二次函數解析式的求法

江西省南城縣沙洲中學 萬 琳

二次函數解析式的求法

江西省南城縣沙洲中學 萬 琳

函數是建立數學模型的基礎，如果要解決實際生活中的數學相關問題，就要建立數學模型，讓學生可以利用函數結合身邊的生活實際中出現的或者類似的一些數學問題來分析它，然后想辦法解決。

函數包括一次函數、反比例函數、二次函數等等。函數是初中數學的重要內容，是不可缺少的一部分，比較抽象。許多學生學起來感到很辛苦，覺得里面的內容很難理解，很難把握。尤其是二次函數的綜合運用，學生往往是無從下手，很無助，很無奈，有時看到題目毫無辦法，只能干瞪眼。

二次函數是中考的熱點和考查的重點，可以考查學生的綜合能力，這是學生最怕、最頭疼的地方。從近幾年中考的情況來看，二次函數的得分情況不容樂觀。

作為從事教學工作的一線教師，我們就應該認真負責，檢討自己不足的地方、做得還不夠好的地方。我們應該在教學中小心謹慎，從細微之處入手，因為細節決定成敗。我準備通過具體的例子讓學生認識二次函數，探索研究二次函數解析式的求法。

在初中學習過程中，二次函數的求法形式多樣，方法不一。如何根據題意，找到一種最簡單而有效的方法，是學生在學習中遇到的問題。下面通過舉例結合習題來研究探索。

例1 已知二次函數y=ax2+bx+c圖象的頂點為（2，3），且拋物線經過點（3，1），那么這條拋物線的解析式是？

解：由圖象頂點為（2,3）設函數解析式為y=a（x-2）2+3，

又拋物線經過點（3，1），∴1=a（3-2）2+3，∴a= -2，

∴解析式為y= -2（x-2）2+3，即y=-2x2+8x-5。

例2 已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標是2和-4，頂點的縱坐標是3，求此二次函數的解析式。

分析：此題為二次函數求解析式中常見的類型，解法較多。

解法一：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據題意，可得：

解法二：設拋物線的解析式為y=a（x-m）2+3，根據題意，得：

解法四：設二次函數解析式為y=ax2+bx+c。

解法五：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意可知，2和-4是方程ax2+bx+c=0的兩個根，∴y=ax2+bx+c=a（x-2）（x+4），

解法六：可以應用拋物線的對稱性求出頂點坐標，然后再用頂點式來求二次函數的解析式，更為簡單。

根據題意可知，拋物線與x軸相交于A（2，0）、B（-4，0）兩點，由拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸為x=-1，則二次函數的頂點是（-1，3），

結論：通過以上六種解法我們可以分析比較，得出判斷：解法三和解法四利用了拋物線的對稱性，解法更簡便，解法五和解法六把二次函數與一元二次方程的知識結合起來，解法很有新意，讓人眼前一亮。

已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標和頂點坐標，或者已知拋物線與x軸的兩個交點坐標和頂點的縱坐標，或已知拋物線的對稱軸與x軸兩交點的距離和另一坐標，或已知拋物線的對稱軸與x軸的一個交點和另一點坐標，應該采取交點式或頂點式求解，同時必須充分利用拋物線的對稱軸。

例3 已知拋物線經過點A（1，0）、B（0,-3），且對稱軸是直線x=2，求此拋物線的解析式。

分析：此題也是一種常見的求二次函數解析式的題型，方法有多種，我們可以分三種方法加以討論。

解法一：根據題意，設函數解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），列出方程組，求出a，b，c，從而求出其解析式，這是常用方法：

∴二次函數解析式為y= -x2+4x-3。

解法二：可設所求函數為y=a（x-2）2+n（a≠0），由已知條件可列出關于a、n的方程組，求出a、n，從而求出二次函數的解析式。

∴y=-（x-2）2+1，即 y=-x2+4x-3。

解法三：根據題意，可以求出點A（1，0）關于直線x=2的對稱點的坐標是（3，0），然后用交點式y=a（x-x1）（x-x2）求其解析式：設y=a（x-1）（x-3），將B（0，-3）代入得：

-3=a（0-1）（0-3），3a=-3，a=-1，

∴y= -（x-1）（x-3），即y= -x2+4x-3。

例4 已知拋物線的對稱軸是x=-1，它與x軸的兩個交點間的距離是4，與y軸的交點是（0，-3），求此二次函數的解析式。

分析：此題是求二次函數解析式中較常見的題目，要讓學生去討論比較。

解法一：根據題意和拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-3，0），因為拋物線與y軸的交點是（0，-3），所以可設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，可得：

∴二次函數的解析式為y=x2+2x-3。

解法二：根據已知條件和拋物線的對稱性可知，拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（-3，0），所以可設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+3），即y=ax2+2ax-3a，

∵拋物線與y軸交于點（0，-3），∴-3a=-3，∴a=1，

∴二次函數的解析式為y=x2+2x-3。

通過以上幾個例子，我想學生就不會感到二次函數解析式的求法有什么難的。激發他們的學習興趣，提高學生的學習能力。