向量在高中數學解題中的應用思考

邵炳衡

摘要：隨著新課改的推行，高中數學教學理念、教學內容、教學模式等發生了較大改變。就教學內容來說，在新課改背景下，向量一躍成為高中數學重要教學內容，我們學生都認為向量比較抽象，只要理解就行，不一定要熟練運用，而這與教學目的相違背。另一方面，向量主要用于數學解題，學生受到傳統解題思維和方法影響，幾乎沒有向量解題意識，且運用能力也有待提升。因此，本文以平面幾何、解析幾何以及三角函數為例，探究了向量在三者中的具體應用，希望能借此啟發同學，提高我們向量的解題能力。

關鍵詞：向量 高中數學 解題 應用

因為向量是高考考察的重點內容之一，對學生的掌握程度有較高要求。在平面向量方面，我們不僅要熟知向量的概念、性質、運算法則，還要能理解向量的幾何意義，并能將其熟練運用于解題中。而且我們學生還要能將向量用坐標表示，有較強的線性運算能力。另外，當向量與其他知識相結合時，我們要運用向量工具，思考出恰當的解題方法。在空間向量方面，需要我們的空間想象能力達到一定水平，而且能在解題中避開傳統方法，找到最恰當的向量方法。實際上，我們應在了解向量教學要求和自身不足的基礎上，借助教師和同學的幫助，加強運用練習，努力提高自身的向量解題能力。

一、向量在平面幾何解題中的應用

在平面幾何中，向量主要用于相關結論的證明，比如平行、共線、垂直等。為了解題，通常需要將已知結論轉化為向量，然后再借助運算，完成相關證明。這也就意味著，在解決這類問題時，我們不僅應具備發散性思維和向量解題意識，還應具備較強的向量轉化能力和技巧，以及過硬的運算能力。例如，已知ABCD是平行四邊形，證明 。

在這道題中，向量已經給出，只需將向量設為a，b等數值，再進行運算即可。也就是說，具體的解題過程應為，設 為a， 為b，那么 a + b， =b-a，則

，所以得證。其實，這道題是根據重要的平面幾何結論改編的，解題的方法有很多，但向量法最為簡單、快捷，而且通過這道題能促使我們學生理解平面與向量間的聯系，認識向量運算與幾何間的關聯。再比如，證明三角形ABC的三條高交于點O。根據題目可以先假設，AB邊的高為CD，AC邊的高為BF，BC邊的高為AE，而且CD與BF交于點O，所以 。即 ，將上述兩式加起來，可以得到 ，也就是說， ，所以AE也過點O，因此三角形ABC三條高過同一點O。這類問題的題目言簡意賅，在做的時候，需要我們將其轉換為數學語言，然后再用向量進行證明。

二、向量在解析幾何解題中的應用

由于解析幾何涉及的問題一般有夾角、垂直、共線、軌跡等，所以再用向量解決此類問題時，通常都是將幾何問題坐標化、符號化，然后將推理和猜想轉化為具體的運算，最后得出結果，或者是從向量的幾何意義入手分析，再通過向量方法解決。比如，在拋物線 中，F是其焦點，過F點的直線L與拋物線交于點A和點B，如果直線L的斜率為1，那么 與 的夾角范圍是多少。首先，確定點F為（1，0），根據斜率求得直線L為y=x-1，然后設A為 ，B為 ，因為A，B是拋物線和直線L的交點，所以將y=x-1帶入拋物線 ，得，

那么有 ，緊接著算

，因為 ，所以可以算出 ，最后可以得出 與 的夾角大小為 。再比如，如果O是平面內一定點，A，B，C同位于平面上，且不共線，存在動點P使得 ，

其中α為零或者正實數，那么證明P的軌跡一定會通過A，B，C組成的三角形的內心。因為 和 分為 和 的同向單位向量，所以根據向量加法的平行四邊形法則，可以得到

是和

因此可以得出P的軌跡就是

三、向量在三角函數解題中的應用

普遍來說，學生不喜歡解三角函數題，這是因為三角函數是高中數學重要教學內容，其公式易混淆、難記憶、難運用，所以對我們學生而言，三角函數習題的難度系數相對較高。為了更好、更快地解決三角函數解題，我們可以借助向量工具。比如，在計算 時，如果直接用三角函數公式進行運算，那么難度較大，所以應借助向量進行運算。具體而言，因為題目中相鄰角度間相差72度，而這正是正五邊形的內角度數，所以可以將這道題放于正五邊形中思考。也就是說，先做一個邊長為1的正五邊形ABCDE，而且要讓AB邊與x軸的夾角為5度。因為 ，

所以在x軸上的投影也為0。又因為各邊表示的向量與x軸上的單位向量的乘積之和就是上述所求結果，所以將x軸上的單位向量統一為 ，而 ，因此

。雖然這種解題方法不易想到，比較難掌握，但只要一掌握，那么此類問題將立刻迎刃而解。

四、結語

研究向量在高中數學解題中的應用，其實就是增強我們數學運算能力，提高幾何問題處理能力，發散思維的過程，我們能感受到高中數學知識的運用價值，也有助于提高我們的考試成績，使高考取得好成績。然而，我們很難從一兩個向量應用例子中，掌握向量的解題技巧，知曉向量的運用原則，所以我們學生應加強這方面習題的練習，積累經驗，在解題的時候就會變得很輕松。

參考文獻：

[1]李卓潔.關于向量在解決高中數學問題中的應用研究[J].信息化建設，2015，（06）.

（作者單位：項城市第一高級中學）