；類比；實踐；思考；歸納

隨著初中數學知識難度的上升和數學模式的不斷深化，合情推理的運用能力也在不斷提升，初中生感性認知大于理性認知，因此合情推理也成為他們推理過程中主要運用的一種推理模式。初中數學新的知識較多，問題的形式也是千變萬化，合情推理能力若得不到有效的提升，會造成他們只會就題論題，而不會對知識有一個融會貫通。大多數中學生最怕的數學問題以應用型問題的形式出現，學生的成功率則會大大降低，從一個側面說明學生合情推理的能力并沒有跟上數學問題的發展。作為一名數學教師如何去提升學生的合情推理能力呢？筆者就從本文出發一窺究竟—淺談合情推理在初中數學教學中的應用。

1.合情推理的界定

1.1合情推理的概念

合情推理是G波利亞首先提出的，他認為個人會依據存在的事實和已經獲得的正確結論為前提（包括各種各樣的經驗和外部成果），以及個人的直覺猜測去推理未知問題的一種推理模式。這樣的推理從觀察、分析、猜測出發，依據個人的數學直覺，通過類比、聯想、歸納、提出猜想，是比較符合感性認知較強的中小學年級的學生，因此初中數學中合情推理成為常用的推理模式，合情推理中常用的思維方法有兩種：歸納推理和類比推理。新課標中指出“學生通過義務階段的數學學習，經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步演繹推理能力”。合情推理在解決問題時，常常具備對問題的猜想和結論的類比，因此對思維程度較淺的初中生來說，極易培養他們的創新意識。

1.2合情推理的意義

波利亞一再呼吁數學問題是千變萬化的，有些是解題的多變化，有些是從二維上升到三維層面的思想轉變等等，只要對學生進行有效的引導，就能不斷培養學生在數學學習過程中使用合情推理的意識。丘成桐院士曾在多個場合談起我國的中學數學教育：“現在的中學數學過于依賴做題目，而缺乏培養學生的數學興趣。做那么多重復的題目干什么？浪費學生寶貴的時間。依我看來，培養學生在數學中的興趣，對數學問題的廣泛認識，并從中能夠去猜想、創造，這才是我們需要去做的工作。”因此，筆者以為，初中數學致力于培養學生的數學思維，從已知的知識去開拓未知的知識是我們教育學生運用合情推理的意義所在！數學教學需要合情推理，就像黑暗中的一盞明燈，對合情推理的教學必需予以重視，要從多方面的角度進行多元化的嘗試。

2.合情推理的實踐

新課程的理念是著力培養學生的動手能力、創新能力，開發其在數學學習過程中主動建構、摸索知識形成的過程，因此教師努力在教學中滲透合情推理的思想、在解題教學中冠以合情推理的嘗試、在計算機輔助教學結合合情推理、在課后的數學探究中多多進行合情推理的合作，那么通過全方位、多元化的手段對學生進行合情推理模式的熏陶，這樣我們不僅僅教會學生數學的基本知識和基本技能，也提高了學生用已知知識去應對未知問題的能力，這不正是和新課程理念殊途同歸嗎？

2.1在概念教學中的運用

初中數學的函數概念是在從具體向抽象轉變的一個概念（北師大版九年級），非常的形式化，筆者是這樣嘗試合情推理的教學：

師： 我們怎么看待自變量x呢？對大家而言，x就是土豆！我們把對應法則f它看成土豆加工機，函數值y可以看成是各種土豆食品，如圖：

生：這樣，我就比較能理解什么是函數關系了，這個推理很恰當。

師：函數是中學數學最重要的概念，比如就是一個函數，請大家想想還有其他的函數嗎？

生：比如y=2x，y=x 等等。

說明：筆者前半部分采用了“情境式教學”，用新穎的“土豆加工機”給直觀、感性理解能力較強的初中生帶來了概念學習的輕松化，后半部分則采用“啟發式教學”——舉例曾經學過的函數，并啟發學生真正進入函數概念的世界，整個教學過程中輕松的以合情推理的方式，將類比推理運用的恰到好處，教學方式新穎，引入“土豆加工機”來烘托枯燥概念帶來的不足、點燃了課堂的氣氛，讓學生充滿活力、饒有興趣的面對整個中學數學中最難、最重要的概念，進而輕松破解納入自己的知識體系.筆者想，若我們教學中多份這樣的合情推理，那么盡管我們的學生在若干年之后可能記不起數學知識，但是永遠不會忘記教師教給他的那份學習的自信和輕松。

2.2在中考解題中的體現

合情推理在解題教學中有著重要的考查，如各地每年中考卷中，常常出現以合情推理為考查對象編制的中考試題，這些問題難度適中，主要是從研究考題規律的角度去尋求問題的答案，將合情推理演繹的淋漓盡致。

2013年沈陽中考，有一組等式：1 +2 +3 =3 ，2 +3 +6 =7 ，3 +4 +12 =13 ，4 +5 +20 =21 ……，請觀察它們的構成規律，用你發現的規律寫出第8個等式為_____。

以上中考題考查了學生的合情推理能力，應該來說對中等以上的學生來說難度不大，平時教學中也有所體現.這些問題的在試卷中一般屬于中檔試題，有一定的區分度，重點在于區分學生能否運用推理能力將未知情境的問題融入到已知知識中去解決，關于上述問題的答案，限于篇幅不贅述。

2.3在計算機輔助教學中的嘗試

合情推理隨著計算機輔助教學在數學教育方面的廣泛使用，也正在受到越來越重視.筆者覺得計算機輔助教學正體現出越來越強大的交互功能，在教學中（尤其是公開課），師生可以通過交互性使得學習的過程得以完美的展示，而且計算機輔助教學和合情推理的結合，使得推理教學達到了高效、簡捷，又富于變化，使得既確保教學目標的順利進行，又保證學生積極的參與度，最終帶來了興趣和成績的雙豐收。

如在計算機上用《幾何畫板》任意畫一個三角形，量出它的三個內角并計算這三個內角的和，然后通過拖動三角形的任意一個頂點來改變三角形的形狀，再量出變化后的三個內角并計算內角和.從而推理出“三角形內角和等于180度”這一結論。

通過計算機輔助教學（本例使用幾何畫板），讓學生在做中學，在交互中通過合情推理得到的知識不僅給予他們更高的準確度，而且遺忘率也較低，充分體現計算機輔助教學的高效課堂教學與傳統推理的優異結合。

2.4在合作探究中的使用

古語云：“兩耳不聞窗外事，一心只讀圣賢書?！痹谂c時俱進的新課程初中數學教學中，這句古語顯得有些落伍.在強調建構主義的今天，學生很多知識需要通過其主動建構而完成，沒有團隊合作探究，那么問題的解決顯得費時，因此新課程強調探究合作學習模式的重要性和必要性。

以平面幾何為例，它在培養學生的想象能力、邏輯推理能力上有著很重要的作用.對平面幾何某些知識點的教學需要有一定的教法。筆者多采用合情推理的教學模式，是這類知識成功教學的重要保證.教師要注重對學生進行合作指導，通過合作化、活動化來培養學生聽、想、說的能力，提高學生合情推理的能力和合作學習的態度；另一方面，通過這樣合作探究，教育學生要學會站在全面的的角度辨析、考慮問題（可以多次使用推理甚至反例推理）。

如在《全等三角形的條件》的課堂教學合作化、活動化討論模式中，讓學生探索三角形全等的條件，按照學生的不同水平進行分組、探究，20分鐘的活動時間，使最終各組發表他們的一些推理結果。

（1）A組總結了SSS的全等條件（正確）；

（2）B組總結了SAS的全等條件（正確）；

（3）C組總結了AAS的全等條件（正確）；

（4）D組總結了SSA的全等條件（錯誤）；

本次課的教學較為成功，合作探究提供了學生寬廣的平臺，活動化指導了學生不必拘泥于傳統的課堂，這樣條件下利用的合情推理往往結合了多人的智慧，有益于正確結論的快速形成，提高課堂教學的效率，而且人人參與這正是新課程實施的理念！但有些方面也需要注意：筆者觀察有的同學沒有認真去推理、分析問題，導致后來在答題時，回答的不夠全面.另外，在這類幾何問題合作化、活動化課堂教學中，合情推理使用也需要一個度，切勿讓課堂陷入只有形式的偽探討中。

3.合情推理的思考

（1）合情推理的經驗性：由合情推理的概念，我們可以知道合情推理來自于個體的已知知識范疇，那么個體的經驗就顯得極為重要， 個體經驗較多則合情推理的準確度越高，反之則較低；

（2）合情推理的自由性：合情推理是由已知推導未知的知識，因此對每個學生而言，他們的推理結果均具備不等同性，在自由度上較為開放，比較適合學生發散性思維的培養和對個性化教育的展開；

（3）合情推理的創新性：正因為有著自由性，因此學生對推理的結果也會百花齊放，在推理上會出現各種各樣創新式的結論，這也和新課程努力培養學生的創新思維的理念密切相關；

（4）合情推理的不確定性：合情推理既可以是從個別到普通的推理，也可以是從特殊到一般的推理.有時還可以是從一個普通到另一個普通的推理.所以，合情推理所產生的結果的正確與否，并不完全取決于問題的前提條件.再加上合情推理離不開學生對知識的聯想與猜想，這就說明了合情推理的條件與結論之間并無必然性的因果關系.有時即使條件是正確的，也會由于學生的原有認知結構的差異，有時還可能出現不正確的結論，因而通過合情推理而得到的結論還有待于理論和實踐的檢驗、證明。

總之，數學是培養人推理能力的最佳途徑，作為教師應要根據學科特點和學生實際，積極鼓勵學生進行推理能力的訓練，主動發展他們的數學綜合素質，把合情推理能力的培養落實到數學課堂教學的各個具體環節中，從而達到學生整體素質的全面提高，為學生的終生發展打下良好的基礎。

【參考文獻】

[1]全日制義務教育教學課程標準解決[M].北京師范大學出版社，2002

[2]G·波利亞.怎樣解題——數學教學法的新面貌[M].上海科技教育出版社，2002

[3]G·波利亞.數學與猜想[M].科學出版社，2001