淺談導數及其應用

陳晨

【摘 要】導數的概念及其運算是高考的必考內容，導數的運算一般不單獨考查，而是滲透在其他題目中，導數的幾何意義往往與解析幾何結合考查；導數的應用主要考查用導數研究函數的單調性、極值、最值、實際問題中的優化問題等，往往與函數、不等式、三角函數、數列、解析幾何等相關知識綜合考查，涉及的思想主要有：函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想等。

【關鍵詞】導數的運算；導數的幾何意義；導數的應用及思想方法

一、考綱解讀

在導數的概念及其運算中能夠了解導數概念的實際背景，理解導數的幾何意義，會求過曲線上某點的切線的斜率與切線方程，能將平行或垂直直線間的關系轉化為導數關系；熟記常見基本初等函數的導數公式并結合導數的運算法則求簡單函數的導數，會求簡單復合函數（僅限于形如f（ax+b）的復合函數）的導數；利用導數的幾何意義求曲線的切線斜率是高考熱點。

導數的應用中能夠了解函數單調性與導數的關系，會利用導數研究函數的單調性，掌握求函數單調區間的方法；了解函數在某點取得極值的必要條件與充分條件，掌握求函數極值與最值的方法，會利用導數求函數極值與最值及解決利潤最大、用料最省、效率最高等實際生產、生活中的優化問題；利用導數求函數極值與最值、結合單調性與最值求參數范圍、證明不等式是高考熱點（其中多項式函數一般不超過三次）。

二、解題方法與技巧

1.導數的運算

熟記基本初等函數的導數公式及四則運算法則，掌握導數運算的原則即：先化簡求解析式，再求導。掌握導數的運算方法：①連乘形式：先展開化為多項式的形式，再求導；②分式形式：觀察多項式的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；③對數形式：先化為和、差的形式，再求導；④根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；⑤三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導；⑥復合函數：由外向內，層層求導。

2.導數幾何意義的應用

本題主要考查導數的運算以及導數的應用，函數的單調性，函數的零點等知識，意在考查學生的運算求解能力，分析問題與解決問題的能力。

導數的題綜合性較強，求解導數有關題的前提是掌握導數的基本知識：導數的計算、導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性及極值和最值等，學會綜合應用函數與方程思想、分類討論思想、數形結合思想以及化歸與轉化思想，靈活運用其它知識解決問題。endprint