一道初中數(shù)學(xué)綜合題的不同解法分析

江月

摘要：數(shù)學(xué)是一門較為靈活的學(xué)科，在數(shù)學(xué)綜合題的計(jì)算中，常有許多不同的切入點(diǎn)，能夠進(jìn)行一題多解。在初中時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生這種一題多解的數(shù)學(xué)思想與解題能力能夠有效的提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的探究欲望，在加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)獲得學(xué)生思維的開闊與不同知識(shí)點(diǎn)的綜合利用。本文以一道初中數(shù)學(xué)綜合題的不同解法探討在初中時(shí)期，如何在解題思維上對(duì)學(xué)生進(jìn)行加強(qiáng)培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；一題多解；數(shù)學(xué)思想

初中時(shí)期的學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的理解較為淺顯，許多學(xué)生認(rèn)為一種題目只有一種解法，只要記住類型題，就能夠在考場(chǎng)上獲得較高的分?jǐn)?shù)，但結(jié)果往往事與愿違。以下是一道初中數(shù)學(xué)的綜合題，在解題中可以采用許多不同的方法，學(xué)生在不同切入點(diǎn)中能夠找到不同的解題思維。通過該例子探討如何在數(shù)學(xué)題中形成多樣化的思維，如何培養(yǎng)學(xué)生形成一題多解的思想，并探討如何在初中時(shí)期提高學(xué)生不同方向的解題能力。

一、通過全等三角形性質(zhì)進(jìn)行解題

在這道例題中，求證的的是兩條線段的相等，因此結(jié)合學(xué)過的全等三角形性質(zhì)可以進(jìn)行解答，而題目中沒有與三角形DCF全等的另一個(gè)三角形，因此教師需要在此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)做一個(gè)新的全等三角形，通過輔助線的方式證明線段全等。該題的解法在于可在圖中以點(diǎn)E為出發(fā)點(diǎn)，做一條平行于AB，且與AF的延長(zhǎng)線相交的直線，將相交直線的交點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)H。此時(shí)便能夠?qū)⒕€段DF與FE之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形DCF與三角形EHF的關(guān)系。由于EH平行于AB，因此EF平行與DC，且BE平行與AF，因此四邊形ABEH為平行四邊形，所以AB等于HE。另外，F(xiàn)H與DC被同一條直線AH穿過，因此根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的原理可以證明∠DCF等于∠EHF，同理，DE也穿過了相互平行的直線DC與FH，所以，∠CDF等于∠HEF。通過三角形兩角一夾邊相等的定理，能夠證明三角形DCF與三角形EHF全等，所以能夠證明DF等于FE。在本題的解法中，應(yīng)用了三角形兩角一夾邊相等的原理，教師可以通過這一圖形引導(dǎo)學(xué)生提出更多不同的想法，在該三角形中，除了兩個(gè)由平行線形成的相等內(nèi)錯(cuò)角，還存在一對(duì)對(duì)頂角，既∠CFD等于∠HFE。因此，還能夠通過兩角一對(duì)邊相等來證明全等三角形，從而證明線段相等。該種類型的解法要求教師在授課時(shí)能夠?qū)θ热切蔚男再|(zhì)與解題原理精細(xì)化講解，讓學(xué)生知道何時(shí)該做輔助線，如何做出正確的輔助線。

全等三角形構(gòu)圖結(jié)構(gòu)的不同形成了不同的解法，上述解法將三角形構(gòu)造為以三角形DCF作全等的方式進(jìn)行解題。但在全等三角形的構(gòu)造中，還可以以三角形ADF做全等，只要三角形的一條邊為CF，就能夠在圖中進(jìn)行構(gòu)圖。那么，如何做出全等于三角形ADF的輔助線呢，教師需要引導(dǎo)學(xué)生能夠以題中要求的線段CF與FE為三角形的全等邊，此時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)新的三角形。通過延長(zhǎng)AF，交平行于AD，且從E為出發(fā)點(diǎn)的線段，找到交點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)G。此時(shí)由于AD平行于BC平行于EG，且AF平行與BE，所以四邊形BCGE為平行四邊形，則AD等于BC等于EG。而AD與EG又被同一條直線DE穿過，依舊可以使用內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角的原理進(jìn)行解題。如∠DAC等于∠EGF，∠DAF等于∠EGF，以兩角一夾邊對(duì)應(yīng)相等證明全等，或∠DFA等于∠EFG，以兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等證明全等。通過構(gòu)造三角形GEF的方式來證明其全等于三角形ADF，從而證明線段DF等于FE。

通過三角形全等證明線段相等的方式還有許多，例如作FT平行與AB交BE于點(diǎn)T的方式來證明三角形DCF全等與三角形FTE等。可以認(rèn)識(shí)到的是，在所求線段中構(gòu)造三角形是一種較為簡(jiǎn)單的方式，而難點(diǎn)在于如何找到與其相等的全等三角形，或如何通過畫輔助線的方式構(gòu)造一個(gè)全等的三角形。

二、通過等比例線段性質(zhì)進(jìn)行解題

線段相等除了可考慮用全等三角形證明，還能夠使用等比例線段的性質(zhì)進(jìn)證明。在該題目的解題中，由于題意可知，線段DC與線段FE是1：1的關(guān)系，因此需要通過相似圖形，構(gòu)建1：1的圖形進(jìn)行解答。能夠較快發(fā)現(xiàn)的是，當(dāng)做DC的延長(zhǎng)線交于BE于點(diǎn)N時(shí)，構(gòu)造出三角形DNE，由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以DC平行于AB，所以CN也平行于AB，且AF平行于BE，也說明四邊形ABNC是平行四邊形，且CN等于AB等于DC。在三角形DCF與DNE中，DC比DN等于1：2，且DC等于DN，所以DF比DE等于1：2，并且可以證明DF等于FE。在該種解題方式中，需要引導(dǎo)學(xué)生形成多樣化的解題思維，同樣是做輔助線，但輔助線的位置不同決定了解題方式的不同，在以相似圖形與等比例線段解題的方式中，需要注意的是，所作的輔助線形成的新圖形應(yīng)與題目所求有直接關(guān)系。

等比例線段的解題方式也不局限于一種類型，通過構(gòu)造的不同輔助線能夠形成不同的等比方式。可以通過以D點(diǎn)作DG平行于BE，交于BA的延長(zhǎng)線與點(diǎn)G的方式，構(gòu)造新的輔助線。由于BE平行于AC，又BE平行于DG，所以AC平行于DG，又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB 平行與DC，BG也平行于DC，因此四邊形ACDG也為平行四邊形，可根據(jù)AG等于CD來證明AG等于AB。而BE平行于AF平行于DG，因此可說明BA與AG的比值與EF與FD的比值相同，因此可證明DF等于FE。以構(gòu)造不同的等比例線段來證明線段間的關(guān)系是初中常用的方法，在該題目的解題中，延長(zhǎng)形成的新輔助線通常是容易被學(xué)生遺忘的，教師需要從多個(gè)方面加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于這些較為繁瑣方法的解題能力。由類型題延伸到一些特殊的題目中，給予學(xué)生新的數(shù)學(xué)感受。

結(jié)語(yǔ)：

本文以全等三角形與相似三角形、等比例線段等方式進(jìn)行的解題針對(duì)該題目有很好的效果。而實(shí)際上，該題目的綜合性較強(qiáng)，在解題過程中，學(xué)生容易考慮到的往往是較為簡(jiǎn)單的部分，教師應(yīng)在教學(xué)過程中不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新式的解題，在學(xué)生能夠較好的應(yīng)用這些常用方法解題后，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種方法解題。

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