計算教學與數學思想方法的滲透

楊凱明

摘 要：數學思想的教學，是提高學生計算能力的重要教學途徑。教師只有在每堂課的教學中適時、適當地體現思想方法的教育目標，才能讓學生在潛移默化中能夠日積月累。而只有學生掌握了數學思想方法，知識才能真正做到融會貫通，全面提高思維品質。

關鍵詞：計算教學；數學思想；滲透

數學思想，是一種以數學的角度看待事物，以解決數學問題的方法解決事物的思想。數學思想是解決數學問題的根本思想。如果學生具備了數學思想，就能應用這套思想來解決一切數學問題；反之，如果不具備數學思想，就會找不到解決問題的方法。古人云：“泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細流，故能就其深?！睌祵W思想是一種非常宏觀的思想。因此，教師要在計算教學中滲透數學思想，使學生能以數學思想的方式找到計算的規律。

在小學計算部分的教學中，教材上貫穿例題的教學內容以培養學生的計算技能為主，學生在學習課本中的知識時，獲得的是計算技能。然而，學生如果僅僅只具備計算技能，是不能理解技能形成的原理、應用的思想的。假如學生不理解計算技能背后的數學思想，則可能無法靈活地應用計算技能。在課本沒有重點描述數學思想的情形下，教師要通過數學思想的滲透讓學生一邊掌握技能，一邊理解技能背后呈現的數學思想，令學生意識到看似簡單的“計算教學”，往往蘊含了非常豐富的有關數學思想的教育素材。因此，教師應充分抓住計算教學中的素材，使其中的數學思想方法得到挖掘和滲透。

一、縱橫聯系，挑亮“類比思想”的火焰

類比推理，又可以稱之為不完整的推理。完整的推理要求人們掌握全部的推理素材，應用一種邏輯來推理素材與素材之間的內在聯系，然后搭出一個嚴謹的推理框架，得到一個概念結論。而類比推理沒有這樣嚴謹的要求，它只要求人們找出素材與素材之間的邏輯聯系，然后用一個素材的原理來推理另一個素材的原理。人們應用類比推理的方法來理解事物時，不要求推理的過程非常嚴謹，允許人們在推理以后驗證推理是否合理。類比推理，是人們遷移知識的重要思想。筆者整理了類比法在小學數學“計算教學”中的滲透，主要有幾塊內容（如圖1）。

如四年級上冊《小數的加、減、乘混合運算》（教材如圖2）就是將小數的四則混合運算、運算律與整數進行了類比。

在學生獨立解答的基礎上進行交流，一般學生會出現分步與綜合的不同列式，結合分步列式中每一步的意義，教師提出“小數四則運算的順序是怎樣的”的問題。結合解決問題說說算式中每步的意義，還可以幫助學生體會類似“2.8×3+6.1×3”的混合算式，兩步乘法可以同時進行。之后，教師再引導學生解讀智慧老人的話，想一想：整數中我們學過哪些運算律？剛才的計算過程中有沒有用到運算律？在不斷反思和整數四則混合運算及運算律的類比中，明晰整數的四則混合運算順序和運算律在小數四則混合運算中仍然適用。

二、研讀教材，播撒“函數思想”的種子

在小學數學教材中，沒有正式引入函數概念與函數關系式。然而，小學數學的公式便可以視作一種簡單的函數模型。教師可引導學生從公式著手理解函數的思想?，F應用常見的計算公式說明小學數學的計算教學中處處滲透著函數思想（見表1）。

我們一起來看下北師大版二年級上冊《做個乘法表》（如圖3）。

學生完成表格后，先讓學生自己觀察，說說發現了什么？教師有意識地適當引導觀察每列算式的兩個乘數、積的特點，可以發現：乘法表中的每一列乘法算式，都是一個乘數不變，積隨著另一個乘數的變化而變化。于無形中孕育、播撒函數思想的種子。

在整理完乘法表格后，九九乘法表是要求學生背誦的。學生理解了積和乘數之間的這種關系，比如背誦時記住了“四七二十八”，忘記了“五七三十五”，就可以想想28+7=35，馬上就背出來了。教師引導學生理解九九乘法表，實際上就是引導學生理解函數的思想。教師可引導學生把計算的結果當作y，把被乘數當作x，把乘數當作系數，讓學生從y=1x，y=2x，y=3x，…來理解乘法表。學生在理解乘法表的時候會發現y與x存在一種關系，九九乘法表的關系是以1，2，…， 9的關系遞增的。結合這一函數公式，學生便能理解九九乘法表的真正意思，從而結合學過的加法知識迅速記憶九九乘法表。

對于小學生來說，要理解函數思想還有些困難，這是由于小學生的抽象思維能力還沒有形成，很難從宏觀的、抽象的角度來理解知識。然而教師不能因為學生的抽象思維能力不足而不引導學生形成函數思想，反而教師要引導學生在學習各種公式時，應用函數思想來理解公式。從心理學的角度來看，只要學生長期受到這樣的訓練，就能慢慢內化這種思想，并且以后能本能地應用這種思想來解決問題。

三、靈活運用，放射“數形結合思想”的光芒

數形結合思想就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維相結合。“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛數缺形時少知覺，形少數時難人微，數形結合百般好，隔離分家萬事非，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離?！边@是華羅庚關于數形結合的一首詞。

特別是在計算教學中如果能夠以形助數，則可以使運算意義和運算定律的意義變得直觀形象，有利于學生理解意義的實質；還可以將抽象的算理變得簡明形象，有利于學生深刻、透徹地理解算理。因此，計算是滲透數形結合思想非常好的一個載體。

例如：（1）華山是我國著名的五岳之一，海拔約2155米，四舍五入到百位大約是多少米？

出示圖4，先讓學生在圖上標一標，然后再根據圖形分析，直接寫出2155≈2200。

（2）一個數，四舍五入到萬位后約等于6萬，這個數最大是（ ），最小是（ ）。

這道題目假如憑空想象，對于大部分學生來說非常抽象，但是結合數線（如圖5），則可以輕松解決問題。

通過數線可以看出，這個數在55000和65000之間，但不包括65000，所以最小是55000，最大是64999。endprint

在解決上述問題時，運用“數形結合”讓問題的剖析直觀化，幫助學生理清了思路，找到了解決問題的方法。更重要的是圖形呈現的數線，不僅讓學生便于描述自己的想法，而且還可以提高學生的數學表達能力，促進學生的個性化發展，更是于無形中滲透了數形結合的思想。

四、點播提煉，挖掘“轉化思想”的生長點

數學知識是呈現從簡到繁、由易到難的過程。教師要引導學生應用轉化思想來思考知識，使學生能把復雜的知識簡單化，把宏觀的知識具象化、把集成的知識分類化。轉化思想是數學學習的法寶之一，具有重要的意義和作用。我們一起來看看轉化思想在小學數學計算教學中的滲透（如圖6）。

以四年級下冊“小數乘法”這一單元為例，小學生在學習乘法時，最易犯的錯誤是沒有正確打小數點。教師可以引導學生思考3.2×1.1，結果有幾個小數點？3.2×1.11有幾個小數點？3.2×1.111有幾個小數點？以此類推，反過來，3.22×1.1有幾個小數點？3.222×1.111有幾個小數點？那么乘數、被乘數、積之間小數點的關系是什么？教師可引導學生結合函數思想來分析小數乘法計算的規則。學生結合函數思想，便能理解積的小數位數=乘數的小數位數+被乘數的小數位數。這就是把數學計算問題轉換成函數問題的案例。

在計算教學中滲透轉化的思想，有時也需要我們教師的“潤物細無聲”。如在一年級教學“8和7加幾的進位加法”時，本節課是在學生已經會用“湊十法”計算9加幾的基礎上進行教學的。然而什么樣的情況適合應用“湊十法”，什么時候不適合應用“湊十法”？“湊十法”的科學應用規則是什么呢？比如當學生計算“8+7”，運用“湊十法”變成“8+1+6”時，教師應該及時抓住學生的可取之處進行評價，有針對性地進行反饋，“你把8+7轉化為我們已經學過的9+6，把一個新的問題轉化為舊的問題。這樣的做法，在以后的學習中我們還會經常用到哦?！苯又僮穯枺骸暗?+6等于多少，有些同學的計算還不太熟練，上節課我們是把9+6轉化成幾加幾的呢，你能幫幫他們嗎？”如此處理，引導學生重新回到運用“湊十法”來解決問題，讓“轉化”的解題策略在孩子的心中悄然扎根。

五、善于總結，張開“歸納思想”的翅膀

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。在小學數學的教學中應用比較廣泛的是不完全歸納法。歸納是學生個體自我完善和發展的有效手段之一，是小學生在學習過程中將零碎的知識變成系統性知識的一種能力。在計算教學中，很多法則、公式和定律的推導，都是在列舉特殊例子的基礎上得到的。

小學數學歸納法的教學，滲透在計算教學中主要體現在以下幾個方面。

1. 計算法則的歸納

整數的加、減、乘、除的筆算，都是通過幾個有限的由易到難的例子，讓學生在理解算理和口算方法的基礎上探索計算的方法，最后再進行算法的總結。這種法則的得出就是運用了歸納法。如一位數除多位數的計算法則的歸納總結，學生在已經掌握了表內乘除法和整十、整百數及兩位數除以一位數的口算的基礎上，通過利用豎式計算“68÷2=”“48÷3=”“888÷6=”來探索、交流、歸納計算法則。

2. 運算性質的歸納

商不變的性質、分數的性質、小數的性質、等式的性質、比的性質、比例的性質等，都是小學數學計算教學中的重要性質，這些性質都是先通過舉例，然后再讓學生進行探索、交流，最后歸納總結得到的。比如分數的基本性質（教材如圖7）。

以上就是給予學生學習實例，讓學生在實例的基礎上歸納數學計算公式的方法。學生通過觀察圖形歸納出計算的公式：“分數的分子和分母同時乘或除以相同的數（0除外），分數的大小不變”。在這個過程中不僅滲透了函數思想，更是運用了歸納推理的方法。教師不僅可以引導學生用以上實例來歸納數學公式，還可引導學生逆用歸納法來理解數學公式。比如教師可引導學生用舉例的方法來歸納小數加、減、乘、除的計算原理。當學生能正用、逆用歸納法時，就能應用歸納法來吸收及詮釋知識。

3. 運算定律的歸納

運算定律的本質就是運算中的規律，而規律的抽象和方法有二：一是采用邏輯推理進行科學論證得出規律，然而四年級的學生一般來說還不具備這樣的抽象的邏輯推理能力，所以通常采用第二種方法，即用不完全歸納法抽象概括，列舉出一定數量的式子，從中發現規律、驗證規律、總結規律，在此基礎上概括歸納出運算律。由此可以看出，歸納法這一數學思想方法在計算教學領域中的滲透及運用是非常廣泛的。

在計算教學中，教師如果要引導學生理解數學思想，還需要引導學生理解數學思想應用的基礎。比如教師要引導學生用抽象的方式閱讀文本、用符號的方式表示數字、用邏輯的方式思考問題與問題的內在聯系、用發散的方式尋找類比推理的依據。教師要不斷地開展這類教學，并在教學中滲透數學思想。波利亞說：教師應該把三分之一的努力花在教學基本的數學上，而把三分之二的努力花在培養學生的思維方法和思維習慣上。從這句話中我們可以體會到數學思想方法在數學學科中的重要性。因此，在日常教學中如何滲透數學思想方法，尤其針對教學任務占比如此大又容易讓廣大教師忽略的計算教學，教師更應該去好好地挖掘與滲透，有意識地讓學生在計算的學習中去體驗、運用。endprint