直線、平面平行與垂直位置關系探究

張艷

摘 要：新課程關注學生的學習過程、數學思想和方法的掌握及情感、態度、價值觀的形成，本節課借助電子白板的多元交互和即時生成的優點，在一系列的探究活動中讓學生理解、掌握、應用知識，并提高綜合分析問題的能力，交流與合作的能力，有效提高了數學課堂的有效性。

關鍵詞：電子白板；交互；探究；有效性

新課程注重學生的主體作用，重視學生學的方法，引導學生掌握和運用探究式學習方法。在教學過程中培養學生的獨立性、自主性，運用已有知識分析推理問題，引導學生討論、交流、反思，在一系列探究活動中既能理解、掌握和應用知識又能提高學生綜合分析問題的能力，交流與合作的能力，特別是培養了創新精神和實踐能力。在本學期，筆者開設了一節立體幾何關于《直線、平面平行與垂直位置關系探究》的教學公開課。

首先，創設問題情境：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，三角形PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，且AB∥CD，AB=12CD，E為PD的中點。

求證：（1）AE∥平面PBC；（2）AE⊥平面PDC。

（利用電子白板和幾何畫版引入該問題情境，直觀形象地展示空間幾何體的結構特征。同學們很快進入狀態，積極思考。讓學生獨立思考五分鐘后，分析已知條件，給出思路。）

師：從已知條件中得知它是一個四棱錐，可為什么它的底面卻是一個三角形呢？

生：它是一個倒放著的四棱錐。

師：很好！ （適時展示模型）

本題設置了兩個問題，第一是證明AE∥平面PBC，也就是要證明線面平行。根據大家前面所學的知識，要證明線面平行，我們有哪些途徑呢？

生：線線平行。

生：還有面面平行。

師：對。那如果通過線線平行來證，它的關鍵是什么呢？

生1：只要證明AE與平面PBC內有一條直線平行即可。

師：你的依據是什么？

生1：根據線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行。

師：非常好。這樣，我們就把證明線面平行的問題轉化成線線平行的問題來解決。那我們該如何找到這條直線呢？

生1：在平面DPC內過點E作EF∥DC交PC于點F，連接BF，BF就是我要找的那條直線。

（教師結合學生的回答，利用電子白板的畫圖功能馬上畫出該輔助線，在與學生的交流中逐步呈現出學生的思維過程。）

師：這位同學在“體內”添加了一條輔助線，其他同學還有其他的想法嗎？

生2：老師，我的方法和他不同，我在“體外”添加輔助線。

師：好，你說。

生2：延長DA、CB交于點F，連接PF。因為A，E分別為DF和DP的中點，所以AE∥FP。

師：很好，這是你的思路，其他同學還有和他們不同的想法嗎？

生2：還可以通過面面平行來證。

師：好，你來說說。

生2：我根據若兩平面平行，則其中一平面內任一條直線都平行于另一平面。我只要在平面ABCD內過A作AG∥BC交DC于G點，連接EG。構造出一平面AGE與已知平面PBC平行。

師：不錯。這也是一個好辦法。我們通過集思廣益，找到了三種解決的途徑，分別如下圖。

（進而總結歸納出現有證明線面平行的幾種方法——結合板書）

該過程是學生的探索過程，老師循循善誘，以問題串啟發誘導為基礎，是引導學生駛向成功彼岸的船。在這里，學生通過網絡環境，討論、交流、了解新知識，發現新方法；同時，教師則由施教者轉為學生學習活動的組織者、協調者或參與者，幫助他們揭示獲取數學知識的思維過程，主動建構自己的知識體系。

對于第二小題同樣可以啟發學生：要證直線AE垂直平面PDC，只要證明直線AE與平面PDC內兩條相交直線垂直即可。這是考查學生對線面垂直的判定定理是否掌握并會靈活應用。證明的過程可由學生獨立完成后展示其作品，教師指導完善。

證明：方法一：

（1） 在平面DPC內過點E作EF∥DC交PC于點F，連接BF

∵E為PD中點 ∴EF=12DC

∵AB∥DC且AB=12DC

∴AB∥EF且AB=EF

∴四邊形ABFE為平行四邊形 ∴AE∥BF

∵AB平面PBC且BF平面PBC

∴AE∥平面PBC

（2）∵AB⊥平面PBC AB∥DC

∴DC⊥平面PBC

∵BF平面PBC ∴BF⊥DC……①

又∵△PBC為正三角形 F為PC中點 ∴BF⊥PC…②

由①② 及DC∩PC=C得BF⊥平面PDC

∵四邊形BFEA為平行四邊形

∴BF∥AE ∴AE⊥平面PDC

方法二：

（1） 延長DA、DC交于點F，連接PF

∵AB∥DC且AB=12DC

∴AB為三角形FDC的中位線，A為FD的中點

又∵E為DP的中點 ∴AE∥FP

∵AE平面PBC且FP平面PBC

∴AE∥平面PBC

（2） ∵AB⊥平面PBC AB∥DC

∴DC⊥平面PBC

∵PF平面PBC ∴FP⊥DC

∵FP∥AE ∴AE⊥DC……①

又∵在△PFC中BP=BC=BF=PC

∴∠PBC=60° ∠BPF=12×60°=30°

∴FP⊥PC

∵FP∥AE ∴AE⊥PC……②

由①②及DC∩PC=C得 AE⊥平面PDC

方法三：

在平面ABCD內過A作AG∥BC交DC于G點，連接EG

∵AB∥DC且AB=12DC

∴GC=12DC，即G為DC的中點

又∵E為DP的中點 ∴EG∥PC

且AG∩GE=E，BC∩CP=C

∴平面AGE∥平面BCP

∵AE平面AGE ∴AE∥平面PBC

最后，可以對本題略有些提高，啟發學生可否將此四棱錐補成一個三棱柱呢？

師：若將兩個同樣的四棱錐拼接而成一個新的幾何體，你有何發現？

思考一會，兩三個男生突然喊出：它變成一個三棱柱。

（在電子白板上克隆一個一樣的四棱錐并翻轉，供學生觀察）

師：平面AGE和新三棱柱是何關系呢？

生：平面AGE就是這個新三棱柱的中截面。

本例題力圖給學生提供思考、操作、交流的空間，讓主體主動構建自己的認知結構，充分體現了學生的主體地位和教師的主導作用。希望學生在自主探索和合作交流的過程中，充分感受到成功的情感體驗，領悟到轉化的數學思想在解決問題中所起到的重要作用。同時又培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力和樂于探索，大膽創新的科學精神。課后，利用電子白板的筆記保存分享和微課錄制功能，把本道題的詳盡講解分析過程推送給每個學生，便于他們課后對知識的復習和鞏固。

借助電子白板的多元交互和即時生成的優點，智慧校園環境下的小組合作探究學習，改革了傳統的教學方式，實踐教法創新、學法創新。教師積極采用深受學生喜愛的教學方式，在注重基本知識和基本技能的教學的同時，關注學生的學習過程、數學思想和方法的掌握及學生們的情感、態度、價值觀的形成；在數學教學過程重視學生數學能力的培養；積極開展信息技術與課程教學的整合研究。應用網絡環境下自主學習、合作探究的新型教學模式，一改傳統教學的滿堂灌，使學生變被動為主動，課堂上生生互動、師生互動的生動場面，為學生創造了良好的學習環境，在理解掌握知識要點的同時，極大地激發了學生的學習興趣和能力，提高了教學的質量，給數學課堂帶來了勃勃生機。endprint