數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“問題串”的設(shè)計

劉焱彬

摘 要：章建躍老師曾提出課堂教學(xué)要有貫穿始終的教學(xué)主線，而這個教學(xué)主線是基于對數(shù)學(xué)的理解和對學(xué)生的理解才得以形成的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)和課堂教學(xué)線索，并指出其基本表現(xiàn)形式就是“問題串”，“問題串”不僅要問得好而且還講究串得好，“問題串”要能揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要具有邏輯性，并循序漸進(jìn)、逐步深入地引導(dǎo)學(xué)生參與課堂。

關(guān)鍵詞：問題情境；學(xué)生活動；建構(gòu)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)運(yùn)用；回顧小結(jié)

首先從整體把握兩節(jié)公開課的教學(xué)情況，分別整理了在各個教學(xué)環(huán)節(jié)上兩位教師的教學(xué)行為，教學(xué)設(shè)計思路為：問題情境、學(xué)生活動、建構(gòu)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)運(yùn)用、回顧小結(jié)。兩位教師流程設(shè)計如下：

在初步知道函數(shù)f（x）=lgx+x-3的零點(diǎn)在（2，3），那該如何進(jìn)一步探求此零點(diǎn)的近似值呢？這是我們本節(jié)課要完成的任務(wù)。

【剖析】教師A的應(yīng)用問題設(shè)置有效針對了本節(jié)課的內(nèi)容來設(shè)計：問題（1）通過求解方程得到函數(shù)零點(diǎn)，問題（2）是利用函數(shù)圖象得到函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，問題（3）則是連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用。

教師B的應(yīng)用問題的設(shè)計不僅鞏固了本節(jié)課的內(nèi)容，而且為后續(xù)內(nèi)容“用二分法求方程的近似解”作了鋪墊。零點(diǎn)的概念出現(xiàn)在連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)——零點(diǎn)存在性命題之中，這個性質(zhì)是為“用二分法求方程近似解”服務(wù)的。課標(biāo)安排“用二分法求方程的近似解”，目的是為反映方程與函數(shù)的聯(lián)系，增加函數(shù)的“應(yīng)用點(diǎn)”，體現(xiàn)函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。從這一點(diǎn)可以看出教師B的問題設(shè)計不僅局限于本節(jié)課的內(nèi)容，而且更加關(guān)注對整個教材的理解。這一點(diǎn)也在后面的一課中作為亮點(diǎn)被提出。真可謂是一舉兩得，不僅解決了一開始提出的問題，而且承上啟下為后續(xù)內(nèi)容作了準(zhǔn)備。

教師A的回顧小結(jié)，本節(jié)課你的心得體會是什么？讓學(xué)生先回答，接著教師給出三個方面提煉：（1）一個概念（函數(shù)零點(diǎn)）；（2）兩種視角（數(shù)與形）；（3）三條途徑（用定理、解方程、畫圖象）。

教師B的回顧小結(jié)，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識？又學(xué)到了哪些重要的數(shù)學(xué)思想？接著教師用PPT展示：（1）一個定義：函數(shù)的零點(diǎn)；（2）三個等價關(guān)系：一個定理；零點(diǎn)存在定理，兩種方法：判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在的方法；兩個數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想。

【剖析】回顧小結(jié)是為很多教師所忽視的，常常是虎頭蛇尾，匆匆收場。很多時候教師也只是例行公事般羅列出知識點(diǎn)、思想方法等。教師A做得相對好一些，先讓學(xué)生去回顧總結(jié)，學(xué)生陳述的往往比較零散，不成體系，不夠精煉，教師A則從一個概念、兩種視角、三條途徑這三個方面引導(dǎo)學(xué)生去概括提煉，更易于學(xué)生去把握本節(jié)課的核心內(nèi)容，也有助于培養(yǎng)學(xué)生自我提煉整理的習(xí)慣。

接下來結(jié)合上文的觀點(diǎn)從整體角度審視一下兩位教師的教學(xué)，來分析一下教師A和教師B的教學(xué)主線以及問題的設(shè)置。

教師A的教學(xué)主線：具體一元一次方程的根與一次函數(shù)之間的關(guān)系概括一般函數(shù)的零點(diǎn)求解函數(shù)的零點(diǎn)（遇困難）數(shù)（方程）→形（圖象）→數(shù)（區(qū)間端點(diǎn)值）建構(gòu)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理辨析深化定理的理解應(yīng)用回顧總結(jié)

教師B的教學(xué)主線：求一組方程的解（遇困難）引入課題由具體一元二次方程的根與二次函數(shù)之間的關(guān)系概括得到二次函數(shù)的零點(diǎn)推廣得到一般函數(shù)的零點(diǎn)求解函數(shù)的零點(diǎn)（形→數(shù)）概括二次函數(shù)零點(diǎn)存在性定理推廣得到一般函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)用回顧總結(jié)

教師B緊扣教材經(jīng)歷兩次概括：一次是將二次函數(shù)的零點(diǎn)概括出一般函數(shù)的零點(diǎn)；第二次是由具體二次函數(shù)零點(diǎn)存在性條件概括出一般函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，類比推廣過程中需要注意條件的充分性。整個過程邏輯性強(qiáng)，準(zhǔn)確定位了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)并以此設(shè)置問題，且適合學(xué)生的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

教師A重新建構(gòu)了教材的教學(xué)思路，淡化了函數(shù)零點(diǎn)的定義，在求解函數(shù)零點(diǎn)問題中通過設(shè)置障礙與學(xué)生形成認(rèn)知沖突，充分運(yùn)用函數(shù)存在零點(diǎn)在圖象上的特征引導(dǎo)學(xué)生概括建構(gòu)定理的條件。把重心放在定理的辨析和理解上。最后沒有時間給予學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)，當(dāng)時評課時這一點(diǎn)曾經(jīng)產(chǎn)生爭議，認(rèn)為沒有當(dāng)堂應(yīng)用，課堂結(jié)構(gòu)不夠完整。但實際上有時課堂不必為了結(jié)構(gòu)的完整而受到約束，有時就需要尊重課堂現(xiàn)實。通過設(shè)置問題讓學(xué)生經(jīng)歷舉反例進(jìn)行辨析所達(dá)到的對定理的理解遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出幾道練習(xí)題所收到的成效。

值得商榷的是從問題的設(shè)計來看，有的問題提的還是有缺陷的。比如在揭示“方程與函數(shù)的聯(lián)系”時，教師A盡管也是通過問題的形式讓學(xué)生從數(shù)、形兩個視角獲得一元一次方程的根與相應(yīng)一次函數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的定義，但是問題本身已經(jīng)直接點(diǎn)出了一元一次方程與一次函數(shù)的聯(lián)系，等于是教師代替學(xué)生將求解方程的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，學(xué)生失去了一次知識之間聯(lián)系的訓(xùn)練機(jī)會。教師B同樣是如此，問題本身已經(jīng)點(diǎn)破方程與函數(shù)的聯(lián)系。那么該如何設(shè)計能讓學(xué)生自己主動將方程求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題呢？這里給出一個示例：方程3567x2-3569x+1=0有實數(shù)根嗎？你有幾種方法來判斷？這個一元二次方程的系數(shù)較大，“迫使”學(xué)生無法分解因式求解，而只能另辟蹊徑。經(jīng)過實踐發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生都能想到判斷Δ，還有少數(shù)學(xué)生想到了聯(lián)系二次函數(shù)f（x）=3567x2-3569x+1的圖象，開口向上，且根據(jù)系數(shù)特征很容易發(fā)現(xiàn)f（1）=-1<0，于是運(yùn)用二次函數(shù)的圖象特征來得到結(jié)論。由此在課堂上交流讓學(xué)生初步領(lǐng)會方程與函數(shù)的聯(lián)系，接著給出函數(shù)零點(diǎn)的定義，并順勢提出“方程f（x）=0有實數(shù)根函數(shù)f（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)f（x）有零點(diǎn)”的結(jié)論，這樣的過程讓學(xué)生感覺更加自然，且有一定的挑戰(zhàn)性，既聯(lián)系了已有的知識，也讓自己的思維“跳一跳”，貼合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

本文通過深入課堂考察數(shù)學(xué)概念課的實施情況，試圖尋找目前概念教學(xué)中存在的問題，以便有針對性地提出改進(jìn)措施，從而進(jìn)一步促進(jìn)改進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)。研究“問題串”的設(shè)計尋求數(shù)學(xué)概念的有效教學(xué)，通過“問題串”的設(shè)計讓數(shù)學(xué)概念自然生成，努力揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生形成自己的理解力。endprint