淺談在方程（組）教學(xué)中培養(yǎng)初中生的化歸思想

林志偉

【摘 要】掌握化歸思想方法對提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、發(fā)展解題的能力有極大的幫助。化歸方法沒有固定的模式，在方程（組）教學(xué)中，教師必須著重培養(yǎng)學(xué)生化歸意識，使他們形成化歸思路，掌握化歸要點，熟練運用化歸思想方法解題。

【關(guān)鍵詞】化歸思想 ；方程（組）解題；方法；初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的一種方法。化歸思想貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，是方程（組）教學(xué)的一個重要部分。近年來數(shù)學(xué)中考省命題的試題中，涉及“化歸思想”的方程（組）題較常見，試題不僅考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且考查了學(xué)生對問題的思維深刻性。學(xué)生失分原因較多在于變形化簡能力的欠 缺，這可見教師平時在教學(xué)中對“化歸思想”重視不夠，滲透不足，導(dǎo)致學(xué)生的化歸思想應(yīng)用能力低下。在初中階段，要改變學(xué)生以上現(xiàn)狀，逐步提高其在方程（組）應(yīng)用化歸解題的能力，教師應(yīng)從化歸的角度宏觀把握初中數(shù)學(xué)方程（組）的知識系統(tǒng)，結(jié)合學(xué)生的認知水平，制定出長期合理的計劃，逐步培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想。

一、培養(yǎng)化歸意識，形成化歸思路

數(shù)學(xué)知識體系中，各知識點之間總是存在著聯(lián)系的。新知識的學(xué)習(xí)往往可以遷移到舊知識的層面去解決，但學(xué)生這個“遷移”能力不是一蹴而就的，在教學(xué)過程中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生細心觀察和分析，學(xué)會明確問題的已知和隱含條件，并聯(lián)想到相關(guān)的概念、性質(zhì)、定理、公式、法則、規(guī)律甚至相關(guān)類型題的解題方法。這使學(xué)生有意識地把未知轉(zhuǎn)化為已知，把新知識化歸為已經(jīng)掌握的知識，從而找到解題的思路和方法。

例如：解方程6x+5=9x-7

引導(dǎo)分析：

（1）明確目標：6x+5=9x-7→x=a？

（2）化歸思路：由這是一個等式，聯(lián)想到利用等式的性質(zhì)求解。

（3）分析差異：右端多一個9x，左端多一個5。

（4）運用等式的性質(zhì)（舊知識）消除差異：兩邊同時減“（9x+5）”，得：-3x=-12。

讓學(xué)生按以上思路進一步解題：

（1）明確目標：-3x=-12→x=a？

（2）化歸思路：再次聯(lián)想運用等式的性質(zhì)來解決。

（3）分析差異：一次項x的系數(shù)為-3，需要化系數(shù)為1。

（4）運用等式的性質(zhì)（舊知識）消除差異：兩邊同時除以“-3”得x=4

以上是利用等式的性質(zhì)來解一元一次方程的，待學(xué)生掌握后，教師進一步引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析解題過程，歸納出解一元一次方程的步驟，注重解題步驟中的新舊知識遷移，以此滲透化歸思想，培養(yǎng)化歸意識。學(xué)生在一元一次方程的解題中逐步形成了化歸思路，下一階段的學(xué)習(xí)將事半功倍。

接下來方程的學(xué)習(xí)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生，使其最終形成相關(guān)方程的化歸思路如下：

二、掌握化歸要點，提高化歸技能

在學(xué)生對“化歸模式”有了一定的接觸和掌握后，就到了化歸思想的攻堅突破階段。在面對稍復(fù)雜的問題時，教師要求學(xué)生一是要認識到“需要轉(zhuǎn)化”，即意識到需轉(zhuǎn)化為一個新的較容易解決的問題；二是根據(jù)問題確定“化”的方向，即“如何轉(zhuǎn)化”。按“觀察——聯(lián)想——化歸”的要點，抓住化歸的關(guān)鍵來解題。

例如：

解方程組

引導(dǎo)分析：觀察題目特點，找出化歸方向為“化二元為一元”，聯(lián)想到前面剛學(xué)到的“用含一個字母的式子表示另一個未知數(shù)”的知識，確定運用這個剛學(xué)的知識可以實現(xiàn)消元化歸。

解題過程：

（1）將方程①用含有一個未知數(shù)（比如y）的式子表示另一個未知數(shù)：。

（2）觀察到方程②有x，于是將③代入②得到：，從而得y=-2，再把y=-2代入方程③，從而得出x的值。

在方程（組）的教學(xué)中，二元一次方程組的教學(xué)是掌握化歸要點，提高化歸技能的重要環(huán)節(jié)。學(xué)生在學(xué)習(xí)二元一次方程組時，先仔細觀察、分析二元一次方程組的特點，弄清如何進行知識的“遷移”，明確化歸方向后，再展開討論如何將二元一次方程組“化二元為一元”， 從而找到解題關(guān)鍵——消元。這樣一步一步地按“觀察——聯(lián)想——化歸”的要點來解題，實踐證明，大部分學(xué)生都能掌握方程（組）的化歸要點，化歸技能得到提高。因而也能比較容易總結(jié)出解三元一次方程組的一般思路：

。

三、加強探索應(yīng)用，活用化歸思維

化歸思想在數(shù)學(xué)中運用十分廣泛，但很多時候，學(xué)生需要抓住“觀察——聯(lián)想——化歸”的要點，反復(fù)尋找新舊知識的切入點，來理清解題思路的。所以教師在化歸思想的應(yīng)用上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多角度自主探索并加強運用，從而達到活學(xué)活用的目的。

例如：已知關(guān)于m、n的方程組

的解相同，求p、q的值。

先讓學(xué)生嘗試解題，再引導(dǎo)探索不同的解題方案：把p、q當作已知數(shù)，分別求出每個方程組的（含有p、q的代數(shù)式的）解，利用兩個方程組的解相同，最后可以求出p、q的值，但這樣解題運算較為繁雜。我們換一個角度思考，分析條件可知兩個方程組的解相同，那么這個解一定也是不含字母p、q的兩個方程的解。因此，可以考慮把方程組重新組合，先由關(guān)于m、n的方程組求出m、n的值，再將m、n的值代入關(guān)于未知數(shù)p、q的方程組求p、q的值：

解方程組

把代入方程組，得方程組 解這個方程組得

這種解題策略就是把解字母系數(shù)方程組的問題，化歸為已知方程組的解，求字母系數(shù)的值，大大簡化了運算。又如：已知a4+b4+2a2b2-2a2-2b2-15=0，求代數(shù)式a2+b2的值。學(xué)生剛接觸此類題時，往往束手無策，望而止步。這時教師應(yīng)點撥學(xué)生認真分析條件的特點，反復(fù)嘗試將該方程轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的方程類型去解題。

解題策略：運用因式分解將條件變形為（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0。把（a2+b2）視為一個整體，設(shè)a2+b2=x，原方程就轉(zhuǎn)化成了一元二次方程x2-2x-15=0，求出x即為代數(shù)式a2+b2的值。本題的解題技巧在：將條件的等式進行等價化歸和變形后，再利用“整體換元”的方法將問題“轉(zhuǎn)化”成為一元二次方程，從而問題得到解決。學(xué)生在教師的激勵和引導(dǎo)下開展探究并解決問題，其思維能力的提高比灌輸?shù)男Ч玫枚唷Ｋ裕笇?dǎo)學(xué)生積極探索化歸方法的應(yīng)用，活學(xué)活用化歸思維，也是培養(yǎng)學(xué)生化歸思想的重要一環(huán)。

由此可見，化歸思想是解方程（組）的基本思想，在方程（組）教學(xué)中地位不可小覷。教師在方程（組）教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，不僅能提高學(xué)生解方程（組）的能力，也能提高應(yīng)用化歸思想解決其他數(shù)學(xué)問題的能力，更能教會學(xué)生以動態(tài)的視角去學(xué)習(xí)知識，達到了強化學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧的最終目的。

參考文獻：

[1]孫厚康.初中數(shù)學(xué)思想方法導(dǎo)引[A].浙江大學(xué)出版社，2015.6

[2]施琴.淺析化歸思想形成的階段性[D].數(shù)學(xué)教師雜志編輯部，1995（2）.27-29