構建初中數學模型解決實際問題

董佳毅??

摘要：數學模型離不開應用場景，是構建應用場景和數學知識點之間聯系的有效方法。本文首先探討了初中數學教學中數學模型應用存在的問題，并以具體的教學活動和數學模型應用為案例，探討了初中數學模型解決實際問題的教學方法和應用方式，為初中數學科目教學中數學模型思想的應用提供資料參考。

關鍵詞：初中；數學模型；解決；實際問題

構建初中數學模型解決實際問題，一直是初中數學科目教師教學與教研活動開展的重點。但由于初中數學教學中數學模型的應用對教師的專業化水平有較高要求，因而教師在具體的數學模型應用中仍然存在著一些問題。如何解決這些問題，運用好數學模型這一有效的工具，成為廣大初中數學教師重點研究和實踐的課題。

一、 數學模型運用在初中數學中的常見問題

（一） 對數學模型的應用不夠重視

數學模型是數學科目的核心方法，在教學活動中運用好數學模型，能夠將抽象的數學知識與生活實際建立聯系，提高學生對數學科目的學習興趣。雖然數學模型的應用在新課標中予以明確標出，但部分教師仍然固守應試教育的思想，忽視了對數學模型的應用。這是由于數學模型在教學活動中的應用，需要教師靈活地運用教學資源。但如果能夠應用好數學模型，則不會出現這一問題，因而數學模型在數學課堂教學中的應用，對教師的教學能力、課堂設計能力和教學資源調用能力提出了挑戰。

（二） 沒有發揮數學模型的發散性和拓展性

數學模型作為數學科目的基礎工具，是解決數學問題的模板。正因如此，數學模型在數學教學中的應用，要求教師能夠將其與學過的其他知識建立聯系，通過數學模型的應用，來拓展課堂教學的廣度和寬度。很多教師在應用數學模型中，不重視對數學模型的應用拓展，雖然在教學過程中，使用了數學建模的思想，但對于得到的數學模型，卻并沒有進行變式拓展訓練。這雖然實現了數學建模思想的滲透，但卻沒有讓學生學會如何靈活地應用數學模型，導致建模思想在數學教學中所發揮的作用受到限制，影響了對學生應用能力的提高。

（三） 教學資源不符合學生的生活實際

想要有效地激發學生的數學科目學習興趣，就要從學生的生活實踐出發，選取與學生息息相關的教學資源，并以此為基礎，構建數學模型思想的教學過程。但部分教師在日常教學中，卻習慣拿來主義，對于建模所使用的例題、場景沒有仔細斟酌，這導致很多建模的場景與學生的生活實踐相去甚遠。例如，在幾何最短距離模型中，采用了小馬飲水過河的場景，雖然這一場景有一定的童趣性，但城市中的學生普遍對小馬飲水和小馬過河的場景不敏感。如果教師能夠適當改變場景，將其轉變為學生買玩具、去少年宮等場景，必然能夠極大地激發學生的學習興趣。這種死板的套用經典教學情境的情況十分普遍，不利于激發學生的學習興趣，也無助于激發學生對數學建模的了解。

二、 構建初中數學建模解決實際問題例題與研析

初中數學科目中所應用的數學模型，可以分為方程和方程組模型、函數模型、不等式和不等式組模型、概率和統計模型、幾何模型幾種經典模型，在具體的教學活動中，教師一定要選擇好模型的應用場景，使建模的場景更貼近學生的生活，從而培養學生應用數學模型解決實際問題的能力。

（一） 方程和方程組模型

方程和方程組模型在日常生活中十分常見，在學生的實際生活中應用得也比較廣泛。想要提高學生應用數學模型解決實際問題的能力，教師就要創設符合學生的生活化情境，并以此為基礎來引導學生構建方程和方程組模型。只有這樣，才能有效地激發學生的學習熱情，才能讓學生樂于對數學模型在實際生活中的應用展開探究。

例題：（2007年某市中考試題）A、B兩地相距18公里，甲工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸送天然氣管道，乙工程隊要在A、B兩地間鋪設一條輸油管道.已知甲工程隊每周比乙工程隊少鋪設1公里，甲工程隊提前3周開工，結果兩隊同時完成任務，求甲、乙兩工程隊每周各鋪設多少公里管道？

變式：學校新建設了一條200米的標準跑道，同學們都喜歡到跑道上慢跑鍛煉身體。小明和小紅一起在跑道上運動。已知小明作為運動健將，每秒鐘比小紅多跑5米，但小紅比小明提前5秒開跑，小紅和小明同時到達終點，問小紅和小明每秒跑多少米。

例題是某市的中考題，該題目作為經典題目，題目的場景為工程隊施工。這一場景雖然在數學題目中比較常見，但卻不適用于教學活動，這是由于這一場景對于中學生而言，過于遙遠，無法激發學生的學習興趣。而變式，將題目的場景轉化為小紅和小明慢跑的場景，這種運動的場景同學們在日常生活中經常遇到，并且同學之間也有讓跑得慢的同學先跑、跑得快的同學后追的游戲，因而變式更加適用于在教學中應用，而對于例題的工程隊伍施工的場景，可以在運用變式完成數學建模過程教學后，用于數學模型的應用拓展訓練。

（二） 函數模型

例題：（2007年貴州某市中考試題）某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元。市場調查發現，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1） 求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（2） 求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數關系式。

（3） 當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

變式：學校小超市為了給學生補充營養，采購了一批單價為4元的果奶產品，該產品計劃售價不高于5.5元。通過調查分析，如果每瓶果奶以5元的價格銷售，那么平均每天能賣出90瓶，價格每提高1元，則每天少銷售3瓶。

（1） 求平均每天的銷售量y（瓶）與銷售價x（元/瓶）之間的函數關系式。

（2） 求該批發商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/瓶）之間的函數關系式。endprint

（3） 當牛奶的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

例題中所給出的場景為水果店批發水果，雖然該場景學生也會遇到，但由于水果批發、公路建設、路程問題等，學生在習題中經常遇見，對于此類問題已經麻木。恰逢學校校內超市新進了一批果奶，這種果奶口味很受學生歡迎，我在教學中就將上述水果批發的場景，更換為與學生生活相關的學校超市果奶采購和銷售的場景。由于果奶學生經常買來喝，甚至當天在學生書桌上還擺著幾瓶沒喝完的果奶，因而該場景成功地激發了學生的探究興趣，極大地提高了教學效率，鍛煉了學生運用數學模型解決實際問題的能力。

（三） 幾何模型

例題：如圖，在直角梯形ABCD中，已知AD=3，BF⊥DC，∠CBF=30°，求邊DC的長度。

變式：學校東北角要安裝運動器械，計劃砍掉一棵樹AB，在地面上事先劃定以點B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區域，某工人站在距離B點3米遠的排球評分臺CD頂點，在C處測得樹頂端A的仰角為60°，樹的底部俯角為30°。問距離B點8米的同學是否在危險區域內。

例題是一道比較經典的梯形求邊的幾何題目，這個題目同學在習題中經常遇見。但該題目作為數學模型，其抽象性較強，如果教師在教學中，僅僅是以數學模型的方式教學，無法實現讓學生學會如何運用幾何模型解決實際問題。筆者以學校最近的伐樹工作為案例，將該題目變式為相關于校園伐樹，求安全距離的場景。該場景涉及學生的安全，并且源自于校園最近發生的事情，因而能夠有效激發學生的學習興趣。該變式趣味性強，情境性高，因而在教學中的應用，讓同學們把握了幾何模型與生活實際之間的聯系，提高了學生運用數學模型解決實際問題的能力。

綜上所述，初中數學教學中數學模型的具體應用中，教師一定要確保對教學情境的選擇和應用，符合學生的生活實際。只有這樣，才能最大化地發揮模型思想的作用，才能激發學生的探究積極性，讓學生學會如何使用數學模型來解決實際問題，實現提高學生數學應用能力的目的。

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