談正反面作業設計提升空間想象能力

摘 要：廣義上，空間想象能力指的是人腦通過視覺、觸覺及實踐經驗得到的一種能思考物體形狀、大小、位置的能力。而數學上所講的空間想象能力是指將書面、黑板、屏幕等平面上用二維畫面來描述的幾何體或三維關系經人腦加工想象成空間實物。這種能力與天資有關，但可通過后天的實踐獲得經驗和教訓來提高，所以在教學中需要講究方式規律，分別對待、分層遞進，否則容易造成個別悟性高的同學有所進步，大多學生望而卻步的尷尬局面。到頭來別說教學大綱要求的位置關系、數量關系沒有形成，就連特殊幾何體的結構特征、基本元素（點、線、面）的位置關系都說不清。

關鍵詞：作業；提升；空間想象力

多年來的經驗教訓告訴我們：培養學生的空間想象能力必須正反兩方面都要抓。從正面的字斟句酌進行分析描繪，幫助學生形成規范的、準確的、專業的認識。從反面用特例顛覆同學的誤解。研究表明，空間想象能力是有層次性的，主要分為四個階段：實體模型——直觀圖——點、線、面的位置關系和數量關系——想象或構造新幾何體。下面就自己在教學過程中為配合以上四個階段的開展而分別在正反面作業設計方面所作的努力進行分析。階段一：細木棍擺造型游戲。（1）每位同學至少準備4根細木棍。問：如果你的細木棍可以無限延伸（想象成金箍棒），那么兩根木棍的位置關系有幾種？三根呢？請同學擺出造型說明兩條直線、三條直線的位置關系。（2）利用細木棍和課桌椅，分別想象成無限延伸的直線和無限延展的平面（阿拉丁魔毯），那么直線與平面的位置關系有幾種？輔助作業：正面是按照課本布置。反面是同學之間可以以細木棍為道具做游戲，一個同學擺出，另一個說出點、線、面的位置關系。要求一直練習到大家能準確地將圖形、文字、符號三種語言匹配為止。階段二：實物想象教室的四面、門窗、梁柱等是我們理解分析線面、面面位置關系時通俗易懂、變化多樣、取之不盡的素材。四面是固定的平面，梁柱是垂直面的直線，門窗是過面的垂線的活動的平面，墻角的交線……輔助作業：手工制作長方體、棱柱、棱錐臺的空架結構。因為數學上定義的平面是沒有厚度、大小、質量抽象概念，所以有實物輔助加快理解但千萬不可造成依賴或誤解。在本部分教學中要有全班同學隨指令觀測同一物體并想象成某種基本元素（點、線、面）及其位置關系的統一認識，這種感覺需要規范化、同一性、長效性，直到一經觸動就會生成“標準”模型為止。階段三：投影和直觀圖將一個幾何體放置在三個兩兩垂直的平面，在垂直三個面的平行光照射下分別在三個平面上的投影，即三視圖。反之，給出一個幾何體的三視圖，我們能想象出與之對應的幾何體。這種題型已經成為近年來高考的高頻考點。究其原因，它是發展空間想象能力的必經之地，所以，它成為初高中銜接點，登上大學的階梯。輔助作業：一個長方體被一個平面截取一部分，探討截面的形狀。實踐表明，前三個階段的設置非但沒有錯，還需向縱深發展。階段四：活用幾何體平時教學中將長方體、球體、正三棱錐等作為模型來設問命題。比如引導學生觀察長方體，仔細分析如何由線線垂直判斷線面垂直，又如何由線面垂直得到線線垂直的性質，這絕對是個大課題。所以，要不惜時間精力讓同學做模型，用所學知識解釋物件設計或現象的合理性，并達到能辨析長方體的分割、拼補、變形的境界。可以肯定的是高考的立幾部分所涉及幾何體至少80%來自平時教學，只因平時只注重表面，缺少變式練習，造成對概念或定理的認識偏差是正常現象，甚至是好現象。這個階段的思維形成需要一個互逆的過程才能鞏固。正面給出一些常見的結論要求強制性記憶，反面舉出一些易錯點加以對比。比如：正面強調幾何體的擺放位置對三視圖的影響；每個截面均為圓的幾何體必是圓；反面舉例。

（1） 有兩個面互相平行，其余面均為平行四邊形的多面體未必是棱柱，如圖1-1；

（2） 上下面是互相平行的平行四邊形，側面是梯形的幾何體未必是棱臺，如圖1-2；

（3） 四棱錐的四個面可以都是直角三角形，如圖1-3（1）。實際上它來自如圖1-3（2）的原型。

糾錯時對癥下藥并雙管齊下，切忌不痛不癢或矯枉過正。輔助練習：（1）已知四棱錐A-BCD中，棱滿足AB=CD=3，BC=AD=4，AC=BD=5，求四棱錐的外接球的表面積。

近年來的高考例析只為我們的理念佐證：正反面考查經典幾何體是高考的最愛。

（1） 2015年全國：一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖2-1，則截去部分體積與剩余部分體積之比為（ ）

說明：本題純粹是空間想象能力的積淀，只需會由三視圖還原出正方體及截面如圖2-2。

（2） 2016年高考：如圖2-3，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F分別在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=10。

（1） 證明：D′H⊥平面ABCD；

（2） 求二面角B-D′AC的正弦值。

說明：（1）的線面垂直的判定完全歸功于線線垂直的感覺和經驗。在（1）對圖形結構特征較深刻認識的基礎上，建立空間直角坐標系純粹是套路式的操作。

綜上所述，良好的空間想象能力的培養不僅來自正面的說教、分析、訓練；還應有不按套路出牌的歪方甚至是批判。建立完整有效的評價機制固然重要，但切忌操之過急，失之偏頗。在養成這種能力的過程中外部刺激至關緊要，在不失教師威嚴的前提下與學生共同參與學習探究活動，盡可能當面批改矯正一直是我們多年來研究的課題并有了較高成效。

作者簡介：

薛宗華，福建省泉州市，福建省泉州市泉港惠華中學。endprint