在合情與演繹推理中深化概念教學

【摘要】數學概念是人對客觀事物中有關數量關系和空間形式方面本質屬性的抽象。它既是數學基礎知識的重要組成部分，又是數學的邏輯起點，更是發展學生思維、培養數學能力的基礎。數學概念教學常用的兩種推理模式，即合情推理與演繹推理，雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構中因其自身的特質各自發揮著應有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構中又是相輔相成的。

【關鍵詞】概念教學；合情推理；演繹推理

【中圖分類號】G625 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）81-0035-03

【作者簡介】吳亞娟，江蘇省常州市武進區橫林實驗小學（江蘇常州，213161）校長，高級教師，常州市骨干教師。

在小學數學概念教學中，學生思維能力的培養既離不開感性的合情推理，也離不開理性的演繹推理。數學推理模式本質上有兩種，即演繹推理與合情推理，在一般情況下，人們是借助合情推理“預測”數學結果，借助演繹推理“驗證”數學結果。演繹推理和合情推理雖不相同，但是相輔相成的兩種推理，兩者不能人為割裂。

一、合情推理在概念建構中的條件解析

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）中明確：歸納和類比是合情推理的主要形式，因此，小學階段有相當一部分的概念必須通過比較、類比、聯想、歸納等創造性的思考來培養合情推理能力。其次，鑒于小學生的年齡與認知特點，教材中的概念教學大量地采用了數學猜想、枚舉歸納、類比遷移等合情推理的方法。

1.合情在概念從特殊到一般時。

概念教學由過程開始，然后轉變為對象的認知，因此，我們不應把概念過早推給學生，而是應該遵循從特殊到一般、從具體到抽象、從過程到結果的原則，逐步幫助學生明晰概念。如教學蘇教版五下《分數的意義》時，我們必須通過列舉大量日常生活中平均分配的實例來說明“平均分”，抽象“單位1”，從而自然而然地引出“分數”的概念。整個教學過程，教者充分運用合情推理從特殊到一般的模式，通過舉例、歸納、抽象出“分數”的本質概念，同時，借助“分數”概念的建構，學生的抽象概括能力、合情推理能力、總結提升能力都得到了有效提高。

2.合情在概念從特殊到特殊時。

當某一概念必須根據兩個不同對象的某些方面（如特性、關系、屬性等）的相同或相似點，來推出它們在其他方面也可能有的相同或相似的思維形式時，從特殊到特殊的合情推理就應運而生了。如在教學蘇教版六上《百分數》一課時，當教者借助大量的生活經驗引入百分數的概念后，又通過遷移舊知，讓學生認識了百分數的外在屬性，再通過回顧分數意義，搭建分數和百分數的聯系，然后從具體到抽象，逐步完善百分數的概念。但理解百分數的概念如果就此打住，那么，這堂課就成了為教概念而教概念了。因此，教者啟發學生思考：百分數定義中包含幾個數？表示兩個數之間怎樣的關系？接著出示例子“A是B的300﹪”，并將此例子與“A是B的3倍”“A是B的 ”“A∶B=3∶1”等進行對比，從而引導學生發現知識之間的聯系。最后得出結論：百分數與整數、分數和比一樣，可以用來表示兩個數之間的倍數關系，所以百分數也叫百分率或百分比。至此，百分數的概念就真正建構得非常完整而又深刻了。整個教學過程，教者通過類比的合情推理，把概括而得的百分數的本質屬性推廣到整數、分數、比等同類概念中去，它既是百分數概念的運用過程，又是一個在高層次上抽象概括的過程，最后把新獲得的百分數的概念納入到同一類別的概念體系中，建立新概念與原有概念之間的聯系，達到概念教學的高級階段。

3.合情在概念從猜想到驗證時。

“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現”，因此有些概念在建構的過程中必須要通過觀察、實驗、類比、歸納等手段提出猜想。教師應該積極創設條件，引導學生大膽猜想，縝密驗證，讓思維插上合情推理的翅膀。

例如在教學蘇教版五下“能被3整除的數的特征”時，學生易受能被2或5整除的數的特征影響，做出“個位是3的數都能被3整除”的猜想。因此，教學時，教師分別出示下列幾組數：（1）256、46、113、176、6、359、896；（2）21、18、129、36、243、234、342。當驗證完第一組后，學生馬上意識到原先的猜想是錯誤的，心中充滿疑惑的同時，探求新知的欲望油然而生。這時，教師馬上引導學生去觀察、驗證第二組，看看這些數能否被3整除，這些數又有怎樣的特征。由此，新的猜想誕生了：可能與各個數位上的數的和有關，于是，第二輪驗證又如火如荼地開始了。整個教學過程，教者通過引導學生大膽猜想、舉例驗證、總結提升，使合情推理的思維過程貫穿于教學的始終，“能被3整除的數的特征”這一抽象的概念在一次次的猜想、驗證、推理的過程中清晰建構。

二、演繹推理在概念建構中的條件解析

演繹推理是從一般到特殊的推理，雖然，小學階段以合情推理為主，但在2011版課標中明確提出，第三學段有必要引導學生“體會證明的必要性，發展初步的演繹推理能力”。特別是學生在遇到一些內容體系邏輯性較強、知識結構高度抽象的概念時，演繹推理能發揮合情推理所不能起到的作用。

1.演繹在概念內容體系邏輯較強時。

當概念邏輯性較強時，學生學習的過程都是以演繹的方法展開的，這時學生既不必要完全經歷數學發現的過程，發現學習也不可能成為學生學習數學知識的唯一形式。這時，演繹推理則是展開數學知識體系的主要形式。如在教學蘇教版六上《長方體和正方體的認識》時，我們一般是先引導學生通過觀察、測量、比較得出長方體有6個面、8個頂點、12條棱，并且每個面都是長方形，其中相對的兩個面是完全相同的，這是從面和棱的角度認識長方體。在此基礎上，用同樣的方法認識正方體的特征。接下來，如何在演繹中尋求長方體和正方體的關系，從而打通相互間的邏輯體系，就顯得尤為重要了，因此“正方體具有長方體的所有特征嗎？”這一問題，就引發學生借助知識之間的邏輯關系進行深入思考，而學生的思考過程以及所獲得的結論就是一個演繹推理過程。這一基于知識本質之間的推理，不僅有助于認識長方體和正方體的特征，而且能進一步厘清兩個概念之間的邏輯關系，從而培養學生的演繹推理能力。endprint

2.演繹在概念知識結構高度抽象時。

實踐表明，概念的本質特征越多，學習越容易，非本質特征越多，學習越困難，這時，演繹推理就能在一定程度上發揮其應有的作用。比如在教學蘇教版五下《圓的認識》時，我們應讓學生知道：在同一個圓中，半徑的長度都相等，直徑的長度都相等，直徑的長度等于半徑的2倍。如果教學時，我們單純地通過量一量、比一比，或者借助多媒體演示得出結論，那么，學生在數學思想方法的感受和抽象能力的培養上，就屬于較低層次。由此，教學時，我們可以通過畫、量、對比、歸納得出半徑的長度都相等，然后可以根據直徑和半徑的定義推理得出：直徑的長度是半徑的2倍，接著根據“等量的同倍量相等”，由上述兩個結論通過演繹推理得出：直徑的長度都相等。教學中，如果我們能像上述教學過程一樣契合實際地正確把握這種結構，用演繹推理的手段組織學習過程，不但能幫助學生掌握思考方法，理解高度抽象的概念內容的邏輯結構，還能提高學生的模式辨認能力，縮短推理過程，從而培養學生思維的縝密性、抽象性、邏輯性，并較好地發展學生的演繹推理能力。

當然，在概念教學中，培養學生的演繹推理能力，不僅要注意層次性，而且要關注學生的差異，要使每個學生都能體會證明的必要性，從而使學習演繹推理成為學生的自覺要求，克服“為了證明而證明”的盲目性。

三、合情與演繹的有機融合在概念建構中的條件解析

2011版課標對推理能力的內涵作了如下闡述：“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例。”這就是說，學生獲得數學結論應當經歷合情推理到演繹推理的過程，這雖然是兩種不同的推理路徑，但它們除了在不同的概念建構中因其自身的特質各自發揮著應有的作用外，兩種推理路徑在概念的建構中又是相輔相成的。

如在教學蘇教版四下“三角形內角和”一課時，教師先讓學生匯報兩種三角板每個角的度數，再說出每個三角板三個內角的和，引發學生猜想：“你認為每個三角形的內角和是多少？”學生紛紛猜測是180°，接著引導學生小組合作，任意剪出不同的三角形，并把每個三角形的三個內角剪下來拼在一起，學生通過觀察驚奇地發現，任意三角形三個內角拼在一起都是平角，至此“三角形內角和是180度”這個結論自然而然地被學生接受了，接著讓學生獨立計算“已知三角形的兩個角分別是72°和34°，求出第三個角”的練習，再要求學生說說自己計算的根據，最后再讓學生量一量算出的角度數，進一步感受結論的正確性。整個教學過程，教者先引導學生在觀察、分析、類比的基礎上，得出符合猜想的合情推理，然后讓學生自行計算、度量，演繹推理出結論的正確性。我們不難發現，這兩種推理方法的有機結合，學生更好地掌握了新知識，鍛煉了學生的推理能力，激發了學生學習數學的興趣。

在概念的建構過程中，如果我們能準確把握每種推理路徑的實質，并在各自的領域發揮其應有的作用，有時為了需要還能把這兩種推理路徑有機地結合起來，那就能使我們的概念教學，甚至是整個數學的教學過程達到一個知識與能力、思想與方法、過程與結果的完美統一。■endprint