淺談在方程（組）教學中培養初中生的化歸思想

林志偉

【摘 要】掌握化歸思想方法對提高學生學習數學、發展解題的能力有極大的幫助。化歸方法沒有固定的模式，在方程（組）教學中，教師必須著重培養學生化歸意識，使他們形成化歸思路，掌握化歸要點，熟練運用化歸思想方法解題。

【關鍵詞】化歸思想 ；方程（組）解題；方法；初中數學

數學思想方法是數學的靈魂。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決問題的一種方法。化歸思想貫穿于整個初中數學的課堂教學中，是方程（組）教學的一個重要部分。近年來數學中考省命題的試題中，涉及“化歸思想”的方程（組）題較常見，試題不僅考查學生的數學基礎，而且考查了學生對問題的思維深刻性。學生失分原因較多在于變形化簡能力的欠 缺，這可見教師平時在教學中對“化歸思想”重視不夠，滲透不足，導致學生的化歸思想應用能力低下。在初中階段，要改變學生以上現狀，逐步提高其在方程（組）應用化歸解題的能力，教師應從化歸的角度宏觀把握初中數學方程（組）的知識系統，結合學生的認知水平，制定出長期合理的計劃，逐步培養學生的化歸思想。

一、培養化歸意識，形成化歸思路

數學知識體系中，各知識點之間總是存在著聯系的。新知識的學習往往可以遷移到舊知識的層面去解決，但學生這個“遷移”能力不是一蹴而就的，在教學過程中，教師要不斷引導學生細心觀察和分析，學會明確問題的已知和隱含條件，并聯想到相關的概念、性質、定理、公式、法則、規律甚至相關類型題的解題方法。這使學生有意識地把未知轉化為已知，把新知識化歸為已經掌握的知識，從而找到解題的思路和方法。

例如：解方程6x+5=9x-7

引導分析：

（1）明確目標：6x+5=9x-7→x=a？

（2）化歸思路：由這是一個等式，聯想到利用等式的性質求解。

（3）分析差異：右端多一個9x，左端多一個5。

（4）運用等式的性質（舊知識）消除差異：兩邊同時減“（9x+5）”，得：-3x=-12。

讓學生按以上思路進一步解題：

（1）明確目標：-3x=-12→x=a？

（2）化歸思路：再次聯想運用等式的性質來解決。

（3）分析差異：一次項x的系數為-3，需要化系數為1。

（4）運用等式的性質（舊知識）消除差異：兩邊同時除以“-3”得x=4

以上是利用等式的性質來解一元一次方程的，待學生掌握后，教師進一步引導學生觀察和分析解題過程，歸納出解一元一次方程的步驟，注重解題步驟中的新舊知識遷移，以此滲透化歸思想，培養化歸意識。學生在一元一次方程的解題中逐步形成了化歸思路，下一階段的學習將事半功倍。

接下來方程的學習中，要善于引導學生，使其最終形成相關方程的化歸思路如下：

二、掌握化歸要點，提高化歸技能

在學生對“化歸模式”有了一定的接觸和掌握后，就到了化歸思想的攻堅突破階段。在面對稍復雜的問題時，教師要求學生一是要認識到“需要轉化”，即意識到需轉化為一個新的較容易解決的問題；二是根據問題確定“化”的方向，即“如何轉化”。按“觀察——聯想——化歸”的要點，抓住化歸的關鍵來解題。

例如：

解方程組

引導分析：觀察題目特點，找出化歸方向為“化二元為一元”，聯想到前面剛學到的“用含一個字母的式子表示另一個未知數”的知識，確定運用這個剛學的知識可以實現消元化歸。

解題過程：

（1）將方程①用含有一個未知數（比如y）的式子表示另一個未知數：。

（2）觀察到方程②有x，于是將③代入②得到：，從而得y=-2，再把y=-2代入方程③，從而得出x的值。

在方程（組）的教學中，二元一次方程組的教學是掌握化歸要點，提高化歸技能的重要環節。學生在學習二元一次方程組時，先仔細觀察、分析二元一次方程組的特點，弄清如何進行知識的“遷移”，明確化歸方向后，再展開討論如何將二元一次方程組“化二元為一元”， 從而找到解題關鍵——消元。這樣一步一步地按“觀察——聯想——化歸”的要點來解題，實踐證明，大部分學生都能掌握方程（組）的化歸要點，化歸技能得到提高。因而也能比較容易總結出解三元一次方程組的一般思路：

。

三、加強探索應用，活用化歸思維

化歸思想在數學中運用十分廣泛，但很多時候，學生需要抓住“觀察——聯想——化歸”的要點，反復尋找新舊知識的切入點，來理清解題思路的。所以教師在化歸思想的應用上，應引導學生多角度自主探索并加強運用，從而達到活學活用的目的。

例如：已知關于m、n的方程組

的解相同，求p、q的值。

先讓學生嘗試解題，再引導探索不同的解題方案：把p、q當作已知數，分別求出每個方程組的（含有p、q的代數式的）解，利用兩個方程組的解相同，最后可以求出p、q的值，但這樣解題運算較為繁雜。我們換一個角度思考，分析條件可知兩個方程組的解相同，那么這個解一定也是不含字母p、q的兩個方程的解。因此，可以考慮把方程組重新組合，先由關于m、n的方程組求出m、n的值，再將m、n的值代入關于未知數p、q的方程組求p、q的值：

解方程組

把代入方程組，得方程組 解這個方程組得

這種解題策略就是把解字母系數方程組的問題，化歸為已知方程組的解，求字母系數的值，大大簡化了運算。又如：已知a4+b4+2a2b2-2a2-2b2-15=0，求代數式a2+b2的值。學生剛接觸此類題時，往往束手無策，望而止步。這時教師應點撥學生認真分析條件的特點，反復嘗試將該方程轉化為已學過的方程類型去解題。

解題策略：運用因式分解將條件變形為（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0。把（a2+b2）視為一個整體，設a2+b2=x，原方程就轉化成了一元二次方程x2-2x-15=0，求出x即為代數式a2+b2的值。本題的解題技巧在：將條件的等式進行等價化歸和變形后，再利用“整體換元”的方法將問題“轉化”成為一元二次方程，從而問題得到解決。學生在教師的激勵和引導下開展探究并解決問題，其思維能力的提高比灌輸的效果要好得多。所以，指導學生積極探索化歸方法的應用，活學活用化歸思維，也是培養學生化歸思想的重要一環。

由此可見，化歸思想是解方程（組）的基本思想，在方程（組）教學中地位不可小覷。教師在方程（組）教學中注重培養學生的化歸思想，不僅能提高學生解方程（組）的能力，也能提高應用化歸思想解決其他數學問題的能力，更能教會學生以動態的視角去學習知識，達到了強化學生解決數學問題的應變能力，提高思維能力和技能、技巧的最終目的。

參考文獻：

[1]孫厚康.初中數學思想方法導引[A].浙江大學出版社，2015.6

[2]施琴.淺析化歸思想形成的階段性[D].數學教師雜志編輯部，1995（2）.27-29