淺談絕對值函數在高考中的幾種考查

☉江蘇省宿遷市文昌高級中學 王少鵬

淺談絕對值函數在高考中的幾種考查

☉江蘇省宿遷市文昌高級中學 王少鵬

近幾年，含有絕對值不等式問題的高考題經常出現，這些試題新穎別致，靈活多變，綜合性強，難度大，得分很低.筆者以絕對值函數常考的幾種題型來談談此類問題的解法.

考查一——兩個絕對值相加的函數最值的求法

例1求函數f（x）=|ax-b|+|cx-d|（a＞0，c＞0）的最小值.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

小結：由（1），（2），（3）可知：

也就是說，當正數a和c不相等時，求f（x）min，只需比較正數a和c的大小，哪個大，最小值點就為其所屬絕對值里面函數的零點.

考查二——多個絕對值相加的函數最值求法

我們熟悉函數（fx）=|x-a|+|x-b（|a＜b）的性質，其解法可以用函數性質解答，也可以用絕對值求解.事實上，我們很容易想到：若是n個絕對值相加會是什么情況呢？這類問題其實有章可循，可以利用圖像特征求解最小值.進一步，再思考：當x的系數不全為1時，其最值又如何求解？下面就借助函數（fx）=作進一步的探討.

例2若不等式恒成立，求實數m的取值范圍.

解析：不等式可化為|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立.

又函數y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值為f（1）=3，于是只需3＞2m，得

例3求函數y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相應x的值.

解析

考查三——含有一個絕對值的函數最值的求法

學生對含參帶絕對值的函數的題型都有畏懼心理，這種題型綜合性強，學生對其分類討論的思想辨別不清，對其所需要的分類討論能力還不夠.這類問題，可以充分利用絕對值不等式的性質：||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|，其中等號成立的條件滿足

筆者通過自己的教學實踐，談談這類題型的解法.

（1）略；

（3）若對任意實數a，b，總存在實數x0∈［0，4］使得不等式（fx0）≥m成立，求實數m的取值范圍.

解析：本題出現，本質上還是二次函數，我們只需換元：令則（fx）=h（t）=|at2-t+b|.

（3）原題等價于對任意實數a，b，總存在實數t0∈［0，2］使得不等式h（t0）≥m成立.先讓a，b固定，記M（a，b）是h（t）在［0，2］上的最大值，于是只需M（a，b）≥m，?a，b∈R，而這又等價于當a，b變化時，M（a，b）min≥m.由（2）可知，，接下來，我們來求M（a，b）min.

本題解法沒有完全從函數角度討論，而是結合絕對值不等式的性質解決.

美國著名數學教育家波利亞曾說：“一個專心的認真備課的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”在高中數學教學中，作為一線教師，應多研究解題，多角度考慮，開闊學生視野，發散學生思維，優化學生解題方法.長期以往，我們就能收到意想不到的效果.