培養學生數學變式能力的方法

【摘 要】數學教師教育學生的目的是培養學生解決問題的能力、學習新事物的能力，提出更一般的、更廣闊的、更深刻的新問題和建立新理論的能力。那么如何培養學生針對舊問題提出新問題（問題演變）的能力？也就是說，如何培養學生數學變式的能力呢？

【關鍵詞】變式訓練；創新思維；能力

一、重視基礎，溝通聯系

數學基礎知識、基本概念（定義、定理、性質、公式、法則）是解決數學問題，并產生新問題的起點。一般情況下，要從知識發生的過程設計問題，突出概念的形成過程；從學生認知的最近發展區來設計問題，不是將公式簡單地告訴學生；通過設計開放性的問題，讓學生通過類比、歸納、猜想得出結論，再對所得結論進行論證。

例1：求證：順次連結平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：求證：順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是菱形。

變式2：求證：順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是矩形。

變式3：求證：順次連結正方形各邊中點所得的四邊形是正方形。

變式4：順次連結四邊形各邊中點可以得到平行四邊形？

變式5：順次連結四邊形各邊中點可以得到平行矩形？

變式6：順次連結四邊形各邊中點可以得到菱形？

通過這樣一系列變式訓練，使學生充分掌握了四邊形這一章節所有基礎知識和基本概念，強化溝通了常見特殊四邊形的性質定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓展了學生的解題思路，活躍了思維，激發了興趣。

二、創新思維，發展能力

豐富而扎實的基礎知識是形成創新意識的前提，有“知”未必有“能”，無“知”必定無“能”，要想知識和能力同步協調發展，教師在教學中既要使學生掌握知識，更要使學生把握知識產生的“過程”價值。具體地說，在數學活動中，它是一種不依常規，尋求變異，從多角度、多層次、全方位地去思考問題、尋求答案的優良思維品質，其基本特征是：流暢性（能在短時間內表達較多的概念，反應迅速）、變通性（思維方向靈活多樣，舉一反三，觸類旁通，能提出超常的構想或新觀點）、獨創性質（對事物的處理或判斷表現出獨特的見解，推陳出新）。

例1：如圖1，在Rt△ABC中，當∠C=90°時，則c2=a2+b2（勾股定理）。

變式探究

變式1：當∠c不是90°時，則，c2=a2+b2仍成立嗎？

解：如圖2，設△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b。

過點B作AC的垂線BD，垂足為D。

則BD=asinC，DC=acosC，AD=b-acosC，

根據勾股定理可得：

C2=（asinC）2+（b-acosC）2

=a2sin2C+b2-2abcosC+a2cos2C

=a2（sin2C+cos2C）+b2-2abcosC

=a2+b2-2abcosC

這即是解斜三角形所需用的余弦定理。從而，我們可以發現，勾股定理亦可視為余弦定理的特殊情況，即c2=a2+b2-2abcos90°。

變式2：已知所有符合a2+b2=c2的正整數解即為一組勾股數，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41……那么是否存在正整數a、b、c，使a3+b3=c3呢？

變式3：當冪n≥3時，是否存在正整數a、b、c，使an+bn=cn也成立呢？這就是有名的數學難題——費馬最后定理。

由上例可知，教材中一些常見定理，反映著相關數學理論的本質屬性，蘊含著豐富的數學思維方法和思想精髓，這就是學生創新思維的生長點。

三、熟悉規律，掌握技能

數學問題的演變是從基礎問題出發進行變化，對學生的思維能力要求較高，但仍有一定的方法、技巧可循。如何引導學生根據現有的思維水平，運用已掌握的知識，通過正確的思維方式，把碰到的數學問題轉化為熟悉的或容易解決的數學問題，變中求解、解中求變呢？請參見以下的流程圖：

例2：已知一次函數與反比例函數的圖像交于點P（-2，1），Q（1，m）。

（1）求這兩個函數關系式；

（2）在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像，根據圖像回答：當x為何值時，一次函數值大于反比例函數值？

變式1（變結論）：根據圖像回答，當x為何值時，一次函數值小于反比例函數值？

變式2（延伸結論）：判斷∠POQ的取值范圍，求△POQ的面積。

變式3（變條件點的位置）：一次函數與反比例函數的圖像交于點P（-2，1），Q（-1，m）。

（1）求這兩個函數關系式；

（2）在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像，根據圖像回答：當x為何值時，一次函數值大于反比例函數值？

（3）判斷∠POQ的取值范圍，求△POQ的面積。

四、巧妙設計，注意要點

前面，我們舉例說明了數學問題變式的方法，但應當指出，問題變式不是為了“變式”而變式，而是要根據教學或學習需要，遵循學生的認知規律而設計數學變式，其目的是通過變式訓練，使學生在理解知識的基礎上，把學到的知識轉化為能力，形成技能技巧，完成“應用—理解—形成技能—培養能力”的認知過程。因此，數學變式設計要巧，要有一定的藝術性，要正確把握變式的度。一般地，設計數學變式，應注意以下幾個問題：

（1）差異性。設計數學問題變式，要強調一個“變”字，避免簡單的重復。變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學生對每道題既感熟悉，又覺新鮮。從心理學角度分析，新穎的題目對學生刺激強，學生做題的興奮度高，容易集中注意力，積極性高，思維敏捷，能收到較好的訓練效果。因此，設計數學變式，要努力做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。

（2）層次性。所謂的問題變式要有一定的難度，才能調動學生積極思考。但是，變式要由易到難，層層遞進，讓問題處于學生思維水平的最近發展區，充分激發學生的好奇心和求知欲。要讓學生經過思考，能夠跨過一個個“門檻”，這樣既達到訓練的目的，又可以培養學生的思維能力，發展學生的智力。

（3）靈活性。根據教學內容和學生的實際情況，數學問題變式訓練的方式要靈活多樣，力求使學生獨立練習和教師啟發引導下的半獨立練習相結合。同時，根據數學內容，有時可分散訓練，有時可集中訓練，有時一個題目的變式可分幾次完成，充分展現知識螺旋式上升的方式。這種靈活的訓練方式，不僅可以提高學生的興趣，吸引學生的注意力，而且可以使學生的多種感官參與學習，提高大腦和神經的興奮度，達到最佳的訓練效果。

總之，變式訓練不是簡單的重復，關于特定數學內容的問題變式有助于促使學生產生體驗新的知識的深切體會，有助于促成學生形成看待原有問題的全新視角，所有這些，應其外在表象而言，接觸了更多的變異，就其內在本質而言，產生了深刻的理解。

作者簡介：

楊小芳（1972.1～ ），女，浙江舟山人，本科，中學高級，初中數學。endprint