關于平行公設的一個初等探討

徐成照

[摘 要]平行公設也叫歐氏第五公設或平行公理，是建立歐氏平行理論的出發點及主要依據.其內容是：若平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小于兩直角，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交.探討這一公設對開闊教師視野，提高教師素質有一定的現實意義.

[關鍵詞]平行公設；歐氏幾何；初等；探討

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2017）32001601

《幾何原本》中著名的第五公設是：“同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩內角之和小于兩直角，則這兩條直線無限延長后在這一側一定相交.”它引發了幾何史上最著名的、長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何.

由于第五公設較為復雜、抽象，歐幾里得本人也只在《原本》第一卷命題29用過一次，以后就不在用.人們對它產生了懷疑.一直不被世人所公認.兩千多年來，無數數學家及數學愛好者都想方設法去證明它，他們都走入了循環論證的圈套，給出的都是一偽證明，可都無功而返，至今懸而未解.

大家知道，可以用一個更為直觀、易于驗證、為世人所公認的平行公設來代替第五公設.平行公設——在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行.本文采用初等數學知識來探討平行公設的合理性，這將有助于幫助學生更好地理解平面幾何的基礎知識，也能為教師的教學提供有益的參考.

綜上所述，在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行是絕對正確的.

（責任編輯 黃桂堅）