一道三角試題引發(fā)的一點(diǎn)思考

許四軍

摘 要 本文以一道有關(guān)三角的化簡求值問題為引例，從不同角度去思考如何展開三角函數(shù)一章中多個知識點(diǎn)及方法的復(fù)習(xí)，從而幫助學(xué)生能迅速復(fù)習(xí)及鞏固所學(xué)三角公式及方法，同時引導(dǎo)學(xué)生如何進(jìn)行發(fā)散思維。

關(guān)鍵詞 三角 復(fù)習(xí) 發(fā)散思維

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

筆者在一次三角復(fù)習(xí)課時，遇到下面的一道關(guān)于三角化簡的簡單問題：

引例：化簡求值：

本題考查三角恒等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于簡單題。但是大家都知道三角函數(shù)在高考中的分量比較重，而本章的公式在高中數(shù)學(xué)各章中是最多的，對學(xué)生而言，記憶較為困難。通常情況下，在進(jìn)行三角復(fù)習(xí)時，很多學(xué)生都是先花時間去整理歸納三角的公式，課后再去死記或者去默寫，測試等方式去記憶這些公式。這樣做當(dāng)然無可厚非，訓(xùn)練多了，大部分學(xué)生都能記住并應(yīng)用，但是對于一些后進(jìn)生而言，可能比較困難。因?yàn)殡x散的東西總是不好記憶，如果像穿珠子一樣，把這些公式用一根主線（如問題）全部串聯(lián)在一起去記憶，是不是效果要好呢？

經(jīng)過實(shí)際教學(xué)情形，本文嘗試對于引例給出以下不同解法，這些解法分別涉及到三角恒等式中的兩角和與差的正余弦，正切公式、二倍角公式、輔助角公式以及平方差、完全平方公式等各個公式，涉及到拆角思想，三角中常見公式的逆向運(yùn)用和 “1”的巧用等思想方法，同時給出一些思維變式訓(xùn)練。通過本題的各種解法，可以發(fā)現(xiàn)這些知識點(diǎn)之間并不是相互孤立的，而是存在著密切的內(nèi)在聯(lián)系，它們就像一張知識網(wǎng)一樣構(gòu)成了一個有機(jī)整體。

法一：利用二倍角余弦公式或拆角思想求出15€暗惱嘞抑？

解： cos30€？= cos215€？= 12sin215€？= 2cos215€？ =

解得，sin15€？= ，cos15€？= 。

這樣，代入原式得結(jié)果為 關(guān)于拆角思想，可將15€安鴣？5€？30€？或60€？45€？等，再結(jié)合兩角差的正余弦公式可得結(jié)果。此外，可要求學(xué)生記住如何求15€凹？5€暗惱嘞抑導(dǎo)巴頻跡徊嬌傻胻an15€？= 2 ，tan75€？= 2 + 。

法二：利用平方差公式，上下同乘以分子，再利用二倍角正余弦公式

解：原式分子分母同時乘以sin15€？ cos15€暗？

原式=

= = =

注：當(dāng)然分子分母同時乘以sin15€？+ cos15€耙部傘U庋砜傻玫狡椒講罟膠屯耆椒焦降男問劍夂莧菀紫氳餃侵卸督怯嘞夜膠駝夜健？

法三：上下同除以15€暗撓嘞遙昧澆遣畹惱泄？

解：原式分子分母同除以cos15€？得

原式= =

= = tan（45€？ 15€？= tan30€？=

注：本解法利用了1=tan45€？這個技巧，構(gòu)造了兩角差的正切公式的展開式，逆向使用該公式可得結(jié)果。這里可向?qū)W生強(qiáng)調(diào)三角公式的逆向運(yùn)用的重要性。

法四：先判斷正負(fù)號，然后利用二倍角正弦公式求平方值，再開根號。

解：由于0

這樣，原式= =

= =

注1：此法容易讓我們聯(lián)想到，對任意角 ，下面三者：

sin +cos ，sin cos ，sin cos

間的平方關(guān)系為：（sin €？cos ）2 = 1 €？2sin cos ，進(jìn)一步讓學(xué)生思考，辨別，解決并總結(jié)以下問題：

問題1：求函數(shù)f（x）=sinx+cosx的值域；

問題2：求函數(shù)f（x）=sin2 x+cosx的值域；

問題3：求函數(shù)f（x）=sin2 x+sinxcosx的值域；

問題4：求函數(shù)f（x）=sin x+cosx+sinxcosx）的值域。

（答案分別為： [，]， [1，]，[，]，[1，+]）

注2：方法延伸：結(jié)合本解法，思考以下變式訓(xùn)練：

已知180€埃肌。？60€盎潁？ （答案為）

法五：利用輔助角公式及兩角和與差的正余弦公式進(jìn)行逆向化簡。

解：由于sin15€？ cos15€？= （sin15€？ cos15€？

= sin（15€？45€？） = ，

同理，sin15€？+ cos15€？= （sin15€？cos15€？

=sin（15€？+45€？ =

把以上結(jié)果代入原式得結(jié)果為

注：一般地，對任意角 ，根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式我們有下面的輔助角公式：asin +bcos = sin（ + ），其中 滿足tan = ，或者，上式右邊換成cos（ ）其中 滿足tan = 該公式其實(shí)是兩角和與差正余弦公式的逆向運(yùn)用。

以上各種解法所涉及的知識點(diǎn)及方法都是三角函數(shù)一章中的基本要求，學(xué)生務(wù)必掌握。教師在進(jìn)行三角復(fù)習(xí)時，可以不必先花時間來進(jìn)行知識的梳理總結(jié)，因?yàn)楹芏鄬W(xué)生會覺得枯燥。如果通過目標(biāo)引領(lǐng)（本文的引例），結(jié)合問題來思考解決，進(jìn)而總結(jié)出知識點(diǎn)及方法。這種復(fù)習(xí)方式也許會讓學(xué)生對知識方法的理解更深刻。