例談小學數學教育的三個“不等式”

張世明

摘要：學生在學習中常常出現“不懂”“不會”“不通”的情況，教師往往將責任歸咎于學生一方，恰恰忽視了三個教育不等式，即 “講”不等于“懂”、“懂”不等于“會”、“會”不等于“通”。教學中如果關注這三個不等式，反思教育的過程，采取有效的策略，提升學生的數學思維能力，我們就會對學生多一份理解，對自己多一份教學的清醒。

關鍵詞：小學數學；講授；理解；融通

中圖分類號：G622.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）07B-0097-04

我們時常聽到老師這樣抱怨學生：“這道題老師都講過好幾遍了，你怎么還是不懂？”“剛才你不是舉手表示聽懂了嗎，怎么現在又不會了？”“你做題怎么不知道變通？”我們常常把學生“不懂”“不會”“不通”的原因都一味地歸咎于學生一方。其實，在這一過程中，我們忽視了幾個教育的不等式，是更為重要的原因。

一、“講”不等于“懂”

有些教師會認為：我講了，學生就會懂。但實踐告訴我們，很多時候并非如此。教師講了，并不能保證學生一定就能懂，因為由講到懂，應當以學生深度參與為橋梁。如果在教師講的過程中，學生的思想游離于教師所講內容之外，這時教師的講就變成了一廂情愿；或者當學生處于被動學習的狀態時，學生只是看起來像在聽，其思維并未能進入深層次的學習；或者明明對其中有不理解的地方，卻不善于問，或礙于面子不敢問，這樣就給后續的學習或做題埋下了隱患。

比如，一次作業中有這樣一道題：“35分鐘=____時”，我以為這類題不應該再出現問題，因為做題方法我已經向學生講過多遍，可還是有好幾個學生做錯了。講評時，我想了解一下到底在哪個環節出了問題，便請其中一位做錯的學生說說自己的思路過程，幫他分析一下產生錯誤的原因，形成正確的認知。

師：這道題你做錯了，能說說做錯的原因嗎？

生1：我不知道要用“35÷60”。

師：那你現在知道為什么用“35÷60”嗎？

生1：還是不知道。

師：誰來幫忙解釋一下？

生2：因為“時”和“分”之間的進率是60，“35分鐘=____時”是把小單位的名數改寫成大單位的名數，要除以進率60。

師：你現在聽懂了嗎？

（生l還是似懂非懂的樣子。生2已經把解題方法講這么清楚了，但生1為什么還是不懂呢？）

師：好，我們先來看看這道題中的兩個單位，它們分別是什么？

生1：分和時。

師：分和時之間的進率是多少？

生1：60。

師：這題是把小單位的名數改寫成大單位的名數，還是把大單位的名數改寫成小單位的名數？

生1：把小單位的名數改寫成大單位的名數。

師：把小單位改寫成大單位，方法就是：用35除以進率60，現在明白了嗎？

（從表情上看，生l似乎還不太理解。這時有學生舉手想發言。）

生3：老師，我雖然知道小單位改寫成大單位要除以進率，但不知道為什么要“除以”進率。

生1點頭，頗有同感的樣子。

為什么我自以為講得很清楚了，學生卻還是不懂呢？仔細想想，這里忽視了一個問題，那就是師生之間客觀存在的差距。要知道，教師學科知識、思維經驗一般都優于學生，思維往往具有很大的跳躍性。以“35分鐘=____時”這題為例，學生要想清晰地理解并熟練解決這個問題，一般要對三個問題進行思考：（1）分與時之間的進率是多少；（2）分與時這兩個單位的大小比較；（3）求“35分鐘=____時”，就是看35分中有多少個60分鐘。老師對這幾個問題中的前兩個問題要進行思考，對第三個問題，基本是一種直覺性的思維，在無意識間就可以迅速求解。而這個問題恰恰是卡住學生思維的“結點”。教學時，如果我們對這個“結點”關注不夠，只是把解題的思路過程簡化為兩個程序傳授給學生：一是牢記進率，二是小單位改成大單位要除以進率，學生便不能真正理解“小單位改寫大單位要除以進率”這樣一個原理。倘若學生在不理解的情況下，又沒有主動詢問老師，這就會使解題變成執行程序，機械套用。由于缺少對原理的理解，一旦當他們對該思路過程記錯或忘記時，只能靠“猜測”來解題，難免會出現錯誤。

教學中，學生做錯了題，我們不能因為自己把該講的知識都講了，好像方法也教給學生了，就責怪學生，而要注意觀察學生有沒有深度參與，多與學生進行心靈的溝通，善于“蹲下來”，多聽聽他們的聲音，聽他們講學習中的疑點、盲點，同時還要善于突破自己“教”的思維定勢，多從自身“教”這方面細細查找原因，或許就能找到問題的癥結。

二、“懂”不等于“會”

我們在新授完某一知識以后，有時習慣性地問學生：“今天老師講的內容大家都聽懂了嗎？”如果學生齊刷刷地回答：“懂了”，教師似乎就有一種心理上的自我安慰。然而到了學生獨立運用有關知識進行解題時，只要將題目背景一變，有的學生還是不會做。這到底是什么原因？其實，我們常常有一個誤判，他們所說的“懂”只是淺層次的，“懂”和“會”之間還是有一定距離的，我們不能滿足于學生所說的“懂了”，而要重點考察學生有沒有真正掌握數學的思想方法。

比如，一位老師教學蘇教版六年級上冊《解決問題策略——替換》，書中的例題是：“小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好都倒滿。已知小杯容量是大杯的三分之一，小杯和大杯的容量各是多少毫升？”教學中，這位老師根據教材中的情境圖，制作了多媒體課件進行演示，通過直觀演示，學生似乎都明白了。例題講完之后，老師進行了追問：“對今天講的用‘替換這一知識來解決問題，大家聽懂了嗎？”學生沒有提出問題。在接下來的知識運用環節，教師出示了這樣一道平行練習題：“3輛大貨車和4輛小貨車共運貨30噸，已知大貨車的載重量是小貨車的2倍。這兩種貨車的載重量各是多少噸？”這時我發現身旁的一名學生嘴咬筆端，遲遲不動筆。我悄悄地問他：“你怎么不做？”他回答說：“不會做。”我接著問：“這道題的解題思路與例題差不多，剛剛老師講完例題之后問大家聽懂了沒有，我發現你是舉手的，現在為什么又不會做了呢？”他說：“老師講例題時是有圖的，我好像是聽懂了，可這道題沒有圖，我就不知道怎么做了。”在作業反饋環節，教師請做對的學生舉手，結果全班有近四分之一的學生沒有舉手，引起了我的反思。這節課教師在教授例題時，采用了直觀教學，對所要講的知識似乎也講了，之后，教師問了全班學生：“大家聽懂了嗎？”學生也齊聲回答：“聽懂了！”但為什么到了鞏固練習時還有那么多的學生不會做題呢？

回顧講授例題的過程，教師和學生都過度關注直觀演示，學生的認知只是停留在感性的“生活化認知”的層面，整個教學過程是奔著找到一種解決問題方法的單一目標而去的。例題講完之后，教師只是簡單地問學生：“聽懂了嗎？還有什么問題？”并沒有讓學生通過回顧對方法、策略、思想的形成過程進行再認和梳理，因而學生的認知并沒能發展為“數學化認知”。其實，方法、策略、思想這三者有著遞進的關系，數學方法上升到一定高度便形成策略，數學策略通過進一步凝練則形成數學思想。就上述這一例題來講，將兩種不同的杯子轉換成同一種杯子來求解，是其解題方法。利用不同背景的相關題目，讓學生在觀察比較中發現這類題蘊含著相同的解題思路，即都是“提出替換—進行轉化—獲得解題思路”這一解題策略。但這里僅僅讓學生掌握解題的方法和策略還不夠，更需要在此基礎上幫助學生形成數學思想。就本例題而言，根據“小杯容量是大杯的三分之一”，既可將“6個小杯”替換成“2個大杯”，又可將“1個大杯”替換成“3個小杯”，滲透“對應”的思想；將兩種不同的杯子替換成同樣的杯子，杯子數量變了，但“720毫升果汁”不變，體現了“變與不變”的思想。這類題有一種帶有“模型”意義的思路過程：第一步，確定替換掉哪一種量；第二步，尋找替換的依據；第三步，思考如何替換；第四步，替換之后相等于多少個什么樣的杯子來裝720毫升果汁，進而求出該杯的容量。這些，都滲透了“有序思維”及簡單的“建模”思想。

由此看來，具體的解題過程與指導并不是數學教學的核心，而發掘和提煉數學學習內容的核心知識，從數學思想方法的層面引導學生展開數學分析和思考，學生才能真正學得扎實，認清形式背后的本質內涵及其變化規律，從整體上深刻地理解數學，充分體驗、領悟思想方法和解題策略的普遍意義，從而以不變應萬變，提高他們的解題效率和應用能力。教學中如果我們長期地關注數學思想方法的沉積和凝練，便能使學生逐步養成善于反思和總結的習慣，促進他們主動地從數學思想方法的高度去把握數學知識的本質。

三、“會”不等于“通”

在講完一個例題之后，當我們出一些同類的題讓學生練習時，發現學生一般都會做，但只要將題目稍加變化，不少學生就難以應對。因為就某一知識而言，學生僅僅是停留在“會”的層面，而沒有達到“通”的境界。如果我們以“會”為“通”，就降低了認知與思維的等級。其實，由“會”到“通”，當以學生獨立地思悟作為橋梁。教學有三重境界，教之以“知”，教之以“法”，悟之以“智”。教之以“知”如授人以“魚”，教之以“法”如授人以“漁”，而最高境界乃是學生悟之得“智”，真正變得聰慧起來。這就提醒我們，教學中要懂得給學生以適當的時間和空間去感悟。

比如，蘇教版五年級下冊“圓的周長和面積”的教學。如果省去教師直觀演示和讓學生操作、觀察的過程，直接告知學生圓面積公式及計算方法，相信學生在已知半徑、直徑、周長的情況下也能求出圓的面積。但是，圓面積公式是前人經過高度的提煉加工然后用簡約化和抽象化的符號表達出來的，如果將這一符號化的結果知識直接告知學生，學生就缺少了知識形成過程的真實經驗和體驗。在實際教學中，我先采用課件直觀演示，將圓剪拼成一個近似的長方形，讓學生觀察得知：長方形的面積與圓的面積相等，長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑。之后又讓學生模仿老師的演示，用學具進行了操作。最后推導出圓面積公式。這樣的教學，學生不僅會求圓面積，也知道了圓面積公式的來龍去脈。

但問題還是出現了。這部分內容結束后，到了復習階段，我給學生出了如下幾道題：

（1）如圖1，長方形周長比圓周長長20厘米，求圓面積。

解這道題需要學生清楚地知道將一個圓切拼成近似的長方形后周長所產生的變化。

（2）如圖2，已知圓周長40厘米，如果圓的面積和長方形面積相等，計算陰影部分的周長。

這道題需由“圓面積和長方形面積相等”這一條件，推知長方形兩條長之和即為圓的周長，從而求出解。

（3）如圖3，長方形和圓面積相等，圓的半徑等于長方形的寬，已知陰影面積是120平方厘米。求圓面積。

這道題需由“長方形和圓面積相等，圓的半徑等于長方形的寬”推知陰影部分的面積即為圓面積的四分之三，進而求解。

（4）如圖4，陰影部分是一個長6.28厘米的長方形，它的面積與圓面積相等。求圓面積。

這道題需由“長方形的面積與圓面積相等”推知長方形的長即圓周長的一半，進而求解。

經統計，這幾道題一開始全班只有極少數學生能夠解答。我暗自怪罪學生，當初明明對圓轉化成長方形進行了演示，學生自己也動手進行了操作，可到了這里怎么就不知道變通？再轉念一想，自己的“教”有沒有不足的地方呢？反思教學環節，在講授圓面積這一知識時，教師直觀演示的目的很大程度上是直奔圓面積公式的推導的，教學過程是依照教材來展開的。就學生的“學”而言，其操作則完全模仿了老師的演示，只是被動、機械地完成規定程序，其認知停留在表象上，并沒有在觀察、比較和推理的過程中去理解圓與拼合的長方形之間的關系，因而沒能真正形成數學的思維。就教師的“教”而言，只是停留在對教材本身所傳達的文字信息上，沒有做適度的延伸和拓展，沒能很好地促成學生實現認知的深化和發展，這些正是造成學生不能將知識內化并遷移運用的重要原因。鑒于此，在圓面積公式得出之后，可以再做一些回顧與拓展，請同學們仔細觀察剛才的剪拼圖，思考：（1）如果告訴你長方形與圓面積相等，圓半徑等于長方形的寬，你能推知出什么？（2）如果告訴你長方形的長，你能推知出什么？（3）由圓變成長方形，什么產生了變化？有怎樣的變化？

通過這些逆向性和延伸性的追問，加深了學生對知識的記憶和理解，今后他們在遇到上述這類拓展性題目時，就會通過聯想，讓相關知識復活起來，去辨認問題的特征，將之納入相應的知識系統中去，進一步找到解決問題的途徑與方法。

對于教學中學生出現的“不懂”“不會”“不通”，我們除了要從學生的學習基礎、學習心理、學習能力、學習方法、學習習慣等方面進行分析之外，更多的還是要善于從我們自身“教”的角度去反思。比如，我們在教學理念、教學行為等方面有哪些不足？卡住學生思維的結點在哪里，又如何進行改進等等，這樣，我們就會對學生多一份理解，對自己多一份教學的清醒。

責任編輯：宣麗華