MPCK視角下的高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)及案例分析

楊建寧

[摘 要] MPCK是涵蓋教育學(xué)、心理學(xué)以及學(xué)習(xí)論的綜合性理論知識，是數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)狀態(tài)向?qū)W生學(xué)習(xí)形態(tài)轉(zhuǎn)化的重要理論基礎(chǔ). 本文通過MPCK視角下正弦定理教學(xué)再設(shè)計幾個環(huán)節(jié)的設(shè)計與展示，將正弦定理教學(xué)的開始、發(fā)展、延續(xù)進(jìn)行了具體而詳盡的闡述，在實際案例的分析中，也再次展現(xiàn)了MPCK理論在定理教學(xué)中所具備的指導(dǎo)意義.

[關(guān)鍵詞] MPCK；定理；概述；視角；思考；再設(shè)計

何為MPCK理論

教師的專業(yè)知識結(jié)構(gòu)理論是美國斯坦福大學(xué)教授、著名的教育家舒爾曼于1986年提出的，簡稱為PCK的學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識（Pedagogical Content Knowledge）是其核心要素. 數(shù)學(xué)教師從事專業(yè)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識被香港中文大學(xué)黃毅英教授冠上了專門性的稱謂——MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）. 數(shù)學(xué)學(xué)科知識（MK）、一般教學(xué)法知識（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識（CK）以及教育技術(shù)知識（TK）是MPCK最為主要的幾個組成部分. 一般說來，教師從學(xué)習(xí)者的興趣與能力這一角度出發(fā)，使得學(xué)習(xí)中具體的課題、問題或者論點得到一定的組織、表達(dá)與調(diào)整，最終令學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容、知識達(dá)成理解與掌握的整個過程即為MPCK的本質(zhì).

簡單說來，MPCK是與教學(xué)相關(guān)的綜合性知識，它涵蓋了教育學(xué)、心理學(xué)、學(xué)習(xí)論等大量的教育學(xué)習(xí)原理，對于數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在某一領(lǐng)域的表達(dá)、呈現(xiàn)以及解釋做出了學(xué)生更易接受與理解的展示. 通過一些特有的方式將數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生數(shù)學(xué)理解的教育形態(tài)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)形態(tài)，并在此基礎(chǔ)上著力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)是MPCK的核心內(nèi)容. 對于教師的教學(xué)設(shè)計與課堂教學(xué)而言，MPCK理論是其基礎(chǔ)，而且教師的MPCK在很大程度上影響著教師對教學(xué)內(nèi)容的理解與把握程度、教學(xué)方法的運用的適當(dāng)程度以及課堂教學(xué)的效果.

基于MPCK視角下的定理概述以及教學(xué)思考

受邏輯限制并被證明為真實的數(shù)學(xué)知識、原理等方面的陳述我們稱之為數(shù)學(xué)定理，它是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識構(gòu)成的主要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)推理的過程都必須依據(jù)數(shù)學(xué)定理而進(jìn)行，對于學(xué)生的推理論證來說，它也是學(xué)生必需的重要工具之一. 由此看來，數(shù)學(xué)定理教學(xué)的效果對于學(xué)生對定理內(nèi)容的理解和掌握、對數(shù)學(xué)問題中定理的實踐應(yīng)用有著相當(dāng)直接的重要影響，與學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成和持續(xù)發(fā)展也有著相當(dāng)直接的關(guān)系，所有這些都說明了數(shù)學(xué)定理的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位是相當(dāng)突出而重要的. MPCK理論運用于高中數(shù)學(xué)定理的教學(xué)設(shè)計中可以突出表現(xiàn)為定理背景的呈現(xiàn)、定理核心內(nèi)容的突出以及定理本質(zhì)的體現(xiàn)，使得高中數(shù)學(xué)定理的教學(xué)以及教學(xué)過程與效果的評估具備了相當(dāng)重要的理論依據(jù)和指導(dǎo).

教師基于MPCK視角的高中數(shù)學(xué)定理教學(xué)設(shè)計需要思考的問題很多，比如：學(xué)生學(xué)習(xí)這個定理的必要性如何？該數(shù)學(xué)定理的背景情況如何？其核心內(nèi)容與作用怎樣？學(xué)生可能存在的學(xué)習(xí)困惑在哪里？又該如何解決？所有這些核心知識的呈現(xiàn)、組織以及調(diào)整在教學(xué)設(shè)計中的合理安排與落實應(yīng)該怎樣布置？定理的應(yīng)用應(yīng)該如何進(jìn)行設(shè)計與落實？

基于MPCK視角下正弦定理的教學(xué)設(shè)計及思考

1. 正弦定理在解決三角形問題中的地位和作用

“三角形的邊角關(guān)系”、“解直角三角形”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的內(nèi)容，正弦定理正是這兩個重要內(nèi)容的直接延續(xù)，它是三角形實踐問題分析、探究與解決中的具體運用和重要工具. 高中教師對于正弦定理教學(xué)之初的主要任務(wù)便是對正弦定理的導(dǎo)入以及證明，并且在MPCK視角下對正弦定理的教學(xué)進(jìn)行精心的設(shè)計和安排，將與之相關(guān)的一系列舊知識進(jìn)行有目的的復(fù)習(xí)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中對聯(lián)系及發(fā)展等辯證觀點產(chǎn)生逐步的體會，應(yīng)用意識、探究能力以及處理問題的能力逐步得到鍛煉、發(fā)展與提升.

2. 基于MPCK視角下正弦定理教學(xué)設(shè)計思考的基本環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1：對三角形邊角關(guān)系這一舊知的回顧.

初中數(shù)學(xué)中三角形邊角關(guān)系這一舊知的回顧.

如圖1所示，a，b，c是Rt△ABC三條邊的邊長，∠A，∠B，∠C是它的三個角，∠C=90°，請問該直角三角形的邊角關(guān)系如何？

圖1

設(shè)計意圖：教師首先引導(dǎo)學(xué)生對于初中已學(xué)的相關(guān)知識進(jìn)行有目的的回顧，并在引導(dǎo)、啟發(fā)以及回顧中觸動學(xué)生對三角形邊角關(guān)系思考的著眼點，將學(xué)生初中已經(jīng)掌握的大邊對大角、小邊對小角等舊知作為新知識的生長點和認(rèn)知基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)2：對三角形邊角關(guān)系實際問題求解的初步感受與認(rèn)知.

如果△ABC中BC=12，∠A=30°，∠B=45°，AC的長度怎樣求解？

如果△ABC中BC=12，∠A=120°，∠B=45°，AC的長度怎樣求解？

設(shè)計意圖：三角形的邊角關(guān)系應(yīng)該在何處尋找突破口？在直角三角形的邊角關(guān)系上直接進(jìn)行正弦定理的猜想必然是有所牽強(qiáng)附會的，但是通過以上兩個問題的設(shè)計與求解，學(xué)生借助直角三角形對AC的長度進(jìn)行具體的思考與求解，結(jié)合環(huán)節(jié)1所產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生學(xué)習(xí)一開始的陌生感很快能夠消失，求解欲望在認(rèn)知沖突的發(fā)展中得到激發(fā)，對正弦定理進(jìn)一步探究的思想準(zhǔn)備也有了一定的基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)3：從特殊三角形到一般性三角形著手探究，使得正弦定理在歸納與猜想中形成并得以證明.

a，b，c是Rt△ABC三條邊的邊長，∠A，∠B，∠C是它的三個角，∠C=90°，該三角形a，b兩邊邊長跟∠A，∠B之間是否存在某種等量關(guān)系呢？如果△ABC為任意三角形，類似的結(jié)論是否存在呢？

a，b，c是△ABC三條邊的邊長，∠A，∠B，∠C是它的三個角，請問a，b，c跟∠A，∠B，∠C之間是否能夠建立起某種關(guān)系呢？

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)的設(shè)計中體現(xiàn)了特殊到一般這一數(shù)學(xué)思想方法，這也使得正弦定理在數(shù)學(xué)史上發(fā)現(xiàn)和提出的軌跡得到了再現(xiàn)，環(huán)節(jié)2到環(huán)節(jié)3中第二個問題的解決顯得更是水到渠成. 基于MPCK視角下的正弦定理的教學(xué)設(shè)計中直接將結(jié)論告訴學(xué)生的設(shè)計和行為是不可取也是不能存在的.endprint

環(huán)節(jié)4：利用正弦定理這一新學(xué)知識對環(huán)節(jié)2中的問題進(jìn)行再解決.

設(shè)計意圖：通過幾個環(huán)節(jié)的設(shè)計學(xué)習(xí)，正弦定理是被學(xué)生獲得并證明的新知，引導(dǎo)學(xué)生利用新知對環(huán)節(jié)2中的問題進(jìn)行再解決，讓學(xué)生體會到正弦定理解決具體問題的簡潔，添加輔助線的繁復(fù)過程被省略了，學(xué)生對正弦定理解決具體三角形邊角關(guān)系問題的應(yīng)用價值也有了更深的體會.

環(huán)節(jié)5：問題串的設(shè)計促進(jìn)學(xué)生對正弦定理的進(jìn)一步理解.

通過以上的一系列討論， 在△ABC是確定的比值這一結(jié)論很容易便可以得出，那么，這個比值具備的幾何意義怎樣？

Rt△ABC中邊與其所對角的正弦值的比所具備的幾何意義便在于斜邊c. 進(jìn)一步猜想，在一般的三角形中也會出現(xiàn)這一結(jié)論嗎？同樣的幾何意義一樣存在嗎？在△ABC中哪個元素能夠確定這個固定的比值k呢？

△ABC是否能隨其一條邊及其對角大小的確立而確定呢？教師可以利用幾何畫板制作的課件引導(dǎo)學(xué)生對這個問題展開思考，設(shè)定△ABC中BC邊的大小與位置、BC所對應(yīng)的∠A均不變，引導(dǎo)學(xué)生對此情況進(jìn)行觀察并由此得出△ABC的變化情況以及點A的運動軌跡.

整合三角形外接圓這一知識點的關(guān)聯(lián)思考，試問 = = =k中k的情況？

設(shè)計意圖：教師在教學(xué)中應(yīng)注重正弦定理不同形式（諸如 = ）的呈現(xiàn)幫助學(xué)生對正弦定理本質(zhì)的進(jìn)一步理解，因此，上面一系列問題的設(shè)計在正弦定理教學(xué)再設(shè)計的思考中是非常有必要的，對于正弦定理中R的發(fā)現(xiàn)也起著相當(dāng)重大的促進(jìn)作用.

環(huán)節(jié)6：啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正弦定理解決實際三角形問題的歸納與總結(jié).

學(xué)生通過教師教學(xué)再設(shè)計的思考以及自身的努力探究，對正弦定理有了準(zhǔn)確而深刻的理解，大家談?wù)務(wù)叶ɡ韺δ男嶋H問題的解決是適用的呢？

設(shè)計意圖：在學(xué)生的認(rèn)知與理解到達(dá)一定深度的關(guān)鍵時刻，教師恰當(dāng)?shù)奶釂柺沟脤W(xué)生再次投入問題的探究中，也使得學(xué)生已學(xué)知識的重新構(gòu)建與創(chuàng)造獲得了有益的機(jī)會，在具體問題的解決中尋找、歸納出解決問題的具體方法.

3. 基于MPCK視角下正弦定理教學(xué)的再設(shè)計的思考與分析

從MK的角度來看待定理的學(xué)術(shù)形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化的前提也是多方面的，數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的深厚且系統(tǒng)的學(xué)科知識、數(shù)學(xué)定理的背景與核心內(nèi)容、相關(guān)定理之間的聯(lián)系、所教定理在實際問題解決中的具體應(yīng)用都是包含其中的，所有這些也是教師對數(shù)學(xué)定理有效教學(xué)的必要條件. 因此，從MK的角度來考慮正弦定理教學(xué)的再設(shè)計時，教師首先應(yīng)該思考并滲透于教學(xué)活動中的問題很多，諸如：解斜三角形的必要性在哪里？正弦與余弦定理在解三角形中是必須應(yīng)用的定理嗎？這兩個定理是如何發(fā)現(xiàn)的？其證明方法的思想根源在哪里？是否還存在其他的證明方法呢？所有這些教材中沒有但卻能夠觸動學(xué)生思想的問題，使得學(xué)生在探討的過程中對于正弦定理的內(nèi)涵與外延建立了更好的理解. 環(huán)節(jié)1中兩個問題所涉及的諸如邊邊之間、角角之間以及邊角之間的關(guān)系都是學(xué)生原本就有的舊知識. 事實上，正弦定理也就是大邊對大角、小邊對小角這一在Rt△ABC直接推廣結(jié)論的定量化描述.這兩個問題的探討與解決中，學(xué)生對于三角形邊角關(guān)系的原有知識得到了有效的回顧，同時，此結(jié)論在Rt△ABC中的直接推廣也由此埋下了有力的伏筆. 環(huán)節(jié)3中的設(shè)計意圖很明顯，借助環(huán)節(jié)2中兩個問題的思考，使得學(xué)生自然將兩題的解決思路都指向直角三角形的轉(zhuǎn)化，也就是通過三角形中直角三角形這一特殊現(xiàn)象的研究，并通過歸納猜想使 = = 這一結(jié)論得以獲得，再在此基礎(chǔ)上將這一結(jié)論往一般三角形進(jìn)行推廣，結(jié)論的證明在環(huán)節(jié)2的輔助鋪墊下也就相當(dāng)簡單了.endprint