芻議數形結合方法在高中數學教學中的應用

王宇偉

摘要：數形的結合，有助于深化學生對數學知識的理解，激發學生學習數學的興趣。它也有助于豐富和完善高中數學解決問題的方法，提高學生解決數學問題的能力。為此，在平時的教學中，教師應積極引導學生掌握和靈活運用數形組合的方法，擴大解決問題的思路，優化學生解決問題的步驟，提高學生的綜合素養。

關鍵詞：高中數學；數形結合；應用

數學是現代教學體系的重要組成部分，一直是重點考察的科目。有效的學習數學知識不僅可以幫助人們解決生活中遇到的問題，而且可以促進學生思維的發展，實現學生的全面發展。與以前的數學教學相比，高中數學教學更加困難了，主要是數據更為抽象，計算更復雜，這也導致了高中生數學運算能力較差的重要原因。數形結合是一種現代化的教學方法，主張以圖形來解釋數學問題，增強學生對某一知識點的理解。因此，加強對數形結合方法在高中數學教學中應用的討論具有較高的實際意義。

一、數形結合在三角函數教學中的應用定義

在高中數學教學中，有很多知識點，在這其中“數量關系”，“空間形式”，“數字結合”等是高中數學思維模式的重點，在數形結合的思想中，高中生接觸的第一個是三角函數，三角函數不僅是函數知識，而且還描述了周期數學模型，從定義可以看出，三角函數是數形結合思想的產物。如果學生只依靠代數知識來計算三角函數，不僅增加了學生的計算量，而且與數學計算的簡單原理相違背。如果學生依靠圖形知識來導出三角函數，由于缺乏邏輯和數值約束，學生也無法得出三角函數的周期性，教師在教授學生三角函數的知識點時，應該為學生提供數形結合法的學習方案，提高學生的數學學習效率、例如：求三分之五π的正弦、余弦和正切值。多數情況下學生僅能依靠已學得的兩種定義進行求解，但通過定義法進行學習不利于學生快速求解，當學生計算能力較差時更是容易出錯。當采用數形結合法進行學習時可以快速求解，其邏輯過程是這樣的：在直角坐標系中在角五分[y][x][o][A][P（1，y）][圖3-1]之三π上任取點P，畫輔助線AP，得到一個三角形Rt△PAO（圖3-1所示），通過各點的坐標得出各線段的長度，再根據定義1求解。這就是數形結合法在三角函數中的應用示例。

二、數形結合方法在概念中的滲透

數學知識的研究大都從概念的學習開始。要深入理解這個概念，必須對這個概念的形成，理解和應用三個階段進行學習。經歷了三個階段的學習，才能真正把握這個概念。所以，滲透數形結合思想的最好辦法就是教學過程的概念。

基于數形結合來進行概念性質的研究，不僅可以幫助學生完成概念的理解，而且進一步鞏固數形結合的思想方法，幫助學生形成讀這個概念的深刻理解。例如在理解雙曲線的定義時，僅靠三角形兩邊之差小于第三邊這一性質，就能深刻的理解雙曲線的定義。再例如，在均值定理中：對于兩個正數來說，其幾何平均數小于其算術平均數。在學習這個定理時，只要給出兩個數的幾何表示即可，即兩個正數的算術平均數可用兩條線段長度之和的一半來表示，兩正數的幾何平均數可由線段表示（由直角三角形的射影定理知）。通過分析，學生對這一個概念有了感性上的認識，深化了記憶，而且還培養了其構圖方面的能力。在理解概念的同時，對于數型結合的思想，學生必然會有更多的認識。基于數來構思形，通過形來推理數，使數形和諧統一，形成自覺運用意識。

三、根據實際的數學問題，提高解決問題的能力

數學知識的主要內容是數學方法和思想的組成，教師在教高中數學教學過程中，引導學生把實際解題中碰到的問題，使用數學組合的思維方法來回答，使學生養成利用數形結合方法來解決日常數學問題的習慣，主要是培養學生的邏輯思維能力，提高學生解決數學問題的能力。比如在函數值域碰到求值的問題中，數形結合的方法就可以被學生有效利用起來進行答題。舉例方法如下：

例1.f（x）=sinx/（cos-2）求出此函數的值域。首先根據題目數學教師來引導學生描繪出函數的圖像，再把函數形式給做出來，并且讓其形式變化成求斜率范圍的問題把A（2，0）設成定點，P（cosx，sinx）設成動點，那么直線AP的斜率就是負根號3和0，這樣就會清楚明了地被算出來了。

例2.求sin5/3π，cos5/3π，tan5/3π的值，在角3/5π的終邊取任一點P（1，y），在直角三角形中，OA=1，可以得出P點是1和負根號3。圖像輔助線在這道題目中起到了幫助學生快速理解題目并且做出答案的有效作用，讓答題的效率和質量得到提高。

四、向量問題

向量是高中數學教學的重要組成部分，它具有自身的幾何意義，也就是說，向量被用來形容集合對象。例如，比方說ab=0的幾何意義代表著向量a與向量b呈垂直關系，同時ab還代表著向量a的平方。教師通過將數形結合的思想方法運用在具體的向量教學當中，能夠在引導學生正確認識向量數量積的同時，幫助其準確掌握向量的實際幾何意義，從而立足于向量的代數性質，完成對幾何對象的描述。比如說在今年某省的理科高考數學當中有例題：已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m‖α，n⊥β，試求l與n的位置關系。在這一題當中考察的正是相等向量與相反向量以及空間平行與垂直位置關系的判定，學生通過繪制出相應的圖形并用向量將已知條件表明出來便能夠直觀地認識到n與l為垂直關系。

結論：

數形的結合不僅有助于學生解決數學中的的幾何、代數問題，而且還有助于學生將二者進行有機聯系及轉化。大多數初中數學的學習都是直觀和具體的問題，而高中數學問題大多是抽象化的理念運用問題，當學生巧妙地運用數形的結合來解決數學問題時，可以很容易地構建起銜接初中數學與高中數學知識的橋梁。作為老師，要充分發揮數形結合法在數學教學中的作用，促進學生數學成績的提高。

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