從幾何直觀到邏輯推理
——例談數學核心素養的培養

☉華中師范大學數學與統計學學院 沈曉凱

☉華中師范大學數學與統計學學院 胡典順

從幾何直觀到邏輯推理
——例談數學核心素養的培養

☉華中師范大學數學與統計學學院 沈曉凱

☉華中師范大學數學與統計學學院 胡典順

一、引言

“注重培養學生的幾何直觀”是進入新世紀以來數學教育的熱點話題之一，《普通高中數學課程標準（實驗）》［1］明確提出：培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力以及幾何直觀能力，是高中階段數學必修系列課程的基本要求.數學是一門可以通過直覺學習和理解的學科，在數學的教學和學習中，培養學生的觀察能力和幾何直觀能力十分重要.數學是思維的體操，數學新知獲取的過程可以概括為八個字：大膽猜測，小心論證.大膽猜測即是從幾何直觀上猜測對象與對象之間的關系，小心論證則是對猜測的結果進行嚴格的邏輯推理，這是數學思維方式的特點.那么如何在平時的教學過程中落實和培養學生的幾何直觀與邏輯推理能力，這是作為數學教師必須思考的一個問題.本文以2017年武漢市“高三數學四月調考”中的一個圓錐曲線題目為例，闡述教師在講解題目的過程中應該如何引導學生對問題進行探究，激發學生的探索興趣，從而培養學生的幾何直觀和邏輯推理能力，提高學生的數學核心素養，提升學生的創新能力.

二、問題展示

已知圓O：x2+y2=1和拋物線E：y=x2-2，O為坐標原點.過拋物線E上一點P（x0，y0）作兩直線PQ、PR與圓O相切，且分別交拋物線E于Q、R兩點，若直線QR的斜率為求點P的坐標.

這是筆者在某重點高中講課時遇到的一個調研考試題目，下面簡要敘述師生共同對該問題探究的過程.

師：這個題目突破了圓錐曲線一直以來分為兩小問，第一問求軌跡方程，第二問求最值、定點、定值或線段長度等這一類型，而是將其分成兩個不相關的小題，這是其中的第二小題，下面我們一起來分析和探討一下這個題目.

師：首先，經過我們的分析發現，這兩條直線的斜率都是存在的（如果其中一條直線的斜率不存在，則與拋物線不存在兩個交點）.所以可設直線方程為y=k（xx0）+y0，因為直線與圓O：x2+y2=1相切，則O點到直線的距離等于半徑1，即.整理可得，即②（其中，k1，k2為PQ、PR的斜率），如圖1所示：

圖1

三、問題探究

師：對于這個問題的具體分析我們就說到這里.下面我們再回到圖1，來研究一下這個圖隱藏著什么信息.同學們，請你們仔細觀察圖1，告訴老師你們發現了什么？

學生們認真觀察圖1，仔細探究問題，并踴躍作答.

（1）對問題提出猜想

生1：老師，我覺得圖1中的直線QR可能也與圓O相切，也就是說圓O可能是三角形PQR的內切圓.

（2）用特殊點驗證猜想

生2：我同意生1的想法，并找了一個特殊點進行驗證.取特殊點P（0，-2），根據PQ、PR與圓相切求得斜率k1，

k2，并求得，可知QR與圓O相切.

師：嗯.很好！那同學們再想一想，是否只存在個別特殊點滿足該性質，還是說對拋物線上所有的點（除x0=±1外）都滿足這個性質呢？

（3）幾何直觀探索問題

生3：老師，我借助幾何畫板進行探索發現，拋物線上所有的點（除x0=±1外）都滿足這個性質.

師：好，那請你上來給同學們演示一下.

下圖是生3的幾何畫板演示圖，如圖2所示：

圖2

生3：首先在幾何畫板中畫拋物線y=x2-2的圖象，并在拋物線上任取一點P，過P點作圓O的切線交拋物線于Q、R兩點，連接Q、R，過O點作QR的垂線交QR于點A，測得OA的長度為1cm.當P點跑遍拋物線上（除x0=±1外）的每一點時，始終能保持OA的長度為1cm等于半徑的大小，所以可以得出直線QR與圓O始終相切.因此，我們可以得出結論：過拋物線y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一點作圓O：x2+y2=1的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.

（4）邏輯推理證明問題

生4：生3的方法很直觀，利用幾何畫板從動態的、直觀的角度給我們生動形象地展示了直線QR始終與圓O相切這一性質.但是從數學的嚴謹性角度看，這一幾何直觀呈現過程不能算是嚴格證明，所以我從代數的角度對此猜想進行了證明，證明得到的結果與生3的結論一樣，下面給出我的證明思路和過程.

證明思路：要想證明過拋物線上（除x0=±1外）的任意一點作圓O的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.只要證明圓心O到直線QR的距離等于半徑即可.

證明過程：由上述解答過程可知，kQR=k1+k2-2x0，Q（k1-x0，（k1-x0）2-2），可將直線設為y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-2，經過化簡得直線的一般方程為（k1+k2-由點到直線的距離公式知：

所以，過拋物線y=x2-2上（除x0=±1外）的任意一點作圓O：x2+y2=1的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.

同學們還在為拋物線的這一性質感到神奇，這時，下課鈴聲響了，教師對這節課的探討進行了總結.

師：嗯，幾位同學回答的都很好，也掌握了我們學習數學的基本規律：大膽猜想，小心論證.既從幾何直觀上找到了對象與對象間的關系，又從代數的角度嚴謹地證明了這一猜想，經過我們的探索，證明了當a=2，r=1時，直線QR始終與圓O相切.但這個問題還有探究下去的價值，課后請同學們再接著探索這樣一個問題，對于任意給定的y=x2-a（只考慮a大于0的情形），是否存在圓x2+y2=r2，當a和r滿足一定的關系時，也能使直線QR始終與圓O相切呢？

四、問題推廣

伴隨著上課鈴聲，到了第二天的數學課，經過課下的認真研究后，同學們心里都有了答案.

（1）幾何直觀探究解的存在性

生5：老師，對于您昨天提的問題，我一開始不敢直接去推理證明，所以我先借助了幾何畫板去探索除了a=2，r=1這種情況外，是否還存在這樣的a和r？雖然不能得到a和r之間的確切關系，但可以從幾何直觀上判斷這樣的a和r是否存在，如果存在，那我就有動力去探索它們之間確切的關系.

于是生5上講臺借助幾何畫板進行演示.

生5：我先固定a=4，在幾何畫板中畫出y=x2-4的圖象，再用線段FG控制圓O的半徑r的大小.（其余步驟與生3類似，在此不再贅述.）要證明除了a=2，r=1這種情況外，是否還存在其他的a和r，只要證明當a=4固定時，圓心O到直線QR的距離OA是否能等于半徑r即可.

這是在探索過程中截的兩副圖，圖3、圖4兩圖能說明當a=4時，存在這樣的r使得直線QR與圓O相切.當我再進一步移動G點的位置時，可以出現這樣的情況，如圖5所示.

圖3

圖4

圖5 很直觀的顯示出當a=4，r≈1.56時，過拋物線上（除x0=±r外）的任意一點作圓O的切線，切線交拋物線于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與圓O相切.圖5進一步說明了這樣的a和r是存在的.

圖5

（2）邏輯推理探索a和r的關系式

師：生5的想法很棒，也很好地說明了a和r的存在性.那其他同學有沒有確切地探索出來了a和r所滿足的關系式.

生6：老師，我探索出了a和r的所滿足的關系式，即a=r2+r時，滿足直線QR與圓O相切.具體過程如下所示：

設P點坐標為（x0，y0），過點P的直線方程為y=k（x-x0）+y0，因為直線與圓O：x2+y2=r2相切，則O點到直線的距離等于半徑r，即整理可得r2=0（x0≠±r），即（其中，k1，k2為PQ、PR的斜率）.將直線方程與拋物線方程聯立求Q、R的坐標整理得：x2-kx+kx0-y0-a=0，則x1+x2=k，可求得Q點坐標（k1-x0，（k1-x0）2-a），R點坐標x2=k1+k2-2x0，所以得到過Q、R兩點的直線方程為：y=（k1+k2-2x0）（x-k1+x0）+（k1-x0）2-a，即

由點到直線的距離公式知：

因P點的任意性可知與x0無關，所以可得：

由上式中的①可得（r2-a）2=r2，即a=r2+r或a=r2-r.在我們研究的問題中，要求圓在拋物線里面，即，得到a＞r2，所以a=r2-r舍去.將a=r2+r代入②、③均滿足，即推得a和r的所滿足的關系式為a=r2+r.

五、問題一般化

師：生6的推導過程相當縝密，邏輯思維能力和計算能力都很強，表現得很好.其實，這個問題如果從平移和伸縮的角度去考慮的話，我們可以探索得到對于任意拋物線，都存在圓（或橢圓）滿足上述的性質.

首先我們考慮最基本的拋物線y=x2，它是由y=x2-2向上平移2個單位得到的，所以對于拋物線y=x2，存在圓：x2+（y-2）2=1滿足上述性質. 所以對于形如y=x2+bx+c（b，c∈R）拋物線，滿足這一性質的圓均可以由圓x2+（y-2）2=1經過上下平移和左右平移得到.

再考慮拋物線y=3（x2-2），從伸縮變換的角度考慮，即x不變，y變成原來的，同樣對圓x2+y2=1作此變換，得到.經驗證，過拋物線y=3（x2-2）（除x0=±1外）的任意一點P作橢圓的切線，交橢圓于Q、R兩點，連接這兩點的直線始終與橢圓相切，如圖6所示（由于篇幅原因，具體證明過程省略）.

圖6

所以通過平移和伸縮變換可以得到與任意拋物線y=ax2+bx+c存在該性質的圓或橢圓.

六、結語

在數學發展的歷程中，很多數學問題的發現和解決往往依賴于幾何直觀.數學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借助于圖形直觀加以分析和解決的問題，使直觀變成數學發現的向導.因而，借助幾何直觀進行思考，已經成為一種很重要的研究策略，在科學發現過程中起著不可替代的作用［2］.

由此可見，幾何直觀能力是學生必備的能力.教師在教學過程中因盡量使所研究的問題直觀化，借助恰當的直觀模型，能更有利于揭示研究對象的本質屬性.教師在引導學生對一道常規題目進行探索和研究的過程中，既發現了具有推廣價值的性質，又使學生的思維得到發展，更激發了學生探索數學問題的興趣，提高了學生的數學思維水平.但幾何直觀本身不是目的，而是一種解決問題的手段.在幾何直觀化后得到的結論必須用邏輯推理加以證明，學生在進行嚴謹邏輯推理證明的同時，提高和發展了自身的邏輯推理能力和數學運算能力.這一探究過程很好地踐行了華羅庚先生提出的“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”觀點，同時也大大地提高了學生發現問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）［S］，北京：人民教育出版社，2003.

2.孔凡哲，史寧中.關于幾何直觀的含義與表現形式——對《義務教育數學課程標準（2011）年版》的一點認識［J］.課程·教材·教法，2012，32（7）.

*全國教育科學規劃教育部重點課題——TPACK視角下卓越教師培養的理論研究與實踐探索（課題編號DHA150287）.