結構化：一種必備的數學核心素養

夏玉英

【摘要】數學教學應該以數學本質為源，關注單元知識與階段性知識結構化的設計，通過整體架構，倒逼知識解構與再建構，在解構與建構中尋求聯系，培養學生思維的結構化素養.

【關鍵詞】結構化；思維訓練；核心素養

布魯姆說過：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構”，數學學科也不例外，它除了本身知識、技能等結構元素外，還包含各個構成元素之間的聯系，而主動建構這種聯系，就要幫助學生形成“結構化”的思維.在教學前有統領教材整體意識，以數學本源為線索，有效整合教材知識，關注單元知識與階段性知識結構化的設計，通過整體架構，倡導小學高年級結構化教學，并立足學生的思維水平，在實際教學過程中，以思維結構化為導向，在解構與建構中尋求聯系，樹立系統教學理念，從知識的整體性這個高度出發，訓練學生思維的結構化，關注師生之間“教”與“學”關系的重建，再造課堂結構、教學流程，為“教”與“學”增值，更有助于發展學生的數學核心素養.那么，如何實現在教學中對學生進行結構化數學思維培養呢？

一、關注單元知識結構化設計

在數學教學中，有的教師往往缺乏對數學知識的整體結構的認識，只關注“點”的呈現，局限于課時教學，容易割裂知識的結構，削弱或偏離了數學學科的課程目標，其次缺乏對學生學習過程的整體設計，滿足于當前教參的活動設計，視野短期化，忽略甚至局限了對學生數學思維結構和學習能力的長期培養，作為教師，應該樹立系統的教學理念，教學前關注單元知識結構化的設計，將相關領域的知識通過橫向架構，有機滲透，融入在教學過程中，使學生的學科素養得到整體提升，這才是我們要做的.

例如，學生在學習完“多邊形面積”復習后完成練習（圖1左）題時，

出現這道求陰影部分的面積，幾乎所有的學生都采用S陰=S梯-S三來求得，而當接下來的練習中再次出現此類題但是缺少一個已知條件（圖1右）的時候，學生束手無策，很多教師也用了假設法來進行講解，這顯然違背了教材的本意，其實我們在教學三角形面積的推導時，如果從教材常規思路這個基點出發，再次有意識深入引導，設計以下環節，我想會有效得多.① 出示長方形和平行四邊形，都被對角線分成兩個完全一樣的三角形，探究得出三角形和長方形（平行四邊形）之間的關系——等底等高，從而得到三角形的面積一定是與它等底等高的長方形（平行四邊形）面積的一半；② 出示（圖2）比較：把三角形的一個頂點沿著長方形的長不斷移動，可以得到很多形狀不同的三角形，那么這里的三角形是不是都是長方形面積的一半？為什么？那么你能否推想得出下列三角形和平行四邊形面積之間的關系呢？

③ 拓展（圖3）：兩個長方形（平行四邊形）形狀相同、面積相等，比較兩個三角形的面積，誰大一些？④ 深入推理：如，在長方形中，分割了兩個三角形（圖4），那么這兩個三角形的面積和長方形面積有什么關系？分成三個？四個呢？⑤ 延伸：通過前面的學習，你能對下圖兩個三角形的面積轉化成一個三角形的面積嗎？如此設計，那么對于如（圖5）“已知長方形的長25厘米、寬10厘米，求陰影部分的面積”此類有關題型，學生都能迎刃而解，自然地，剛剛前面的陰影部分也可以根據這一規律轉化成一個三角形的面積求得（圖6）.教師通過這樣的設計幫助學生在運動變化聯系中更直觀地發現一般性規律，為后續高階段的結構化思維做了良好的積淀.

從上面的例子可以看出，在實際的教學中，如果教師能注重數學的本源，立足知識的整體性，尋找不同知識間的本質聯系，從小處入手，關注課時知識與課時知識之間的整合，可以更好地梳理和構建橫向邏輯框架，為培養學生結構化思維提供可能.

二、關注階段性知識結構化設計

教師除了關注課時與課時之間的橫向知識結構化整體性的把握，更要關注階段性知識之間的思維整體的結構化，構建縱向的邏輯框架，同時，關注知識本源與學習本源之間的溝通，在聯系與溝通中發展遷移抽象的能力.比如，在教學“分數的意義”，在分數意義的應用過程中，學生很容易混淆用來表示數量倍比關系的分數以及用來表示具體數量的分數.我們可以努力嘗試尋找相關的舊知識，將新舊知識進行對比，把分數與整數構建整體性聯系起來.

我們在教學例2、3伊始，先由“把8塊餅干平均分給4個小朋友，每人分得多少塊？”來引入，得出基本數量關系，總數÷份數=每份數，由此，從總數的“8塊”不斷地縮小為“3塊”“1塊”，其余條件問題不變，得出，數量關系不變，仍然是求每份數，仍用除法來列式計算，再借助直觀形象的實物圖，通過動手操作演示說明得出兩種不同的分法，引申出兩種含義：一塊餅的四分之三，三塊餅的四分之一，都是四分之三塊，說明求每份數是求具體量，后面有單位“塊”，由此，借助除法的意義拓展了分數的意義：分數不僅表示部分與整體之間的關系，還表示求出的每份數（不滿1時可以用分數表示）.同樣，例4的教學，也是如此，從“紅彩帶4米，黃彩帶8米，黃彩帶的長是紅彩帶的幾倍？”入手，得出基本數量關系：幾倍數÷一倍數=倍數，接著，從“黃彩帶8米”，不斷地縮小為“2米”，“1米”明確數量關系不變，仍是求倍數，仍用除法來計算，得出分數還表示兩個數量倍比的結果（沒有單位名稱）后，再回到第一課時分數的意義，教材第52頁的練一練，第1題中的六分之一、七分之五……四分之三其實也可以看作：“1塊三角是6塊三角（六邊形）的幾分之幾”，“5塊方塊是9塊方塊（正方形）的幾分之幾”……“3份圓圈是4份圓圈（一個整體）的幾分之幾”再次拓展、豐富了分數的意義，突出了“分數”這一概念的內涵：不僅表示部分與整體的關系的結果，還表示兩個數量之間比較的結果，更好地把握了分數與整數的關系，感受分數的產生是整數發展的必然結果，那么如上提到的第57頁的練習的解決也能水到渠成，同時，為后面學習稍復雜的分數應用題做了很好的鋪墊.

三、關注教材重組結構化設計

作為教師不僅要注重教材橫向和縱向的研究設計教學過程，有時對教材本身的解讀也需要有反思意識，通過對教材的重組整合，整體把握知識結構，重新設計新的思路，盡可能使學生所學的知識有拓展延伸性，訓練學生結構化思維，提升學生綜合性地、創造性地解決問題的能力.如，教學“簡易方程”時，先教學等式的性質，然后再利用等式的性質進行解方程，舍棄了傳統的利用四則運算的六種關系來解簡易方程，是不利于關于方程解法的中小學的銜接，也不利于學生體會“同解變形”這一解方程的核心思想，在教材的練習中回避了除數和減數為未知數的方程，不過在解決實際問題中，很難避免會列出形如a-x=b這類的方程，學生往往會束手無策，一方面，我注重對于含有字母的式子（代數式）進行恒等變形的強化訓練，更啟發他們靈活應用等式的性質進行思考，體會“同解變形”這一核心思想之外，另一方面，引導學生利用學過四則混合運算的六種關系這一舊知來思考，幫助他們從不同角度理解方程的解法，說明利用等式的性質和四則混合運算的互逆關系解方程兩者并不矛盾，并對這兩種方法進行比較分析，最后把這一性質應用拓展到有關圖形面積的計算，例如，（圖7）甲三角形的面積比乙三角形的面積大6平方厘米，求CE的長度.根據條件得出甲的面積=乙的面積+6，利用等式性質，在等式的左右兩邊同時加丙的面積，就可以轉化成正方形的面積=三角形的面積+6，算出三角形面積從而使問題得到解決，這樣的課例，感覺才是等式性質的最好體現和應用.endprint

通過課前的設計，后期的實際教學，學生很好掌握了此類知識，對這類的探究過程形成清晰的認識，在實際遇到的各類有關圖形的面積關系都能靈活計算，教學就是這樣，深入知識內部去整體把握，科學設計，擺脫了原有課時的束縛，充分尊重學生的學習需求，靈活使用教材，更有利于學生將新知主動納入到原有的認知結構中，更有利于發展學生的結構性思維，那么對于如（圖8）：已知正方形甲的邊長是5厘米，正方形乙的邊長是4厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？（第1317期《小學生數學報》），學生不僅可以用一般方法求得，更可以連接AC用等底等高知識把陰影部分的面積轉化成右小正方形面積的一半，使計算更為簡潔，思維更為明朗.

四、關注階段性復習中教學過程的設計

教師除了從教材出發在教學前整體把握內容框架，關注知識的整體性以外，在實際的教學中，更要立足學生的思維水平，以思維結構化為導向，在每個單元的復習階段根據教學進程及教學內容設置感性的積累環節，在豐富的表象積累的基礎上，對原有的知識經驗進行重組，也就是倒逼知識重新建構，在解構和建構的動態交互過程中，引導學生聯系以往的知識，整體把握各知識點之間的關系，訓練學生在遇到問題時有深度的思考，用結構化的方法理解題意，有效表達，主動結構和完善自己的認知結構和思維方式，培養學生結構化思維，引導學生運用推理和歸納等高級的抽象的概括思維去解決問題，達到舉一反三觸類旁通的目的，顯得尤為重要.如，有關長方形和平行四邊形的周長與面積的比較，教材一共出現以下三種類型：（1）平行四邊形面積推導過程中，沿著平行四邊形的一條高剪下一個三角形或梯形平移后可以轉化成一個長方形；（2）把一個由木條釘成的長方形木框拉成平行四邊形；（3）（圖9）20本練習本摞成長方體，它的前面是長方形，再把這摞練習本均勻地斜放，前面變成了一個平行四邊形.

學生思維的深度決定學生思維水平的高度，通過設置豐富生動的前置性體驗活動，課上探究活動和后續鞏固活動，積累豐富的經驗，從這三個典型的實例中通過對比觀察，探究實踐分別從題目本身、解決方法、結論等角度抽象概括共同特征，找出規律性的知識來，所以，在復習期間出現的如，“同樣長的兩根鐵絲，分別圍成長方形和平行四邊形，比較它們的面積和周長的大小”時，學生很快能借助假設、畫圖、列舉等策略（圖10）.如，當周長都為4厘米的時，平行四邊形的底和高之間的差越小，即底和高越接近正方形，面積越大，而長方形的長與寬之間的差越大，即形狀越扁，則面積越小，從而很輕松得出“周長不變，面積無法確定”這一結論，不會再受到思維定式的影響，而是自覺把掌握的知識提煉成簡潔的原理性結構，形成結構化思維，系統解決問題.同樣，在六年級復習中，這種階段性知識之間的整體結構化的體現最為明顯，如，在復習比的性質時，通過商不變規律——分數的基本性質-比的性質，幫助學生對知識結構的把握和把握結構后自主建構學習的積極狀態中，這樣有結構、有邏輯的系統學習，長久以往，一定能形成數學學科觀念、數學思維方式和探究技能、促進數學知識和技能的持續結構化，使學生的理性思維不斷走向成熟.

“教是為了不教”，因為結構化思維是用于解決所有問題最關鍵的一把鑰匙，如果教師能夠從教材本源這個高度出發，合理把握數學知識的整體框架，從橫向或縱向的角度或對教材的重組整合，架構結構化教學過程，引導他們在學習過程中邊學邊串聯，將數學學習逐步整體化、結構化，讓學生的思維走向自主建構的結構化，發展學生數學核心素養就不再是紙上談兵了.endprint